漆安慎 杜禅英 力学习题及答案07章

第7章 刚体力学 45 第7章 刚体力学

第七章 刚体力学 二、思考题解答

7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？ 一、基本知识小结

⒈刚体的质心

定义：r?c??mir?i/mr??r?c?dm/?dm

求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量

定义：I??mr2iiI??r2dm

平行轴定理 Io = Ic+md2 正交轴定理 Iz = Ix+Iy.

常见刚体的转动惯量：

（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理

?p?mv??F?c?ma?c

⒋刚体对轴的角动量和转动定理

L?I????I?

⒌刚体的转动动能和重力势能

E2k?12I?Ep?mgyc

⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动

动力学方程：?F??ma?c??c?Ic?c（不必考虑惯性力矩）

动能：E22k?12mvc?12Ic?c ⒎刚体的平衡方程

?F??0， 对任意轴

???0

答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此

平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。

7.2 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？

答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即

?F?i?ma?c?0时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表

明所有的外力都作用于刚体的同一点。所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩

M??Mi??ri?Fi不一定为零。由刚体的转动

定律M?J?可知，刚体将发生转动。比如，置于光滑水平面上的

匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆

的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，

但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。

7.3 如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力

是否一定很大？（2）作用在它上面的力矩是否一定很大？ M?答：由刚体的定轴转动定律

?riFisin?i?J??Jd?dt可

第7章 刚体力学 46 第7章 刚体力学

知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。7.5试证：匀质细棒在光滑平面上受到一对大小相等、方向相反因此，刚体转动的角速度很大，并不意味这转动角速度的时间变化的作用力作用时，不管力作用在哪里，它的质心加速度总是零。 率也很大，所以， 答：匀质刚性细棒可以看作在运动中保持相对位置不变的质点

（1）刚体定轴转动的角速度?很大，与其受力

?F没有直接

i关系。对于刚体的一般运动，所受合外力使刚体的质心产生加速度，

系，其质心遵守运动定律 .当该棒受大小相等方向相反的作用力时，质心所受合力与各个力的作用点无关，加速度总为零。

i?F?mai?c即改变刚体的平动状态。

（2）刚体定轴转动的角速度?很大，与其受到对定轴的力矩M的大小也没有直接关系。合外力矩使刚体产生角加速度，改变刚体

的转动状态。

7.4 为什么在研究刚体转动时，要研究力矩作用？力矩和哪些因素有关？

答：一个静止的刚体能够获得平动的加速度而运动起来的原因是，相对它的质心而言，所受的合外力不为零。一个静止的刚体相对某一转动，能够获得角加速度而转动起来的原因是，刚体所受到的外力对转轴的合外力矩

?Mi不为零。因此，刚体的转动是与其

受到的相对转轴的合外力矩密切相关的。取z轴为刚体转动的固定轴时，对转动有贡献的合外力矩是

Mz??Miz，其中

Miz?Firsiin?，Fi是作用在刚体上的第i个外力在转动平面内的

分量，而ri是由转轴（z轴）到

Fi的作用点的距离，?是ri和Fi间由右手定则决定的夹角。所以，对z轴的力矩不但与各外力在转动

平面内分量的大小Fi有关，还与Fi的作用线与z轴的垂直距离（力

臂）di?risin?的值有关。

7.6 在计算物体的转动惯量时，能把物体的质量集中的质心处吗？

答：物体的转动惯量时物体转动惯性大小的量度。影响转动惯量的因素有：物体的总质量、物体质量的分布以及转轴的位置。同一物体对质心轴和任意轴的转动惯量是不同的。所以，在计算物体

的转动惯量时，不能简单地把物体的质量看作集中在质心处。

7.7 两个同样大小的轮子，质量也相同。一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮缘，问：（1）如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角加速度较大？（2）如果它们的角加速度相等，作用在哪个轮子上的力矩较大？（3）如果它们的

角动量相等，哪个轮子上的力矩较大？ 答：质量相等、大小相同的轮子，由于质量分布情况的不同而使得它们对同一转轴的转动惯量不同。由转动惯量的意义

J??r2dm可知，质量主要集中在轮缘的轮子，其转动惯量较大。

由定轴的转动定律M?J?和角动量L?J?，可知： （1）M相同时，物体所获得的角加速度大小与转动惯量成反

比，故质量均匀分布的轮子转动的角加速度较大； （2）角加速度相等时，转动惯量大的轮子上作用的力矩也大，

故质量主要集中在轮缘的轮子受到的力矩较大；

第7章 刚体力学 47 第7章 刚体力学

（3）两轮的角动量相等时，两轮的角速度与它们的转动惯量成对该转动轴线的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于外力对此反比，故质量均匀分布的轮子转动的角速度较大转的较快。 转动轴线的合力矩 —— 刚体定轴的转动定理。 ）

7.8 一个转动着的飞轮，如不供给它能量，最终将停下来。试用7.12刚体的定轴转动的动能和重力势能为何？

转动定律解释这个现象。 答：刚体绕固定轴转动的动能等于刚体对此轴的转动惯量与角

答：一个转动着的飞轮，如不供给它能量，最终必将停下来，这是由于飞轮在转动过程中受到各种对转轴的阻力矩作功的缘故。根据动能定理

A??EK可知，阻力矩的功使飞轮的转动动能减小，

使它最终停下来 。

7.9、什么是刚体？

答：一般假定物体无论受多大外力或转动得多快都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对象的另一个理想模型

7.10、什么是刚体的平动？其动力学方程为何？

答： 如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞的往返等都是平动。

?动力学方程为：

p?mv??F?c?ma?c

7.11、什么是刚体的定轴转动？其动力学方程为何？答：如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转动。

刚体定轴轴的角动量L?I? 转动定理

???I? （它表明：刚体绕固定轴转动时，刚体

速度平方乘积之半 Ek?122I? 重力势能：

Ep?mgyc

7.13、转动惯量的大小和什么有关？

答：刚体的转动惯量决定于刚体各部分质量距转轴远近及质量的分布情况。

7.14、什么是平行轴定理和垂直轴定律？ 平行轴定理：设刚体绕通过质心转轴的转动惯量为 Ic ，将轴朝任何方向平行移动一个距离 d ，则绕此轴的转动惯量 ID为 ID=Ic+md2

垂直轴定理：设刚性薄板平面为 xy 面，z 轴与之垂直，则对于任何原点O绕三个坐标轴的转动惯量分别为

应用它很容易求出圆环或圆盘绕直径的转动惯

??Ix?m2??iyi?i?Ix2?y??mii?Iz?Ix?Iyi???Iz??mi(x2i?y2i)i

7.15、什么是刚体平面运动？刚体平面运动的动力学方程为何？其机械能为何？

答：刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转

第7章 刚体力学 48 第7章 刚体力学

动

动力学方程：

?F??ma?c??c?Ic?c

（不必考虑惯性力矩）

动能：

E2?2k?112mvc?2Icc

7.16、刚体平衡的条件是什么？ 刚体的平衡方程

?F??0， 对任意轴 ???0

三、习题解答

7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.

[解 答]

??2?自?7.27?10-524?3600(rad/s)

??2?-7公365?24?3600?2.04?10(rad/s)

??R?自

a?22n?R??R

7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。⑵在此时间内，

发动机转了多少转？

解：⑴??????(3000?1200)2?/60t12?15.7rad/s2 ⑵????2??2030002?12002)(2?/60)22??(2?15.7?26.39?102rad

对应的转数=??2??26.392?3.14?102?420

7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为

??at?bt3?ct4(?:rad,t:s)。求t时刻的角速度和角加速度。

解：??d?dt?a?3bt2?4ct3??d?dt?6bt?12ct2

7.1.4 半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy坐标系，原点在轴上，x和y轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t2 (θ:rad,t:s)。⑴t=0时，⑵自t=0开始转45o时，⑶转过90o时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影。 y

解：??d?dt?1.2?2t??d?dt?2.0 o A x

⑴t=0时，??1.2,vx?0vy??R?1.2?0.1?0.12m/s

a2x??an??vy/R??0.122/0.1??0.144m/s2a2

y?a???R?2.0?0.1?0.2m/s⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/s

vx???Rcos45???2.14?0.1?2/2??0.15m/svy??Rsin45??2.14?0.1?2/2?0.15m/s

第7章 刚体力学 49 第7章 刚体力学

ax???Rcos45???2Rcos45???Rcos45?(???2)??0.1?22(2.0?2.142)??0.465m/s2a22y??Rsin45???Rsin45??Rsin45?(???)

?0.1?22(2.0?2.142)??0.182m/s2⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s

vx???R??2.78?0.1??0.278m/svy?0ax???R??2.0?0.1??0.2m/s2

a2y???R??2.782?0.1??0.77m/s2

7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂 A C AB和CD支承，以角速率ω=10rad/s逆时针转

动，求臂与铅直成45o时门中心G的速度和加 B D 速度。

解：因炉门在铅直面内作平动，所以门中 ·G 心G的速度、加速度与B点或D点相同，而B、 D两点作匀速圆周运动,因此

vG?vB??AB?10?1.5?15m/s，方向指向右下方，与水

平方向成45o；

aG?a2B??AB?102?1.5?150m/s2，方向指向右上方，

与水平方向成45o

7.1.6 收割机拨禾轮上面通常装4到 压板 6个压板，拨禾轮一边旋转，一边随收割 机前进。压板转到下方才发挥作用，一方

面把农作物压向切割器，一方面把切下来 切割器 的作物铺放在收割台上，因此要求压板运

动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反。

已知收割机前进速率为1.2m/s，拨禾轮直径1.5m，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度。

解：拨禾轮的运动是平面运动，其上任一点的速度等于拨禾轮轮心C随收割机前进的平动速度加上拨禾轮绕轮心转动的速度。压板运动到最低点时，其转动速度方向与收割机前进速度方向相反，压板相对地面（即农作物）的速度

v?vc??R?1.2?2??22.560?12??0.53m/s

负号表示压板挤压作物的速度方向与收割机前进方向相反。

7.1.7飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速2000rev/min. ⑴桨尖相对于飞机的线速率等于多少？⑵若飞机以250km/h的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。

解：⑴桨尖相对飞机的速度：

v'??r?2000?2?60?1.5?314m/s

⑵桨尖相对地面的速度：v??v?'?v?机地，飞机相对地面的速度与螺旋桨相对飞机的速度总是垂直的，v250?103机地?60?60?69.4m/s

所以，v?v'2?v22机地?314?69.42?321.6m/s

显然，桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线

7.1.8桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？

解：设车轮半径为R=0.26m，发动机转速为n1, 驱动轮转速为

第7章 刚体力学 50 第7章 刚体力学

n2, 汽车速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，v?2?Rn2?2?Rn1/0.909，所以：

n?0.909v0.909?166?1034312?R?2?3.14?0.26?9.24?10rev/h?1.54?10rev/min

7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。⑴圆

锥体为匀质；⑵密度为h的函数：ρ=ρ0（1-h/L）,ρ0为正常数。

解：建立图示坐标o-x,据对称性分析， L 质心必在x轴上,在x坐标处取一厚为dx o r a x 的质元 dm=ρπr2dx，∵r/a=x/L，r=ax/L

∴ dm=ρπa2x2dx/L2 h ⑴圆锥体为匀质，即ρ为常数，

总质量：m??dm???a2L2?L0x2dx?13??a2L ?xdm232质心：xc?3L?dm????axdx/L??a2L/3?L3?0x3dx?34L

⑵???hL?x0(1?L)??0(1?L)??0Lx

总质量：m??dm??0?a2L3?L0x3dx?124?0?aL

质心：xLc??xdm44?dm?L4?0xdx?45L

7.2.3 长度为L的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）。

解：设杆在o-xy平面内运动。因杆 y 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和 竖直向下的重力的作用，在水平方向不受 外力作用，∴vcx=0,acx=0，即质心C无水 平方向的移动，只能逆着y轴作加速直线

运动，直到倒在桌面上。 o x 取杆的上端点的坐标为x,y，匀质杆的质心在其几何中心，由图示的任一瞬间的几何关系可知：4x2+y2=L2(x≥0,y≥0)

7.3.1 ⑴用积分法证明：质量为m常为l的匀质细杆对通过中心

且与杆垂直的轴线的转动惯量等于112ml2；⑵用积分法证明：质量

为m半径为R的匀质薄圆盘对通过中心且在盘面内的轴线的转动惯

量等于124mR 证明：⑴取图示坐标，在坐标x处取一线元，dm?mldx，它

对y轴的转动惯量为：dI?my lx2dx，

x 整个细杆对y轴的转动惯量：

-l/2 dx l/2 l/2I?m33l2?ml3(l1l8?8)?12ml2

?l?x2dx?m3lx3|l/2?l//2⑵在坐标x处取细杆状质元，

R dm?mR2?x2dxm2?R2?2?2?R2R?x2dx

x θ x 它对x轴的转动惯量：

dI?12?x2)2?122m12dm(2R3dm(R?x)?23?R2(R2?x2)3/2dx

第7章 刚体力学 51 第7章 刚体力学

R整个圆盘对x轴的转动惯量：I?2m2/23?R2?x2)3dx

??(RR为了能求出积分，作如下变换：x?Rcos?,dx??Rsin?d?

(R2?x2)3/2?(R2?R2cos2?)3/2?(R2sin2?)3/2?R3sin3?

0代入上式：I?2m33?43?R2sin?(?Rsin?d?)?2mR23?d?

??R0?sin?据三角函数公式：sin2??1?cos2?1?cos2?2,cos2??2 ?sin4??(1?cos2?2)2?14(1?2cos2??cos22?)?11?cos4?131 4(1?2cos2??2)?4(2?2cos2??2cos4?)I?2mR23??14(32?2cos2??12cos4?)d?2?????mR31?6???2?d???cos2?d2??8?cos4?d4???

000?mR26?(32??sin2?|??20?18sin4?|0)?14mR

7.3.2 图示实验用的摆，l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg,近似认为圆形部分为匀质圆盘，长杆部分为匀质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。 o 解：摆对o轴的转动惯量I等于杆对o轴的转动 l 惯量Il加上圆盘对o轴的转动惯量Ir，即I=Il+Ir.根据 平行轴定理

Il?1l2?ml2212mll(2)?13mll,r

I?1m22r2rr?mr(l?r)I?12ll?12l?r)23m2mrr?mr( ?13?4.9?0.922?12?24.5?0.082?24.5(0.92?0.08)2?26kgm27.3.3 在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个

圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。

解：大圆盘对过圆盘中心o且与盘面 R 垂直的轴线（以下简称o轴）的转动惯量 r r

为 I?122MR.由于对称放置，两个小圆 o 盘对o轴的转动惯量相等，设为I’，圆盘 质量的面密度σ=M/πR2，根据平行轴定理，

I'?1(??r2)r2?(??r2)(R)2Mr422?2R2?124Mr

设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o轴的转动惯量为I”

I\?I?2I'?12?Mr412R2?2Mr?122422MR2M(R?r?2r/R)

7.3.5一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2，转速为ω=41.9rad/s，两制动闸瓦对轮的压力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ=0.4，轮半径为r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？

解：由转动定理：

??I?,???2?0.4?392?0.4闸瓦 I?8.0?15.68rad/s 制动过程可视为匀减速转动，????/?t

闸瓦 第7章 刚体力学 52 第7章 刚体力学

?t???/??41.9/15.68?2.67s

7.3.6 匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长为L，求打击中心与支点的距离。 y 解：建立图示坐标o-xyz,z轴垂直纸面向外。 N 据题意，杆受力及运动情况如图所示。由质心运 o x 动定理：N?mg?0,F?mac?mL2?(1) ac mg 由转动定理；F0A?Io??1mL23?(2) A F 把⑴代入⑵中，可求得 oA?23L

7.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑轮半径为0.05m。自静止始，释放重物后并测得0.5s内m2下降了0.75m。滑轮转动惯量是多少？

解： T2 T1 β x o R a a y m2g m1g T2 T1 m2 m1

隔离m2、m1及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、m1分别应用牛顿第二定律：m2g?T2?m2a(1);T1?m1g?m1a(2)

对滑轮应用转动定理：(T2?T1)R?I??Ia/R （3） 质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：?y?12at2， ?a?2?y/t2?2?0.75/5.02?0.06m/s2

由 ⑴、⑵可求得 T2?T1?(m2?m1)g?(m2?m1)a,代入（3）中，可求得 I?[(m2?m1)g/a?(m22?m1)]R，代入数据：

I?(0.04?9.8/0.06?0.96)?0.052?1.39?10?2kgm2

7.3.8斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩τ，通过绳所牵动斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。

解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图，其中T为绳中张力，f=μN为摩擦力，重物上滑加速度与鼓轮角加速度的关系为a=βR

对重物应用牛二定律：

T- μN- mgsinθ=ma, N=mgcosθ，代入N T β 前式，得 T- μmgcosθ- mgsinθ=ma ① f 对鼓轮应用转动定理： a θ τ T τ- TR=Iβ=Ia/R ②

mg 由①②联立，可求得重物上滑的加速度：

a??R?R2mg(?cos??sin?)I?mR2

7.3.9利用图中所示装置测一轮盘的转动

惯量，悬线和轴的垂直距离为r，为减小因不r 计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物m1，从距地面高度为h处由静止m1,m2 开始下落，落地时间为t1，然后悬挂质量较大

h

第7章 刚体力学 53 第7章 刚体力学

的重物m2，同样自高度h处下落，所需时间为t2，根据这些数据确定轮盘的转动惯量，近似认为两种情况下摩擦力矩相等。

解：隔离轮盘与重物，受力及运动情况如图τf T 示：τf为摩擦力矩，T为绳中张力，a=βr

对轮盘应用转动定理： β r a T1r??f?I?1，T2r??f?I?2，两式相减，得：

T mg (T2?T1)r?I(?2??1),I?(T2?T1)r/(?2??1)①

对重物应用牛顿二定律：

m1g?T1?m1a1?m1r?1,m2g?T2?m2a2?m2r?2，两式相减，

可得：T2?T1?(m2?m1)g?r(m2?2?m1?1)，代入①中，可得：

I?[(m2?m1)gr?(m22?2?m1?1)r]/(?2??1)②

由运动学公式：h?12?122a1t12a2t2,?a1?2h/t21, ah2?2t2,?1?2h2,?2h2?2，将角加速度代入②中，得： 2rt1rt22I?(m2?m1)gr?(m22hrt?m2212hrt12)r2hrt?2h22rt12(m2?m222?m1)gr?2hr2(2/t2?m1/t1)2h(t2222

1?t2)/(t1t2)?(m)gr2t22m222?m11t2?2hr2(2t1?m1t2)2h(t221?t2)

7.4.1 扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线o转动，其转动惯量为I.装置的一端有槽，槽内有弹簧，槽的中心轴线与转轴垂直距离为r。在槽内装有一小球，质量为m，开始时用细线固定，使弹簧处于压缩状态。现在燃火柴烧断细线，小球以速度v0弹出。求转动装置的反冲角速度。在弹射过程中，由小球和转动装置构成的系统动能守恒否？总机械能守恒否？为什么？

解：取小球、转动装置构成的物体系为研究对象。在弹射过程中，物体系相对竖直轴o未受外力距作用，故物体系对转轴o的角动量守恒，规定顺时方向为正，有 v0 I??rmv0?0???rmv0/I r m 在弹射过程中，物体系动能不 o I 守恒，因弹力做正功使动能增加；

总机械能守恒，因为只有保守内力（弹力）做功。

7.4.2 质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ. o 解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象， 整个过程可分为两个阶段研究：

第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞， l M θ 获得共同的角速度ω，此过程时间极短，可认

为杆原地未动。由于在此过程中，外力矩为零， m v 因此角动量守恒，mvl?ml2??13Ml2??(m?13M)l2?

???mv0.01?200(m?M/3)l?(0.01?2.97/3)?1.0?2.0rad/s 第二阶段，子弹与杆以共同的初角速度ω摆动到最大角度θ，

由于在此过程中，只有重力做功，所以物体系的机械能守恒，物体

第7章 刚体力学 54 第7章 刚体力学

系原来的动能等于重力势能的增量：

12(m?13M)l2?2?mgl(1?cos?)?Mgl2(1?cos?)?cos??1?(m?M/3)l?2?1?(0.01?2.97/3)?1.0?2.02

(2m?M)g(2?0.01?2.97)?9.8?0.8635θ=30o34’

7.4.3一质量为m1，速度为v1的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为m2=99m1，长度为L的棒的端点，速度v1与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直与平面的轴的角速度等于多少？

解：以地为参考系，把子弹和棒看作A m2,L 一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动，

可视为随质心C的平动和绕质心C的转

v1 C O 动，绕质心C转动的角速度即为所求。

m1

据质心定义:

m1m?COCA,m1?m2CO?CA100Lm?,?，22CA992CACA?99L/200?0.495L,CO?0.5L?0.495L?0.005L

据角动量守恒：m2221v1CA?(m1CA?112m2L?m2CO)? m1v1?0.495L?m1(0.4952?112?99?99?0.0052)L2?0.495v1?(0.4952?99/12?99?0.0052)L? ??0.058v1/L

7.5.1 10m高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。

解：设烟囱质量为m，高为h，质心高度hC=h/2，对转轴的转

动惯量I?12m(h2112mh?2)?23mh，倒在地面上时的角速度为ω 由机械能守恒：

mghC?12mg?h11222I?,2?2?3mh?,??3g/h

上端点到达地面时的线速度：

v??h?3gh?3?9.8?10?17.2m/s

7.5.2 用四根质量各为m长度各为l的匀质细杆制成正方形框架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点o是光滑的。最初，框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB边达到水平时，框架质心的线速度vc及框架作用于支点的压力N.

解：先求出正方形框架对支点o的转动惯量： A I2o?Ic?4m(l2o 2)?Ic?ml I2c?4(1l24272 Ep=0 B 12ml?m4)?3ml?Io?3ml设AB边达到水平位置时，框架的角速 B A 度为ω，据机械能守恒定律： 4mgl?12172222Io??2(3ml)? ???12g17l,vc?2l??37gl

AB边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力N和向下的重力W的作用线均通过支点o，对o轴的力矩为零，据转动定理，框架的角加速度为零，∴ac=ω2l/2=6g/7，方向向上。规定向上方向为正，对框架应用质心运动定理：

N?4mg?4mac?4m6637g?N?4mg(1?7)?77mg

据牛顿第三定律，支点受到的压力，大小等于N，方向向下。

7.5.3由长为l，质量为m的匀质细杆组成正方形框架，其中一

角连于水平光滑转轴O，转轴与框架所在平面垂直，最初，对角线

第7章 刚体力学 55 第7章 刚体力学

OP处于水平，然后从静止开始向下自由摆动，求OP对角线与水平成45°时P点的速度，并求此时框架对支点的作用力。

解：先求出框架对O轴的转动惯量：据平行轴定理，

I?I4mOC2?4(1212C?12ml?ml)?41l)2?1024m(23ml 设对角线OP转过45°后框架的角速度为

ω，且势能为零，由机械能守恒：

N C 4mg(l2sin45?)?12,222I?2mgl?53ml? O P

n 6gτ ?2?5l,??6g5l,vp??2l?235gl

4mg 设支点O对框架的作用力为N，由定轴转动定理：τ= Iβ，

???l/2I?4mgsin45?10ml2/3?3gl3g325l,a???2?52?10g质心的法向加速度 a2n??OC?6gl65l?2?g52 在n?方向应用质心运动定理：Nn?4mgcos45??4man， Nn?22mg?4m?6g52?(22?2425?2)mg?2252mg 在??方向应用质心运动定理：N??4mgsin45??4ma?

N??4m?3102g?22mg?(65?2)2mg??452mg N?N2?N2322?n?25?2?2225mg?6.32mg，设与-??方向夹

角为θ，??arctg|Nn/N?|?arctg5.5?79.7?

7.5.4 质量为m长为l的匀质杆，其B端放在桌上，A端用手支住，使杆成水平。突然释放A端，在此瞬时，求：⑴杆质心的加速度，⑵杆B端所受的力。

解：⑴以支点B为转轴，应用转动 B A

定理：mgl22?1ml????3g32l，质 心加速度 ac??l2?34g，方向向下。 x ⑵设杆B端受的力为N，对杆应用 y

质心运动定理：Ny=0，

Nx - mg = - m ac , Nx = m(g – ac) = mg/4 ∴ N = mg/4，方向向上。

7.5.5 下面是匀质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力f.

⑴沿圆柱体上缘作用一水平拉力F,柱体作加速滚动。 ⑵水平拉力F通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动。 ⑶不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动。 ⑷在主动力偶矩τ的驱动下加速滚动，设柱体半径为R。 解：规定前进方向和顺时针方向为正方向。

假设静摩擦力方向向后，其余受力情况如图所 N F(1) 所示。对每种情况，都可以根据质心定理、绕 C F(2) 质心轴的转动定理和只滚不滑条件，建立三个 方程求解。

f mg ⑴F?f?mac,(F?f)R?12mR2?,ac??R

可求得f = - F/3,负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。

⑵F?f?mac,fR?122mR?,ac??R

第7章 刚体力学 56 第7章 刚体力学

可求得f = F/3,正号说明静摩擦力方向与假设方向相同，向后。 ⑶ ac = 0 , f = 0

⑷?f?ma??fR?122c,?2mR?,ac??R,求得f??3R 负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。

7.5.6 板的质量为M，受水平力F R 的作用，沿水平面运动，板与平面间的 M2 F 摩擦系数为μ.在板上放一半径为R质 量为M2的实心圆柱，此圆柱只滚动不 滑动。求板的加速度。

解：隔离圆柱，其受力及运动情况如图 β 所示，其中ac为质心对地的加速度，β为相

对质心的角加速度，f2、N2分别为板施加给 W2 ac 圆柱的静摩擦力和压力。 f2 由质心定理：f2?M2ac(1),N2?M2g(2) N2 对质心应用转动定理：f122R?2M2R?(3) N1 隔离木板，其受力及运动情况如图所示， f2 F 其中a为板对地的加速度，f1、N1分别为水平 f1=μN1 Mg 面施加给板的滑动摩擦力和压力。 N2 a 应用牛顿第二定律（或质心定理）：

N1?N2?Mg(4) F??N1?f2?Ma(5)

圆柱在木板上只滚不滑的条件是：a = ac +βR (6)

(圆柱与板接触点对地的加速度等于质心加速度加上绕质心转动的加速度，即ac+βR，它必须等于木板对地的加速度a,才能只滚不滑)

将（2）代入（4）求得：N1=(M+M2)g；由（1）（3）可解得，2ac=Rβ 与（6）联立，可求得，ac=a/3, 代入（1）中，f2 = a M2 /3；

将N1、f2代入（5）中，有

F??(M?M2)g?13M2a?Ma?a?3[F??(M?M2)g]3M?M2

7.5.7 在水平桌面上放置一质量为m的线轴，内径为b，外径为R,其绕中心轴转动惯量为mR2/3,线轴和地面之间的静摩擦系数为μ。线轴受一水平拉力F,如图所示。

⑴使线轴在桌面上保持无滑滚动之F最大值是多少？

⑵若F和水平方向成θ角，试证，cosθ＞b/R时，线轴向前滚；cosθ＜b/R时，线轴向后滚动。

y 解：可将（1）看作（2）的特殊 F 情况。建立图示坐标，z轴垂直纸面 C b R x 向外，为角量的正方向。根据静摩擦 θ 力的性质，可知其方向与F水平分量 f 方向相反。设线轴质心的加速度为a， 绕质心的角加速度为β。

由质心定理：Fcos??f?ma(1)N?mg?Fsin?(2)

由转动定理：Fb?fR?123mR?(3)

只滚不滑：a+βR=0 (4) 由⑴,⑶,⑷联立，可求得：

a?3F4m(cos??bR),??3F4mR(bR?cos?),f?F4R(3b?Rcos?)

⑴ F为水平拉力时，即 cos??1,f?F4R(3b?R)??mg

?F?4?R3b?Rmg.

⑵ 若cos??bR,a?0,??0，即线轴向前滚；

第7章 刚体力学 57 第7章 刚体力学

若cos??bR,a?0,??0，即线轴向后滚。

7.5.9 一质量为m,半径为r的均质实心小球沿圆弧形导轨自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面内，半径为R。最初，小球质心与圆环中心同高度。求小球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正压力。

解：设小球运动到最低点时，其质心速 度为v，绕质心转动的角速度为ω，由机械

能守恒，有mg(R?r)?1212222mv?2(5mr)? 只滚不滑条件：ω=v/r,代入上式，可求得 v?710(R?r)g

在最低点应用质心运动定理： N?mg?mv2/(R?r)

?N?m[g?v2/(R?r)]?m(g?7310g)?27mg，作用于导轨的

正压力与此等大，方向向下。

7.6.1 汽车在水平路面上匀速行驶，后面牵引旅行拖车，假设拖车仅对汽车施以水平向后的拉力F.汽车重W,其重心与后轴垂直距离为a,前后轴距离为l，h表示力F与地面的距离。问汽车前后论所受地面支持力与无拖车时有无区别？试计算之。

解：隔离汽车，受力

情况如图所示（摩擦力没 C F 有画出，因与此题无关）。 h 在竖直方向应用力平 N1 W a N2 衡方程：Nl 1?N2?W(1) 以前轮为支点，由力矩平衡方程，N2l?W(l?a)?Fh(2)

由（2）解得：N2?W(1?a/l)?Fh/l 将N2代入(1)中得：N1?Wa/l?Fh/l

令F=0，即得到无拖车时前后轮的支持力N1’和N2’。显然，有拖车时，前轮支持力减小，后轮支持力增大。

7.6.3 电梯高2.2m，其质心在中央，悬线亦在中央。另有负载50×10kg，其重心离电梯中o 垂线相距0.5m。问⑴当电梯匀速上升时，光滑

导轨对电梯的作用力，不计摩擦（电梯仅在四角

l 处受导轨作用力）；⑵当电梯以加速度0.05m/sN 2

上升时，力如何？

Mg mg 解：⑴以o为轴,据力矩平衡条件：Nl?mgb

N?mgb/l?50?10?9.8?0.5/2.2?1.114?103N

⑵设电梯的加速度为a，以电梯为参考系，负载除受重力外，还受惯性力作用f*=ma,方向向下, 据力矩平衡条件：Nl?m(g?a)b

N?m(g?a)b/l?50?10(9.8?0.05)0.5/2.2?1.119?103N

7.7.1环形框架质量为0.20kg，上面装有质量为1.20kg的回转仪，框架下端置于光滑的球形槽内，回转仪既自传又旋进，框架仅随回转仪的转动而绕铅直轴转动，回转仪自身重r z 心以及它连同框架的重心均在C点，C点与转动轴线的垂直距离为r=0.02m，回转仪绕N 自转轴的转动惯量为4.8×10-4kgm2

,自转角

x C 速度为120rad/s. ⑴求旋进角速度；⑵求支架

球形槽对支架的总支承力。

(m1+m2)g 第7章 刚体力学 58 第7章 刚体力学

解：根据旋进与自旋的关系式：

??(m?m2)gr(0.2?1.2)?9.8?0.02??1??4.76rad/s I?I?4.8?10?4?120把回转仪与支架当作一个系统，设球形槽对支架的支承力为N，整个装置的质心C相对竖直轴做匀速圆周运动，由质心运动定理：

Nx?(m1?m2)r?2?(0.2?1.2)?0.02?4.762?0.63N Nz?(m1?m2)g?(0.2?1.2)?9.8?13.72NN?Nx?Nz?0.632?13.722?13.73N与竖直轴夹角??arctg22Nx0.63?arctg?2.63? Nz13.73

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