2016届上海市嘉定区高三一模数学（文科）试题及答案

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷（文）

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

n2?1?____________． 1．lim2n??2n?n?222．设集合A?{xx?2x?0,x?R}，B??x?x?1?则A?B?__________． ?0,x?R?，

?x?1?x3．若函数f(x)?a（a?0且a?1）的反函数的图像过点(3,?1)，则a?_________．

4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的 角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．

6．若圆锥的底面周长为2?，侧面积也为2?，则该圆锥的体积为______________．

sin?7．已知

28．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S值是_____________．

cos??0，则sin2??____________． 开始 1k?1，S?0 k?2015 是 否 S?S?1 k(k?1)输出S k?k?1 结束 229．过点P(1,2)的直线与圆x?y?4相切，且与直线ax?y?1?0垂直，则实数a的值

为___________．

10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名

男同学的概率是____________．

11．设PA?(k,12)，PB?(4,5)，PC?(10,k)，则k?_________时，点A，B，C

共线．

12n?112．已知n?N，若2Cn?22Cn???2n?1Cn?2n?80，则n?_______．

*13．设数列{an}满足a1?2，an?1?1?__________．

1，记数列前n项的积为Pn，则P2016的值为 an14．对于函数y?f(x)，若存在定义域D内某个区间[a,b]，使得y?f(x)在[a,b]上的

值域也是[a,b]，则称函数y?f(x)在定义域D上封闭．如果函数f(x)??4x在

1?|x|R上封闭，那么b?a?_____________．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“函数f(x)?sin(x??)为偶函数”是“???2”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16．下列四个命题：

①任意两条直线都可以确定一个平面；

②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；

③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面； ④若直线l上有一点在平面?外，则l在平面?外． 其中错误命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

17．若椭圆x2?my2?1的焦距为2，则m的值是（ ）

A．

18．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且3a1，

1 B．1 C．2 D．4 21a?a9a3，2a2成等差数列，则8等 2a6?a7于（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度?（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角?的最大值是多少；

3（2）现需要倒出不少于3000cm的溶液，当??60?时，能实现要求吗？请说明理由．

? ①

②

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知x?R，设m?(2cosx,sinx?cosx)，n?(3sinx,sinx?cosx)，记函数

????f(x)?m?n．

（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)?2，c?3，

a?b?3，求△ABC的面积S．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

设函数f(x)?k?a?a（1）求常数k的值；

（2）设a?1，试判断函数y?f(x)在R上的单调性，并解关于x的不等式

x?x（a?0且a?1）是奇函数．

f(x2)?f(2x?1)?0．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知抛物线x2?2py，准线方程为y?1?0，直线l过定点T(0,t)（t?0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．

（1）求抛物线的方程；

（2）OA?OB是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）当t?1时，设AT???TB，记|AB|?f(?)，求f(?)的解析式．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设复数zn?xn?i?yn，其中xnyn?R，n?N，i为虚数单位，zn?1?(1?i)?zn，

*z1?3?4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn．

（1）求复数z2，z3，z4的值；

*（2）证明：当n?4k?1（k?N）时，OZn∥OZ1；

（3）求数列{xn?yn}的前100项之和．

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（文）参考答案及评分标准

一．填空题（每题4分，满分56分） 1．

11 2．{x?1?x?0,x?R}（或[?1,0)） 3． 4．2 235．arccos9．

42015103 6． ? 7． 8．

520165339 10． 11．?2或11 41012．4 13．1 14．6

二．选择题（每题5分，满分20分）

15．B 16．C 17．A 18．D

三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数

19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．

C C

E B

D B D F

60? ?

A A ③ ④

（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，

此时?最大． ????????????????????????（2分） 解法一：此时，梯形ABED的面积等于20?400（cm）， ????（3分） 因为?CBE??，所以DE?30?20tan?，SABED?即

221(DE?AB)?AD， 21?(60?20tan?)?20?400，解得tan??1，??45?． ??????（5分） 2所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，?的最大值是45?． ?????（6分） 解法二：此时，△BEC的面积等于图①中没有液体部分的面积，

即S?BEC?200（cm）， ??????????????????（3分） 因为?CBE??，所以S?BEC?211?BC?CE??BC2?tan?，即200tan??200， 22解得tan??1，??45?． ????????????????（5分）

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，?的最大值是45?． ????（6分）

（2）如图④，当??60?时，设上液面为BF，因为?CBD?arctan3?60?， 2所以点F在线段AD上， ????????????????（1分） 此时?ABF?30?，AF?AB?tan30??103，

S?ABF?1?AB?AF?1503（cm2）， ??????????（3分） 23剩余溶液的体积为1503?20?30003（cm）， ???????（4分） 由题意，原来溶液的体积为8000cm，

因为8000?30003?3000，所以倒出的溶液不满3000cm． ??（5分）

3所以，要倒出不少于3000cm的溶液，当??60?时，不能实现要求．?（6分）

33

20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．

（1）f(x)?m?n?23sinxcosx?sin2x?cos2x?3sin2x?cos2x

??????2sin?2x??． ??????????????（3分）

6??所以f(x)的最小正周期是T??． ?????????（4分） 由2k???2?2x??6?2k???2，k?Z， ????????（6分）

得函数f(x)的单调递增区间是?k?????6,k????（k?Z）． ??（7分） ?3?（2）由f(C)?2，得sin?2C?因为0?C??，所以?所以2C???????1， ??????????（1分） 6??6?2C??6?11?， 6?6??2，C??3． ????????????（3分）

222在△ABC中，由余弦定理c?a?b?2abcosC， ????（4分）

222得3?a?b?ab?(a?b)?3ab，即ab?2， ??????（5分）

所以△ABC的面积S?1133absinC??2??． ????（7分） 2222

21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．

（1）解法一：函数f(x)?k?ax?a?x的定义域为R，因为f(x)是奇函数，所以

f(0)?k?1?0，k?1．??????????????????????（3分）

当k?1时，f(x)?ax?a?x，f(?x)?a?x?ax??f(x)，f(x)是奇函数． 所以，所求k的值为1． ??????????????????????（6分） 解法二：函数f(x)?k?ax?a?x的定义域为R，

由题意，对任意x?R，f(?x)??f(x)， ?????????????（2分） 即k?a?x?ax?a?x?k?ax，(k?1)(ax?a?x)?0， ?????????（4分）

?x因为a?ax?0，所以，k?1． ?????????????????（6分）

（2）由（1），f(x)?ax?a?x，任取x1，x2?R，且x1?x2，

1??)?(ax2?a?x2)?(ax1?ax2)?1?x1?x2?，

?a?1xx因为a?1，x1?x2，所以a1?a2?0，又1?x1?x2?0，所以f(x1)?f(x2)?0，

a即f(x1)?f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数． ??????（4分）

则f(x1)?f(x2)?(a1?ax?x1（注：也可以这样解答：a?1，y?a在R上是增函数，y?ax?x?1????在R上是减函?a?x数，则y??a?x在R上是增函数，所以f(x)?ax?a?x在R上是增函数．）

由f(x2)?f(2x?1)?0，得f(x2)??f(2x?1)，即f(x2)?f(1?2x)， ??（6分） 所以x?1?2x，即x?2x?1?0，解得x?(?1?2,?1?2)． ????（8分）

22

22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分． （1）由题意，?p??1，p?2， ??????????????????（2分） 2故抛物线方程为x2?4y． ??????????????????????（4分） （2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l:y?kx?t，则

?y?kx?t,?x1?x2?4k,2 ??????????（2分） ?x?4kx?4t?0??2??x1x2??4t.?x?4y于是，OA?OB?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?kt(x1?x2)?t2?t?4t， ??（4分） 因为点T(0,t)是定点，所以t是定值，所以OA?OB是定值，此定值为t?4t．?（6分）

2222????x0x0???x,TB?x,?1（3）T(0,1)，设B?，则?04??04?，

????22??x0x0 AT??TB????x0,??4????，故A(??x0,1?????4)， ??????（2分）

??2??4x02x??因为点A在抛物线x?4y上，所以?x?4?，得．??（4分） 1?????0???4??222022??x0x0又T为抛物线的焦点，故f(?)?|AB|?yA?yB?2???1?????4???4?2

?????1??2，即f(?)???1??2（??0）． ????????????（6分）

23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．

（1）z2?(1?i)(3?4i)??1?7i，z3??8?6i，z4??14?2i．????（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）

（2）由已知zn?1?(1?i)?zn，得zn?(1?i)n?1?z1， ??????（1分） 当n?4k?1时，(1?i)n?1?(1?i)4k?(?4)k， ?????????（3分） 令??(?4)，则zn???z1，

k??????????即则存在非零实数??(?4)（k?N），使得OZn??OZ1． ????（5分）

k**所以，当n?4k?1（k?N）时，OZn∥OZ1． ????????（6分）

（3）因为zn?4?(1?i)4zn??4zn，故xn?4??4xn，yn?4??4yn， ????（2分） 所以xn?4yn?4?16xnyn， ??????????????????????（3分） 又x1y1?12，x2y2??7，x3y3??48，x4y4?28， ??????????（4分）

x1y1?x2y2?x3y3???x100y100?(x1y1?x2y2?x3y3?x4y4)?(x5y5?x6y6?x7y7?x8y8)???(x97y97?x98y98?x99y99?x100y100)

1?1625?(12?7?48?28)??1?2100， ??????????????（7分）

1?16100所以数列{xnyn}的前100项之和为1?2． ??????????????（8分）

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