2012-2013学年北京市朝阳区高三年级第一学期期中数学（文科）参考答案

北京市朝阳区2012～2013学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷答案（文史类） 2012. 11

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 答案 （1） D （2） A （3） B （4） C （5） D （6） A （7） C （8） C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 题号 答案 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 3 ?3 [?1,2) 2d?2 45 45? 2a 2 或141(??,) 2 （注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为cosC?21， 32所以sinC?1?cosC?1?()?1322． ………………………2分 3所以S?ABC?1122ab?sinC??2?3??22． ………………………5分 223（Ⅱ）由余弦定理可得，c2?a2?b2?2ab?cosC

1?4?9?2?2?3?

3?9

所以c?3． …………………………………………7分 又由正弦定理得，

ca， ?sinCsinA所以sinA?a?sinC?c2?223?42． ……………………9分 394227)?． ……………………11分 99因为a?b，所以A为锐角， 所以cosA?1?sinA?1?(2数学（文科）参考答案 第1页（共5页）

所以sin(C?A)?sinC?cosA?cosC?sinA

?227142102． ……………………13分 ????393927

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）a2?4，a3?16． ……………………………………………2分

由题意，an?1?3Sn?1，则当n?2时，an?3Sn?1?1．

两式相减，化简得an?1?4an（n?2）． ……………………………………4分 又因为a1?1，a2?4，

a2?4， a1则数列?an?是以1为首项，4为公比的等比数列，

n?1所以an?4（n?N?） ……………………………………………6分 2n?1（Ⅱ）Tn?a1?2a2?3a3???nan?1?2?4?3?4???n?4，

4Tn?4?1?2?42?3?43???(n?1)?4n?1?n?4n， ……………………8分

两式相减得，?3Tn?1?4?4???4化简整理得，Tn?4(?)? 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得A?2，

n2n?11?4n?n?4??n?4n．………12分

1?4nn3191(n?N?)． ………………………………13分 9T2??????，所以T??． 2362所以??2． …………………………………2分 当x???时，f(x)?2，可得 2sin(2???)?2， 66??，所以??． ……………………………………………4分 26?6因为|?|?所以f(x)的解析式为f(x)?2sin(2x?)． …………………………5分 （Ⅱ）g(x)?f(x)?2cos2x?2sin(2x?)?2cos2x

?6?2sin2xcos???2cos2xsin?2cos2x 66数学（文科）参考答案 第2页（共5页）

?3sin2x?cos2x ………………………………………8分 ??2sin(2x?)． ………………………………………10分

6因为x?[0,]，所以?当2x?当2x??2????． ?2x??666????，即x?时，g(x)有最大值，最大值为2； ………………12分 623????，即x?0时，g(x)有最小值，最小值为?1．……………13分 66

18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当a?1时，则f(x)?2x?4x?4

2?2(x2?2x)?4?2(x?1)2?6．

因为x???1,1?，所以x?1时，f(x)max?f(1)?2． ………………………3分 （Ⅱ）当a?0时，f(x)?4x?3，显然在??1,1?上有零点，所以a?0时成立.……4分

当a?0时，令??16?8a(3?a)?8(a?1)(a?2)?0，

解得a??1,a??2． ………………………………………5分 （1）当a??1时，f(x)??2x?4x?2??2(x?1)．

由f(x)?0，得x?1?[?1,1]；

当a??2时，f(x)??4x2?4x?1??4(x?)2． 由f(x)?0，得x?22121?[?1,1]， 2所以当a?0,?1,?2时，y?f(x)均恰有一个零点在??1,1?上.………………7分 （2）当f(?1)?f(1)?(a?7)(a?1)?0，即?1?a?7时，

y?f?x?在??1,1?上必有零点． ………………………………………9分

（3）若y?f?x?在??1,1?上有两个零点，则

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?a?0,?a?0,???8(a?1)(a?2)?0,???8(a?1)(a?2)?0,????11?1???1,?1???1,或 …………………13分 ??aa???f(?1)?0,?f(?1)?0,???f(1)?0?f(1)?0.解得a?7或a??2．

综上所述，函数f(x)在区间??1,1?上存在极值点，实数a的取值范围是

a??1或a??2. ………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）f?(x)?1?ae． ……………………1分 当a?0时，f?(x)?0，f(x)在R上是增函数． ……………………3分 当a?0时，令f?(x)?0，得x??lna． ……………………4分 若x??lna则f?(x)?0，从而f(x)在区间(??,?lna)上是增函数； 若x??lna则f?(x)?0，从而f(x)在区间(?lna,??)上是减函数． 综上可知：当a?0时，f(x)在区间(??,??)上是增函数；

当a?0时，f(x)在区间(??,?lna)上是增函数，在区间(?lna,??)上是减函数．

………………………………………9分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a?0时，f(x)?0不恒成立．

又因为当a?0时，f(x)在区间(??,?lna)上是增函数，在区间(?lna,??)上是减函数，所以f(x)在点x??lna处取最大值， 且f(?lna)??lna?ae令?lna????，得a??lnax??lna??． ……………………………………11分

?， e?e故f(x)?0对x?R恒成立时，a的取值范围是[,??)． ………………14分

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20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）T1(2)：1,0,2,6;T2(3)：2,3,1,3;T3(4)：2,1,3,1.………………………3分 （Ⅱ）方法1：T1(4)：3,1,1,3;T2(2)：1,1,1,1;T3(1)：0,0,0,0．

方法2：T1(2)：1,1,3,5;T2(2)：1,1,1,3;T3(2)：1,1,1,1；T4(1)：0,0,0,0．

………………………………………6分

(k)(k)(k)（Ⅲ）记经过Tk(ck)变换后，数列为a1． ,a2,?,an11(1)(a1?a2) ,则a1(1)?a2?|a1?a2|，即经T1(c1)后，前两项相等； 221(1)1(1)(1)(1)(2)(2)取c2?(a2 ?a3)，则a1(2)?a?a?|a?a|，即经T2(c2)后，前3项相等；2323221(k?1)(k?1)继续做类似的变换，取ck?(ak?ak?1)，（k?n?1），经Tk(ck)后，得到数

2取c1?(n?1)列的前k?1项相等．特别地，当k?n?1时，各项都相等，最后，取cn?an，经

Tn(cn)后，数列各项均为0.所以必存在n次“归零变换”．

（注：可能存在k次“归零变换”，其中k?n）．………………………………13分

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