《新编数学教学论》涂荣豹 - 王光明等

新编数学教学论复习材料 第一章 现代数学教育观

1.简述什么是数学教育现代化

答：数学教育现代化是指：数学教育思想现代化，数学教育内容的现代化，数学教学方法的现代化。（1）

在数学教学内容现代化方面，主要是如何运用数学教育现代化的思想和方法，编写出现代化的普通教育的数学教材，即在体系、结构、内容各方面适应于教育现代化的需要。

在数学教育思想的现代化和教学方法的现代化方面，主要是教师如何用最先进的教育思想认识教材，如何用最先进的教学方法组织教学。（1） 2. 数学教育现代化的本质是数学教育思想观念的现代化。

3. 在数学教育观念现代化的问题上，最重要的是处理好继承和发展的关系，防止从一个极端走向另一个极端。（1）

1.1现代数学教育观

1.树立科学的现代化教育观，是数学教育沿着正确轨道前进的前提和保证。（1） 2.科学的现代数学教育观涉及多方面的思想认识，包括数学教育的目的观、功能观、学习观、教学观、能力观、技术观等等。

1.1.1数学教育的目的观

1.现代社会需要的人是：富有教养、具有独立性、自信心、创造力、积极主动和讲究效率的人。（1）

2.教育作为发展和完善人的活动，其目的是：培养出适应社会发展需要的人。（1） 3.数学教育已成为教育不可或缺的重要组成部分（因为，数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代公民所必需具备得一种修养。在现代社会中，数学教育是终身发展的重要方面，是人进一步学习的需要，是终身教育不可缺少的基础。这就需

要学校向更多的或者全体学生提供数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生学会数学地思维，数学地表达，培养学生实事求是、锲而不舍的精神。）（2）

1.1.2数学教育的功能观

1.数学教育的功能观是随着时代的进步而发展。（2）

2.从传统上看，教育的任务就是培养和造就人才，这里“人才”的含义实际是指“英才”。 3.数学教育的功能应该给学生一颗好奇的心，激发他们的求知欲；给学生一双数学的眼睛，丰富他们观察世界的方式；给他们一个睿智的头脑，让他们学会理性地思维；给他们一套研究的模式，让他们获得探索世界奥秘的显微镜和望远镜；给他们一双数学的眼睛，一对数学的翅膀，让他们看得更远，飞得更高。（2）

1.1.3数学教育的学习观

1.数学学习的最基本的特点之一就是独立思考。（2） 2.个人的发展实质上包含个人能力和社会关系两个方面。（3）

3.真正的数学学习是“思接千载，视通万里”的精神活动，数学学习需要刻苦，但更是一种快乐，是刻苦酿造快乐。（3）

4.真正的数学学习是通过独立思考，使得对数学的理解向深层次结构转化。一旦向深层次结构转化的学习发生突破时，对数学原先的理解就扩大了。数学学习正是一个重组知识、解释经验、发展认识的过程。但是这个过程建立在学习者勤于思考、善于思考，特别是独立思考的基础之上。

5.个人能力是指：鉴赏力、洞察力、学习能力、创造能力、表达能力等。

6.社会关系的丰富意味着个人能不断地拓展自己的生活舞台，在日新月异的社会生活中成功地扮演各种社会角色。（3）

1.1.4数学教育的教学观

1.数学教育应该是“以激励学习为特征，以学生活动为中心”的实践模式，而不是“传授知识”的权威模式。（3）

2.促进学生学习，是教育者的基本责任和最终目标。（3）

3.教的正确方式应该是，教师作为学生学习的向导和领路人。（即创设情境，激发兴趣，引发问题，促进探索，启迪思维，激励创造。） 4.教师的教是服务于学生的学的。（4）

5.在学校教学中，牢固确立“教师的教是服务于学生的学的”这一观念十分必要。学习的过程应该是一个创造的过程，一个批判、选择、释疑、存疑的过程，课堂教学应当充满想象，充满探索性和体验性。任何知识，特别是个体的经验，需要有一个个性化的过程。别人的知识和经验没有经过改造、扬弃、整合、升华为自己的精神修养的学习，是没有用处的，至少是没有大用处的，充其量只是小技巧，而不是大智慧。再多的学习 ，其作用也是十分间接的、潜在的。

1.1.5数学教育的能力观

1.数学教育应发展学生广泛的基本数学能力。（4）

2.数学能力分为：学、才、识三个方面。（4）（多项选择题——用）

“学”是指数学的各种概念、公式、定理、算法、理论等等。

“才”是指运算能力、推理能力、分析与综合能力、洞察力、直觉思维能力、独立分析问题和解决问题的能力等等。

“识”是指分析鉴别知识，在经过融会贯通后形成的个人见解和策略观念。 .必须“学、才、识”三者兼顾才能构成完整的数学能力。（4） 3.数学能力更体现为创造力。创造力是鼓励出来的。（4）

4华裔物理学家李政道的名言：求学问，需学问；只学答，非学问。（4）（单项选择题）

5发问即使很幼稚，却蕴含着创造。向常规挑战的第一步，就是提问。对每一个人来说，从小养成敢于提问的个性，始终保持一颗好奇心，培养对学习的热爱，是学生创造力培养的要诀。

1.1.6数学教育的现代技术观

1.从思维的角度看，现代信息技术是人类头脑的延伸，它可以模拟试验，拓展想像，促进理解，甚至可以完成人类无法完成的任务。（4）

2.从学生学习数学的角度看，现代教育技术所具有的卓越性能，有利于学生成为真正的学习主体。在现代教育技术这一平台上学生能充分地发挥自己丰富的想象力和自由创造的思维，在美妙无穷的数学空间中翱翔。

3..从数学教学的角度看，运用现代教育技术，可以使教师在教学活动中充分扮演组织者、引导者的角色。

1.2我国数学课堂教学的特点及分析

我国数学课堂教学的若干特点：

1、突出知识性的具体目标。1）大纲、课标及考纲对知识提出不同的目标要求。2）教学过程中对目标细化具有可操作性。3）每章每单元和每节课都有细致的目标。 2、长于由旧知引出新知。3、注重新知识内部的深入理解。4、重视解题并关注方法、技巧。

5、重视巩固、训练和记忆。1）及时巩固、强化练习是我国数学教学的重要特点。 2）我国数学教学强调记忆有法

1.3对我国中学数学教学的反思

我国的数学教学存在的问题和不足有：一是重结果，轻过程。二是重显性知识，轻思想方法。三是重知识点传授，轻知识网络构建。四是重解题训练，轻能力发展。五是重解答，轻反思。六是重教学思路设计，轻学生思维诊断。

第二章 现代数学观

1.数学教育中的数学观，就是指从数学教育的基本任务出发来认识和理解数学的特点。

2.1数学的抽象性特征

1.数学对象的抽象性：数学与其他科学相比较，最主要也是最基本的特点，就是他所研究的对象是抽象的形式化的思想材料。（12）（如：数、式、方程、函数；点、；线、面、体；群、环、域；欧氏空间、线性空间、拓扑空间……他们是人类思想抽象的产物）

2.数学的对象不仅是抽象的思想材料，而且还是形式化的思想材料。（13） 3.所谓形式化就是这些抽象的思想材料使用数学的特殊符号语言组织起来，当人们面对一系列数学材料时，，看到的仅仅是材料的形式，其所包含的真正内容却是抽象的思想隐藏在形式之中。（13）

2.1.2数学理论的抽象性

1.事物的本质指人在思维中把事物的某一方面的特性与其它特性区分开来加以单独考虑，进而舍弃其他的特性，保留下来的特性就是抽象出来的事物的本质。（13） 2.许多不同科学领域的不同问题，表面看起来是完全不同的，可它们由数学语言表述出来的时候，可以用同一个数学模型来刻划，因为这个数学模型反映了它们的共同性质，即它们的本质。同一个数学概念和理论反映了多种问题的共同本质属性（13） 3.数学反映各种不同领域的许多深刻的联系，从而使数学起到统一和综合各种科学知识的作用。（13）

4.数学通过揭示本质属性实现的统一和综合，使人类获得深刻的洞察力，促进人类对客观世界的理解。（13）

2.1.3数学方法的抽象

1数学思想活动除了对数学对象进行创造以外，还创造解决数学问题的数学方法。.数学方法指就是数学处理自身问题的方法。（13）

2.数学的主要研究方式是思辨。（13）（由于数学的对象是抽象的形式化的思想材料，这就决定了数学研究必然是以思辨的方式进行的，也就是数学活动是人类抽象的思想活动。尽管计算机为今天的数学研究提供了史无前例的技术力量，但是数学科学

的研究工作在很大程度上仍然依靠个人的灵感和创造力，也就是依靠于个人的思维活动。）

3.数学的思想实验表现为内部思维动作的操作过程，其他科学则表现为外部行为动作的操作过程。

4.数学中的弱抽象方法：在数学的思想活动中，有一类方法是在同类的事物中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃其他的特征，从而形成新的数学概念。这种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为“弱抽象”。

5.弱抽象的特点是，用弱抽象得到的数学对象，一般是概念外延的扩大，而内涵的减少。

6.弱抽象方法是数学思想活动的主要方法之一。弱抽象的本质在于舍弃。（14） 7.一般而言，只有内容结构较为丰富的对象，才能成为弱抽象的原型。

8.数学中的强抽象;数学思想活动中，有一类方法是把新的特征或属性添加到已有的数学结构中，从而形成新的数学概念，这种通过在原有数学结构中添加新的性质来获得新数学概念的抽象过程，称之为“强抽象”。（14）

9.强抽象的特点是，强抽象方法获得的数学对象，一般在概念的外延上缩小了，但内涵或结构更加丰富和具体了。

10.强抽象方法的本质在于“添加”，强抽象是将不同数学概念或结构有机地结合起来。 11.强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法。从思维活动的方法看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程。（15）

2.1.4数学抽象的理想化特点

1.数学中的很多概念是理想化抽象的产物。（15）（如平面几何中点、直线、平面以及解析几何的笛卡尔坐标系，是最典型的理想化抽象。）

2.数学的理想化抽象之所以适用于对现实世界的研究，并成为认识现实世界的有力手段，是因为这种对现实对象和过程的理想化，具有扎根于现实世界的合理性和潜在

的可实现性。（15）

3.自然数公理化概念即是建立在这种潜在的可实现基础之上。几何图形的无限分割，也是一种潜在的可实现思想的体现。

2.1.5数学抽象的形式化特点

1.数学抽象性的与众不同之处是数学的抽象具有形式化特点。（15）

2.数学抽象性的形式化主要表现在两个方面：数学语言的形式化、数学概念命题的形式化3.数学语言的形式化：数学思想活动的结果必须要以某种形式记录和表达出来，在这方面，数学采取的是形式化语言，也就是说数学语言是“形式化”的。

4.数学语言的形式化，首先表现为符号化。数学符号是数学抽象物的表现形式，是数学存在的具体化身，是对现实世界数量关系空间形式和结构关系反应的结果。数学符号按一定规则组织起来，就成为数学思想材料的材料的物质载体―――数学语言 5.数学符号代表了特定的数学含义，但是仅仅看他们的表面并不能看出内在的意义，因而是一种形式，或者说它只是所代表实质的形式的外壳，只有懂得它们的意义的人，才能把这个形式与其意义联系起来，才能剥去形式的外壳看见他们的实质。（16） 6.数学概念、命题的形式化：数学语言中有一个共同的句法形式是“如果……那么……”或“若……则……”。即数学的论断都是建立在假设的基础之上，如果假设不成立，那么论断也就不成立了。（16）

7.数学是在以假设为前提的基础上进行自身的科学理论建设的。（16）

8.数学的形式化不等于数学的符号化，数学的符号化是数学形式化的一部分。（16）

他们的差别在于：符号化着眼于各种数学抽象物本身及其关系的形式上的表述。形式化着眼于各种数学抽象物之间本质联系的形式上的表述，目的是把纯粹的数量关系或结构关系以简洁明了的形式加以表述，以便揭示各种抽象物的数学本质和规律。

9.对数学形式化有一个正确的认识，对数学教育而言十分重要。（17）（因为，教师和

学生在教与学的活动中，不仅要掌握数学对象的形式，更要理解数学形式所包含的数学对象的本质属性，透过形式抓住本质。）（辨析题）

2.2数学的确定性特征

1.数学的确定性由数学对象的抽象性决定。（17）（数学抽象保留了事物的共同的本质，只有这些本质的东西才是稳定的、确定的、不变的，事实上数学正是研究在一定数学运动变换下的不变性质。）（辨析题） 2.数学的确定性由数学方法的抽象性决定

数学方法的基本点就是概念的明晰性。（无论是数学家研究数学，还是学习者学习数学，其首要任务就是明白其面临问题所涉及的概念，概念不明确一切数学活动都不能进行下去。）（17）

数学方法的抽象性使得数学结论具有普适性、稳定性。 3.数学的确定性由逻辑方法本身的精确性决定。（18）

在逻辑方法中，一切使用的概念在推理中必须服从规则。

由于逻辑方法具有确定的推理规则，一切概念服从规则，这使得逻辑方法本身具有了确定性。，进而使得经由逻辑方法检验而获得真理性的数学有了确定性的保证。（18）

4.数学的确定性由公理化的结构决定。（18）

将某些概念以及它们之间在关系当做原始的，不加定义的，而所有以后的概念和性质都以精确的定义和逻辑论证的方法，从原始概念导出。这种建立科学学科的过程就是公理化。

数学的公理化本质上反映了数学的内部组织形式，数学公理化发展经历了实质公理系统的第一阶段，形式公理系统的第二阶段，才完成了数学内部组织精确化、完善化的过程。

决定数学理论体系最原始的真值保证，即决定那些不加证明的数学公理的真值性的保证，只能是数学家们亲身工作的实践。（18）

2.3数学活动的探索性特征

1.数学高度抽象性、确定性和广泛应用性方面的特点，是数学具有区别于其他科学的独特的特点。（19）

2.数学的探索性特征就是指，在数学活动中要运用一般科学的探索方法：观察、实验、想像、直觉、猜测、验证、反驳。

3.数学活动有三类：数学研究活动，就是数学发现发明的过程；数学认知活动，即数学学习活动，这是一个再创造的过程；数学实践活动，即用数学解决问题的创造性过程。

4.数学活动都要经历发现问题，提出假设，验证猜想的阶段，这个阶段就是数学探索活动阶段。

5.数学探索性表明了探索活动阶段的不确定性。正是这种不确定性，体现了数学活动的创造性。（19）

6.数学教学中教师把对数运算性质的发现过程作为重点，就把课本上缺失的探索过程弥补出来，也就是常说的“还原数学创造的本来面目”。（21）（这是一个十分典型的数学探索活动，这种情况的创设正是教师创造力

7.所谓数学的探索性活动，就是对数学问题，人们根据自己的经验和知识，运用实验、观察、想像、直觉、猜测、验证和反驳的方法，寻求一种可能性结论的活动。（21） 8.数学探索性活动的基本特点有：其一，不是运用逻辑推理的论证方法，而是运用合情推理的探索方法；其二，可以获得发现发明的内容；其三，可以寻找解决问题的思路；其四，可以预测可能性结论的正确程度，对其作出合理的修正；其五，其结果只具有“可能性”，必须通过严格的论证才是可靠的、最终的结论。（21） 9.数学探索性活动的意义在于，它是数学发现发明的方法，是每个人将来进行创造性

工作必须应用的方法。（22）

10.数学探索性活动的关键是提出猜想。（22）验证是数学探索活动不可缺少的环节。（22）

11.数学探索性活动需要丰富的想象力。数学活动中想象包括几何想象，类几何想象，数觉想像，心理图像几个层次。

12.数学直觉一般是指：对于数学对象事物的结构及其关系的某种直接领悟或者洞察。（22）

数学直觉不包括普通逻辑推理过程，具有非逻辑性、自发性的特点，包含合情推理形式的直接领悟，属于非逻辑的思想活动范畴。（22）

13.数学直觉的作用至少有两个：辨识性作用和关联性作用。（22）（在数学研究中，或在数学解题中，人们常常要面对几种可能的思路。这时常常是直觉在极短的时间迅速识别，作出抉择。在数学活动中，在原来认为不相同或不相关的几个事物之间，直接察觉到他们的联系或者统一性，从而为猜测提供了依据。）

14.在数学解题过程中，不少解决问题的方法和途径是通过直觉的关联性作用而发现。（22）

2.4数学的广泛应用性特征

1.数学提供了特有的思维训练。（23）中小学的数学课是教你思考。（23）

2.数学所提供的特有的思维训练有：数学化、抽象化、最优化、符号化、随机化、逻辑分析。（23）

3.数学提供了科学的表达语言。（23）（数学语言是各种科学的通用语言；数学语言是世界各国家各民族的通用语言。）

4.数学对人人类的思维训练所具有的价值，是数学应用的最大体现。（24） 5.数学提供了抽象思维的模式。（为解决实际的和科学理论在非数学问题提供了抽象思维在模式。这类抽象思维的模式包括：为非数学问题转化为数学问题提供了具体

的数学模型；为构造数学模型提供了数学模型的抽象方法。

6.数学提供了科学理论的示范作用。（数学理论示范作用主要表现为各门科学都把逻辑化，系统化甚至公理化作为本科学发展的目标。 7.数学提供了不可思议的应用。

2.5数学的文化价值观

1.数学作为人类文化及其重要的组成部分，对人类文明发展有着举足轻重的作用，特别是现代文化的发展更表明了数学文化的地位和作用。（25）

2.数学独特的文化价值有：认识价值（数学是科学的语言、数学是普遍适用的思想方法。）；智力价值（数学是人类智力的创造物，是训练人的智力、提高人的智力水平的最有效的途径。）；精神价值（理性精神、求实精神、创造精神）；美学价值（简洁之美、和谐之美、奇异之美）。

3.数学语言具有单义性、确定性的特点，数学语言已成为一种通用的理想化的语言。（25）

在数学众多思想方法之中，带有根本性的思想方法的是公理化思想、数学模型方法等。（26）

4.数学是普遍适用的思想方法。首先，数学的思想方法起着科学示范的作用。其次，数学思想方法为其它科学提供了普遍思想框架。（26）

5.人的智力的核心是思维能力。思维能力都是各种能力的核心能力.（26）

数学学习中的，数学老三大能力是：运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。（26）

数学学习中的，数学新三大能力是：数学应用能力、数学探索能力和数学阅读能力

6. 理性精神是人类对外部客观世界与自身的一种理性的，根本的看法或基本态

度，它对人类自身存在和文化发展具有特别重要的意义。一方面它是人脑抽象思维的创造物，另一方面它是不依赖于人的意志而独立存在的。

求实精神表现为尊重事实，尊重科学，尊重规律，实事求是，讲究逻辑，不迷信，不盲从。

数学是一种创造性活动和创造性活动的精神产物。首先，数学概念的建立具有前所未有的创意，其次，数学的创造也表现在公式，定理的发明，发现中。再次，数学的创造还表现在数学理论体系和语言系统的创建上。

第三章 数学课程理论及其发展

3.1什么是数学课程

1.“课程”一词按中文的解释，“课”指课业，“程”指进程，课程是“课业及其进程”。它包含了两个方面的含义：教学的科目或内容以及这些科目或内容的教学时间与程序。（29）

2.什么是数学课程？

由于对“课程”概念理解的不同，所以对于“数学课程”的理解而有所区别。（31） “经验说”.当我们把课程看作一种静态的客体，一种预设的、有目的的安排，看成是旨在使学生获得教育性经验的计划时，相应的数学课程就应定义为：在学校教育环境中，旨在使学生获得促进其全面发展的、具有教育性的数学经验计划。（31）

“内容说”。如果我们把课程看作是一种静态的，为实现学校教学目标而选择的教育内容的总和，那么数学课程就应定义为：为实现数学学科教育目标而选择的数学教育内容的总和。（31）

“过程说”。当我们把课程看作是一种动态的师生共同参与的意义创造的过程时，相应的数学课程可定义为由师生共同参与的建构主体性数学经验的过程，是学生获得数学体验的历程。（31）

总之，由于课程概念的不统一性，决定了我们对数学课程的界定也是有差别的，

各有侧重。（31）

3.2数学课程论的研究内容

1.简单地说，数学课程论主要内容是讨论体现数学教育目的的教学内容的问题、内容的结构及体系的建立以及课程实施与评价等问题,即在学校教育中应该传授哪些数学内容,为什么选取这些内容等.

2.数学课程目标:依据国家教育方针,分析国家教育总目标,确定数学课程目标 3.数学课程内容:依据数学课程目标,分析影响数学教育的因素,包括社会的、数学自身的、教育心理的,特别是了解教育者身心发展和社会现实对数学的需求,选择和确定数学课程内容.

4.数学课程体系:何时使学生学习什么样的数学内容有利于学生的发展和学生对数学知识的系统掌握,还需要研究学生的心理发展规律和数学知识的逻辑结构体系,并把二者有机地结合起来,建立科学的数学课程体系.

5.数学课程内容的组织与呈现:同样的数学内容,组织与呈现形式不同,对学生的学习会产生不同的影响.

6.数学课程的实施:分析课程实施过程中的积极因素与消极因素,研究因素的可控性,增强积极因素的作用,克服消极因素的影响.

7.数学课程的评价:针对课程目标,根据现行数学课程,研究课程评价的方式方法,编制测量工具,对课程进行科学的评价,以不断提高课程质量,为未来数学课程的设计与发展提供依据.

3.3数学课程的发展

1.影响数学课程发展的因素:社会因素（社会生产力水平决定了社会生产对数学的需要，社会政治、文化影响学校的数学课程）,数学因素,教育心理因素（表现在新的教育理论或开拓的工作会成为课程发展的动力）.

2.数学课程的改革与发展的因素还有学生的认识发展水平、数学教师的素质、历史与

传统文化的因素等。

3.数学课程改革与发展的趋势：突出学生的主体性地位，与现在教育技术相结合，课程组织上的融合。

第四章 数学学习理论及其教学启示

1按照“教与学对应的原理”，数学教学应该建立在学生对数学学习的基础之上，因此对数学教学的认识必然要以数学学习的认识为基础。数学学习是数学教学过程中的中心问题，也是数学教学认识论的核心概念。（35）

2.人们关于学习的认识历经了由行为主义到认知主义的过程。（35）

3.当今认知心理学理论强调学习中相互关联的三个方面：第一，学习是一个知识建构的过程而不是仅仅是知识的记录或吸收；第二，学习依赖于知识，学生必须运用已有知识来建构新知识；第三，学习与产生学习的情境具有高度一致性。

4.1什么是数学学习

1.行为主义意义下的学习，是指由练习或经验引起的行为相对持久的变化的过程（行为主义观的学习）

2.行为主义意义下的学习，其行为变化的特点有：1）它的要意在于要使学习成为可以观测和测量的概念。2）这种行为上的变化是能够相对持久保持的。3）学习的发生是由经验所引起的，这种变化主要是学习者与环境之间复杂的相互作用而产生的，是后天习得的，不是先天的或生长成熟的结果。（35）

3.(认知主义观的学习）认知主义观人为：学习是人的倾向或能力的变化，这种变化能够保持但不能单纯归因于生长过程。这也就是把人内部的认知结构的改变确认为学习。（美国加涅观点）（36）

4.人类学习的实质，是人的能力、思想、情感的变化。（36）

行为主义强调对学习研究的客观观察和测量。（36） 认知主义强调学习的本质是内在能力和倾向的变化。（36）

5.教育情境下的学习可以解释为：按照教育的目的和要求，由经验产生的、比较持久的行为、能力或倾向的变化。（37）

6.数学学习，可以认为是学生通过获得数学知识经验而引起的持久行为、能力和倾向变化的过程。（37）

7.数学学习具有一般学习的所有特点，尤其是：以系统掌握数学知识的内容、方法、思想为主，是人类发现基础上的再发现；在教师指导下进行，按照一定的教材和规定的时间进行，为后继学习和社会实践奠定基础。（37）

8.数学学习具有自身明显的特点，所以，学生在数学学习时：需要提高抽象思维的水平；需要发展逻辑推理能力；需要必要的解题练习。（37）

9.抽象与概括都是一种思维方法，它们是相互依存。只有通过由具体到抽象的概括，才能既掌握数学结论的形式，又掌握形式背后的实质。（37）在数学解题中需要很高的抽象概括能力。（37）很多学生解题能力不强，是没有很好掌握抽象概括思维方法的结果。（37）

10.归纳﹑演绎、推理是一种主要思维形式，是有一个或几个判断推出另一个判断的思维形式。数学证明所采用的最基本、最主要的形式是逻辑推理。（37） 11.数学学习是离不开解题练习的，并且练习要达到一定的数量，才能学好数学。 12.数学学习的基本方法：从学习心理学的角度看，数学学习的基本方法主要有模仿学习、操作学习、创造性学习。（38）

模仿学习就是按照一定的模式去进行学习，它直接依赖于教师的示范。（在数学学习过程中，数学符号的读写、学具的使用、运算步骤的顺序、解题过程的表达、数学方法的运用、学习习惯的养成等都含有模仿的成分。）

模仿是数学学习的基本的方法。模仿可以是有意的，也可以是无意的。模仿有两个层次：简单模仿和复杂模仿。

简单模仿是一种机械性模仿，往往不是有意义学习。复杂模仿一般需要很强的

学习水平上的有意义的学习是不够的，必须达到概念学习水平上的有意义学习才是真正获得了数学对象的意义，才是真正的数学有意义学习。）

18.数学内容之间的关系有：类属关系、总括关系、并列关系。这三种关系主要由数学内容的包摄水平和概括水平的高低来决定。包摄和概括水平高的处于总括地位，低的处于类属地位，水平相当的处于并列地位（48）

19.建立在内容之间的关系基础上的数学学习形式，主要有两种：同化学习和顺应学习。（48）

20.同化的概念是指把给定的东西整合到一个早先就存在的结构之中。（48）所谓同化学习，就是当新的数学内容输入以后，主体并不是消极地接受他们，而是利用已有的数学认知结构对新知识内容进行改造，使新内容纳入到原有的数学认知结构中。（48）（填空）

21.在同化的过程中，主要是辨识新旧知识的联系，并由原有的旧知识作为生长点或固着点，把新知识

22.就认知结构中已有知识而言，对于其是类属关系的新知识的学习主要是同化，对与其是总括关系和并列关系的新知识的学习有一部分是同化。（48）

23.一般来说。从学习新知识到练习中对新知识的保持是再认性同化；在其他知识中又遇见那个新知识时而对新知识的学习是再生性同化；在各种新问题中不断地遇到那个新知识以后对新知识的学习是概括性同化。（49）

24.要对原来认知结构进行改组，使之与新知识内容相适应，从而把它纳入进去，这个过程叫作顺应。（49）（填空）同化学习是新知识适应已有知识的过程，顺应学习是已有知识适应新知识的过程。

4.3学生的认知发展理论

1.皮亚杰对学生的认知发展水平按年龄划分出：感觉运动阶段、前运演阶段、具体运演阶段和形式运演阶段这四个不同的认知发展阶段。（50）

感觉运动阶段（0﹌2岁）是指全语言或者全部表象性概念以前的感知活动时期。儿童虽然逐渐分化出朦胧而模糊的图式，但由于还没有产生表象、语言和思维，因而其图式只是外部的运动和对运动的直觉。（51）

前运动阶段（2﹌7岁）1.实物化概念：只能用实物（指代物）来把握概念。这表明这个阶段的儿童只能进行代表学习水平上的学习，不能进行概念学习水平上学习，停留在不能离开活动的具体概念上，没有出现抽象概念。2.表象依赖性是指只能依据具体的东西来表示静态的活动或事物。3.注意广度片面单一，不能看到事物的两个方面或多个方面。4.原始性态的推理。5.运演的前水平（前运演思维的不可逆性，即是指思维只能朝着单一的方向）。（52）

具体运演阶段（7～12岁）在心理上进行内部的组合、对应、分类等内部的

思维活动，而不是仅仅依赖于通过外部的行为活动。1.运演的可逆（既可以进行正运演也可以逆运算）2.运演系统的守恒。3.运演的传递。4.注意广度的扩大。5.运演的直观支撑。

具体运演阶段的直观支撑的本质是思维的形式与内容还不能完全分离。 形式运演阶段（12～17岁）本质是有可能通过假设进行推理，并把形式的连

接和内容的真实性区分开来。1.由具体思维向抽象思维发展。2.由学习概念向学习命题发展（学习命题实际是在命题间进行运演，也就是二级运演。包括：应用蕴涵的运演、应用命题逻辑的运演、对加工制造出来的关系的运演以及协调两个参照系系统的运演）。3.逻辑思维向形式化推理发展。4.思维量和思维度向复杂发展。5.朝着自我反省的思维活动发展。

皮亚杰的“反身抽象”经过感觉运动水平→前运演水平→具体运演水平的发

展过程。

4.4数学建构主义学习理论

1.建构主义思想最早是瑞士心理学家皮亚杰提出来的。（选择题）从最初的格局建构

成结构，结构对认识起中介作用，结构不断地建构；从比较简单的结构到更为复杂的结构，其建构过程依赖于主体的不断活动。高级结构的建构是在解决问题的过程中，依靠主体的活动来实现和完成的。（55）

2.数学的对象主要是抽象的形式化的思想材料，数学的活动也主要是思辨的思想活动，因此数学新知识的学习就是典型的建构主义学习的过程。（55）（简述） 4.4.1建构主义学习观

1.数学建构主义学习的实质是：主体通过对抽象的形式化思想材料的思维构造，在心理上建构这些思想材料的意义。（55）

2.所谓思维构造，既是指主体在多方位地把新知识多方面的各种因素建立联系的过程中，获得新知识的意义。（55）

3.建构是新知识的意义同时建立和构造的过程。（既要建立对新知识的理解，将新知识与已有的适当知识建立联系，又要将新知识与原有的认知结构相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。）（55） 4.植根于内部的认知网络和强行嵌入的外部结构。

4.4. 2数学建构主义学习的主要特征

1.数学建构主义学习是主体对客体进行思想构造的过程，是主体在以客体作为对象的自主活动中，由于自身的智力参与而产生出个人体验的过程。 2.数学建构主义学习的主要特征：自主活动、智力参与和个人体验。

个人体验有语言成分，也有非语言成分。即数学认识的建构是语言和非语言双重编码。在对客体的主动活动中，主体在获得语言表征的同时，还获得情节表征和动作表征。语言表征是活动中经验的抽象和概括，情节表征是活动中的视觉映像或其他映像，动作表征则是行动中获得的直接体验。

智力参与就是主体将自己的注意力、观察力、记忆力、想象力、思维力和语言能力都参与进去。

数学建构主义的学习以学生的自主活动为基础，以智力参与为前提，又以个人体验为终结。学生的自主活动，第一是活动；第二是学生的自主性和积极性。活动是个人体验的源泉，是语言表征、情节表征、动作表征的源泉。 4.4.3 数学建构主义学习的两个基本过程

1.基本模式就是同化和顺应。同化是原有认识结构对新知识的认同，顺应是原有认识结构对新知识的适应。可以说有意义接受学习和有意义发现学习是建构主义学习的两个基本过程。

2.有意义发现学习，是思维构造的探索阶段先于言语表达和概念定义。有意义接受学习室言语表达和概念定义先于思维构造的探索阶段。 4.4.4反思建国主义学习观

1.从学习理论发展看，虽然建构主义是一种新思想，但其很多主要观点其实是集教育认知心理学多家之说的概括，运用时要结合具体情况选择科学正确的理论来指导数学的教与学，处理好继承和发展的关系。2.建构主义在哲学上过分强调科学知识的相对真理性容易造成误解，进而造成学生真理的怀疑和学习的随意性。3.建构主义理论在教育上有其积极意义，但追求个人意义观点，容易导致从一个极端走向另一个极端。

4.5探究性学习理论及其在数学教学上的应用

4.4.1数学探究学习的实质

1.探究学习的基本特征：自主性、过程性、实践性、开放性。

2.数学探究学习是指学生自己或合作共同体针对要学习的概念、原理、 法则或要解决的数学问题主动数学问题主动地思考、探索的学习活动，强调的是一种主动参与的学习方式。

3.探究学习与接受学习作为两种主要的学习方式，是相辅相成，结伴而行。 4.5.2数学探究学习的课堂教学指导策略

1.数学探究学习的课堂指导策略实质是探究教学方法的问题。设计基于问题情境的数学探究环境，是一切数学探究教学方法的基础。

2.数学探究学习课堂指导的一般模式：创设问题或探究环境→预备探究与组织分配→独立探究或协作探究→成果累积与过程评价→求异探新或问题眼神。

第五章 数学教学理论及运用

1.数学教学理论是数学教学实践经验的概括与总结，是人们对数学教学现象及其规律的一种系统化的理性认识，是数学学科教学的感性经验上升为理性认识后的一种表现形态。

2.数学教学理论主要研究数学教学情境中教师引导、维持或促进学生学习的行为，从而提供一般性的规定或处方，以指导数学课堂的实践活动。（65）（填空题、简答题）

5.1数学教学及其过程

1.数学教学是数学活动的教学，数学教学过程是数学活动的教学过程。（65） 2.数学教学的认识：（1）数学教学是数学活动的教学；（2）教学中的数学活动是逐步深入的分层次活动；（3）数学活动发生具有逻辑必要条件；（4）数学教学具有自身的基本特点。（65）

3.数学教学是数学活动的教学。（简答题）（65）（数学活动是抽象的形式化的思想活动，因而将数学教学界定为数学活动的教学，是对数学教学本质的准确把握。数学教学中的数学活动既有外部的具体行为操作，又有内部的抽象思维动作，是学生由外及里的活动，并且以内部的积极思维活动为主要形式。）

教学中数学活动是逐步深入的分层次活动。（66）（这种层次性依次体现在下述几个方面。第一，借助于观察、试验、归纳、类比、概括等活动积累事实材料（数学化的过程）；第二，由积累的材料抽象出原始概念和公式体系，并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论（数学的再发现过程）；第三，应用理论（实践活动或更高级的抽象活动））

4.数学活动的三个层次具有内在联系性。（66）（前一层次是后一层次的基础，后一层次是前一层次的发展，呈现出螺旋递进的特征。数学活动的层次性也是个体数学活动经验水平的一种标志，即数学活动的各个层次都有其相应的数学活动经验水平。上述三个层次就明显地呈现由感性到理性、由低级到高级的数学活动经验水平。） 5.将数学活动分成几个层次具有明显的优越性，（简答题）将抽象的数学活动具体化，突出了数学活动的过程性，使得数学教学中的数学活动具有明显的可操作性。（66） 如果从数学学习的建构主义理论出发，分层次认识数学活动则有助于设计数学建构学习。（66）（因为由简单到复杂的分层次数学活动恰恰是数学建构活动的基本方式。对新的数学知识的理解是借助已有的数学经验和知识，超越所提供的新数学知识而建构的。也就是说，较高层次数学知识的建构是以较低层次数学知识为基础的。） 6.数学活动发生的逻辑必要条件：（67）第一、引起学生学习的心向(是否引起了学生学习的心向是判断数学活动是否发生的一个重要标志)；第二，数学活动内容的潜在逻辑性（教学中数学新知识的呈现要以学习者的认知结构中是否有适当的知识可与之建立非人为和实质性的联系为依据，这是有意义学习的基本条件。）；第三，数学活动要以学生的已有学习为基础；第四，学生要具备参与数学活动的思维潜能（具备相应的思维潜能，是数学有意义学习的基本条件）。

7.数学教学除了具有抽象性、严谨性、探索性和广泛性外，还具有其他基本特点，：第一，数学教学高度强调学生智力参与和独立思考（数学的抽象性和严谨性决定了数学是以理性思维为主的科学，思维活动是数学活动的基本形式）；第二，数学教学要把握大观点和核心概念；第三，数学教学应该是一种科学探究活动；第四，数学教学离不开数学解题；第五，数学教学必须重视过程知识。（67）

8.数学学习表现为一种内隐的理性思维过程，属于头脑里的暗箱操作，本质上是一种思想实验。数学有效的数学教学活动应重在使学生亲历知识的发生、发展过程，体验数学的思考方式，从而获得相关的过程知识。（70）

5.1.2数学教学过程

1.数学教学过程是数学教师组织和引导学生系统地学习和掌握数学知识，进行积极的思维活动，形成良好的认识与发展相统一的育人过程。

2.数学教学过程的实质体现在三个方面：从结构上看，它是一个以教师、学生、教学内容、教学方法等为基本要素的多维结构；从性质上讲，它是一个有目的、有计划、的多边活动过程；从功能上讲，它又是一个教师引导下的学生主动探究、发现、建构数学知识，发展数学能力，促进情感、态度、价值观等各方面素质全面发展的育人过程。（70）

3.数学教学过程中最基本的因素是：教师、学生、教学内容、教学方法。

教师是教学向导的主角；学生是学的活动的主体；教学内容是师生活动的载体；教学方法是指引教学过程展开的行动方式。（70）

4.数学教学过程展开的基本规律需要从“教什么”、“怎么教”、“教学结果如何”等三个方面来考察。（71）

教师作为教学的引导着，就是要求一定要把学生放在探究的位置上，让他自己去探究，自己去发现，他必须成为主动的学习者。（72）

5.教师通过启发给学生以必要的暗示，学生通过自己的思维活动获得暗示。

数学中启发教学的方法主要有三种：一是设计问题情境；二是设计动态的直观图形启发学生；三是运用“元认知提示语”发问（P125） 6.数学教学的结果是构建良好的认知结构（72）

5.2数学教学原则）

1.数学教学原则是指导数学教学的一般性原则，是进行数学教学活动应遵循的原则。

数学教学原则是根据数学教育的目标，数学学科的特点，学生学数学的心理特征以及数学教学的实践经验等概括而成的。数学教学原则包括两类：数学教学的一般原则和数学教学的特殊原则。（73）

5.2.1数学教学的一般原则

1.数学教学的一般原则：（1）主动性原则；（2）发展性原则；（3）启发性原则；（4）理论联系实际的原则。（73）

（1）主动性是教学的普遍原则。它要求学习者必须积极主动地参与数学活动，在“做数学中学数学”，也就是说数学教学必须遵循主动性原则。

主动性原则的基本标志是独立思考和智力参与。（73）

在教学中突出主动性原则的途径主要有两个：一是注重培养学生主动探究的意识（要充分将学生置身于探究的情境中，注意激发学生主动参与的兴趣和动力。）；二是在主动学习的方法上多加引导（通过介绍、讨论、对比思考的角度和方法，提高学生独立思考和智力参与的经验和质量）。（73）

（2）发展性原则。从数学教学的角度看，以可持续发展为特征的发展性原则主要体现在以下几点：第一，使学生充满主动学习的热情；第二，是学生学会学习；第三，发展学生的认识力。（73）

（3）启发性原则。（教师作为教学向导的主角，其引导作用主要是通过启发来实现的，而学生作为主动的探究者，也离不开教师适时的启发引导。）启发性原则是数学教学基本指导思想。（74）

启发性原则最基本的要求，就是教师要站在学生的角度，从学生的知识水平、思维水平、经验水平出发，提出适当的问题，设置合理的问题情境，去引导学生思考，使学生的思维向着新知识或问题的目标靠拢，最后达到目标。（74）

教学中的启发有两种基本的方式，即“愤悱术”和“产婆术”。两种方式都强调通过教师的向导作用来引导学生主动积极地学习，但两种方式又有很大的差异。（74） “愤悱术”是我国古代教育家孔子的启发式教育思想。他主张“不愤不启，不悱不发”。（选择题）

“愤”是学生发愤学习，积极思考，想搞明白而没有搞明白的心理状态。

“启”是教师去引导他们解除疑团，把问题搞明白。 “悱”是经过思考想要表达而又表达不出来的窘境。（74） “发”教师去指导学生把事情表达出来。

“愤悱术”的最大特点在于把握启发的时机。（见P74）

2.“产婆术”是古希腊学者苏格拉底提出的启发式教育思想。（选择题）其基本要义是教师凭借正确的连环提问，刺激、诱导、调控学生的思考，引导学习者沿着教师所希望的方向，通过自身的思考，亲自去发现真理。苏格拉底把“产婆术”又称为“问答术”、“对话术”

“产婆术”启发式的基本展开方式是：“问—答—问—答”。

“产婆术”的最大特点在于把握发问的技术。（是非题）（见P75）这种启发的方式在数学教学中使用比较普遍。（毕竟数学中的很多问题不是学生自己所能够提出来的，很多数学方法也不是学生自己所能完全独立发现的，对学生而言，数学中多数问题的提出和方法的发现，离不开教师的这种发问式的暗示和启迪。）

3. 愤悱术更注重学生的独立思考和自由探究，强调关键处的适当点拨，比较难以把握；产婆术偏重于教师的发问设计和引导，关注学生思考问题的自然性、合理性，在实际教学中比较便于把握。

4.贯彻启发性原则时，有一种“时间等待”理论。“时间等待”理论是启发性原则的一种极好体现，它可以大大克服教师越俎代庖，代替学生思考的现象。（75） 5.理论联系实际的原则

（1）抽象数学知识的产生过程离不开生活中的普通常识或者由生活常识发展而来的数学常识。（75）因此，数学教学应遵循理论联系实际的原则，尽可能地从学生已有的生活经验出发，注意突出某些数学对象的实际背景，培养学生用数学的意识，使抽象的理论化数学与现实原型紧密结合起来。

（2）理论联系实际的原则。第一，使学生适时借助已有的生活经验理解数学；第二，

突出某些数学对象的实际背景；第三，加强数学实际应用的教学；第四，防止理论联系实际的庸俗化。（75）

5.2.2数学教学的特殊原则

1.数学教学的特殊原则。1.“把握数学抽象性的淡化”的原则；2.“摆脱教学严谨性的束缚”的原则；3.“突出策略创造精神”的原则；4.“加强数学语言训练”的原则。（76） （1）数学教育中如何“把握数学抽象性的淡化”。 第一，坚持循环渐进，逐步深入； 第二，强调从特殊到一般，从具体到抽象；第三，克服急于求成，急功近利的思想；第四，处理数学抽象性要有全局观念。（77）

（2）数学教学中如何把握“摆脱教学严谨性的束缚”的原则。（78）第一，数学知识的发生是逐步走向严格的。第二，多数学生无需掌握逻辑十分严谨的数学理论。第三，非形式演绎的数学也是数学。

第四，摆脱严谨性的束缚不等于不要数学 的严谨性。

“摆脱数学严谨性的束缚”原则，是针对过分追求数学严谨性所带来的弊端而言的，其真正的含义则应该是重视数学严谨性，又不被数学严谨性所束缚。（79）

（3）“策略创造”是根据数学的探索性特征提出来的，是波利亚推崇“合情推理”。（80）

数学教学中如何“突出策略创造精神”的原则。第一，将教材还原为数学的创造性思想活动。

第二，加强数学基本思想方法的教学。

（4）.加强数学语言训练，主要包括两个方面的内容：一个是提高对数学语言符号的阅读、理解、转换和运用的能力；另一个是提高将日常语言理解、抽象和转化为数学语言的能力。（80）

让学生学习数学化，就是让他们如何将非数学问题转化为数学问题，即根据客观现实形成数学概念，用数学语言改造成纯数学的问题，并构造数学模型来解决问题。这就不仅要求学生运用数学语言，还要求学生阅读用普通语言描述的具体材料，

从中捕捉各种信息，抽象其中的数量关系或形式结构，将日常文字语言转化成数学符号语言。）（81）

5.3数学教学方法的特征

1.教学方法是构成数学教学过程并且直接影响其效果的重要因素。

简单地说，数学教学方法就是在数学教学过程中，教师和学生为实现教学目的，根据特定的数学教学内容，共同进行的一系列相互作用的活动的方法、方式、步骤、手段和技术的总和。

2.比较成熟的数学教学方法应该具备下列基本的特征：数学教学方法的综合性特征、数学教学方法的探究性特征、互动交流的情感性。（82）

3.数学教学方法的综合性特征具有两方面含义：一是在课堂教学上综合运用多种不同的教学方法；二是某一教学方法在目标追求上趋向于综合性，使教学方法更科学。

数学教学方法的综合性特征：（1）多种教学方法的综合（“教学有法、教无定法、教贵得法”是公认的准则。（82）其所强调的正是教学不能用一个固定不变的教学方法，而要善于艺术地、灵活地综合运用多种教学方法。这也是由教学方法的科学性、艺术性的双重特点决定的。）

（2）目标追求的综合性（任何一种教学方法总是要追求实现一定的教学目标。）

现代数学教学思想所提倡的教学方法大都强调教学目标的综合性，即不仅重视数学知识的传授、技能的训练，重视教学过程中认知目标的实现；而且重视数学兴趣的培养、情感的激发，激励学生主动的思维建构活动，开发智力、发展能力、培养创新意识和用数学的意识。（83）

4.数学教学方法的探究性特征：现代数学教学思想突出了教学实施过程的探究性特征。（即不仅重视学生系统地获取数学基本知识和技能，而且注重培养学生的学习方式和策略，使之通过自身的探索和研究，创造性地获取和掌握知识，逐步培养其“再创造、再发现”数学的能力和用数学的意识，将学习和掌握既定数学知识的过程转变

为探究知识、发展能力的过程。）（83）

现代数学教学方法中，教师的作用不在于使一团知识明了化，而在于鼓励和指导学生的探究过程。

5.互动交流的情感性（教学方法在运作过程中不仅应重视学生认知因素，而且应注重学习兴趣的培养、学习动机的激发，注重教学环境的情感因素，使学生在轻松欢快的情绪体验中学习，变苦学为乐学。）（84） 5.4数学教学评价

1.数学教学评价就是通过对数学教学过程及结果的考察，对教学效果、学生的学习质量及个性发展水平作出科学的判断，进而调整、优化教学过程的数学教学实践活动。 2数学课堂教学评价的要素:一、教学目标；二、教学内容；三、教学过程；四、教学方法；五、教学效果。

（1）评价数学课堂教学目标，主要从以下几个方面考察：教学目标是否明确具体；教学目标制定得是否合理；教学目标的落脚点是否科学。

（2）评价教学内容的质量和效力时，可以以下几个方面进行:教师呈现和讲解的教学内容是否准确无误，学生的理解是否正确；有没有充分挖掘数学知识的背景材料，是否体现了数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的课程教学理念；教学内容的安排是否恰当，是否突出了重点，分散了难点，分量和难度是否符合学生的现有发展水平，呈现形式是否有利于学生对数学知识的再发现学习，是否为学生的主动建构学习提供了必要的脚手架。

（3）评价数学教学过程，主要从以下几个方面：教学过程的各环节安排是否得当，各要素之间的关系处理得是否合理，教学目标、教学内容、教学方法的功能是否得到充分发挥，时间分配是否合理；教学过程的组织是否有利于学生对数学知识的自主建构，有没有为学生的建构学习提供环境条件及时间和空间上的保障，学生的参与水平如何，是否在教师的指导下积极主动地投入到学习中去，有没有为学生创造

自主探究与发展的空间；教师与学生、学生与学生双边互动的关系是否有效，信息交流是否流畅，信息反馈是否及时，有没有根据反馈的信息灵活、有效地调控，教师对教学过程中的整体驾驭能力如何。

（4）评价数学课堂教学方法，主要从以下几个方面：教师所采用的教学方法与教学内容、教学目的是否相符，教学方法是否与学生的年龄特征和现有发展水平相适应；教学方法是否具有良好的启发性；教学方法的使用中，是否与现代化的教学手段有机整合，是否注意到了各种教学方法的优化组合。

（5）评价一堂数学课的教学效果，从以下几个方面：检查是否完成了教学任务、教学要求，是否达到了教学目的，是否实现了目标要求；看学生除了获得外显的结果知识外，还获得了哪些过程知识；注意考察学生的学习负担情况。

3.数学课堂教学评价表：包括主要素（一级指标体系）和子要素（二级指标体系） 4.数学学习评价就是对学生的数学学习过程及其结果做出价值判断，涉及到对学生的数学基本知识和基本技能的掌握、能力发展的考察与考试，以及对学生的学习行为、态度、情感等因素的分析与评价。

5.数学学习评价的主要目的是为了全面了解学生的学习历程，促进学生在数学上获得更大的发展；提供反馈信息，帮助学生发现解题策略、思维或习惯上的不足，有效地改善教师的教和学生的学；改善学生对数学的态度、情感和价值观等等。 6.数学学习评价的原则：一、评价目的应具有发展性；二、评价过程的整体性；三、评价方法的多样化和评价主体的多元化（基本上分两类:科学主义评价模式和人文主义评价模式）。

7.数学学习评价应以过程性评价为主，且评价的手段和形式呈现多样化。评价学生数学学习的方法主要有课堂观察、数学测验，以及以调查实验、数学日记、档案袋等定性描述方式为特征的表现性评价。

第六章 数学概念的教学

1.数学概念教学历来在数学教学中处于核心地位。数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程。因此，概念学习应是一个探究的过程 。（96）

6.1把握数学概念的本质

1.当前中学生的数学学习在把握数学对象的本质属性方面存在较多的问题，主要表现为对数学对象的本质属性理解不深刻，对同一数学对象的不同表达形式缺乏系统概括的理解。（96）

2.一般地说，一个特定数学对象，在一定的范围内保持不变的性质，就是该数学对象的本质属性，而可变的性质则是非本质属性。

3.函数的本质属性是映射（形式和符号都不是函数的本质）（97）

要真正把握数学对象的本质属性，很重要的一点是离不开对数学对象非本质属性的把握，两者同时把握了才可能真正达到对本质属性的把握。这也就是对数学对象的变式的把握。

复数的本质属性是向量的长度和方向。（不仅有方向意义，而且还有方向意义。即数量加方向）（97）

6.1.2把握同一数学对象的不同表达形式

1.在数学中，同一对象常常有不同的表达形式，能否熟练把握同一数学对象的不同表达形式以及不同表达形式之间的联系，进而认识该数学对象的本质特征，反映了对数学概念本质属性把握的深刻程度，也直接影响分析和解决问题的能力。（98） （关于椭圆的定义、直线之间的垂直关系的例子见书本P99）

2.同一数学对象的不同表达形式正是变更非本质特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，从不同侧面突出了数学对象的本质特征，突出了那些隐藏的本质要素。如果在概念学习中，注意从不同角度对对象的不同表现形式进行一系列的加工处理，形成以相关属性为纽带的网络结构，那么，在不同的情境中就可以根据问题的形式和内容，提取出相应的针对性的处理策略，就能真正把握数学对象的本质。

6.2掌握数学概念教学的特点

1.数学教学主要是数学概念、定理、公式的教学，其中概念教学是数学教学的核心。数学概念的教学是数学教学的最重要基本功之一。（100）

2.掌握概念就是掌握同类事物的本质属性。所谓用联系的方法，就是把概念放在一定的体系中去考察、认识。这个体系有两个方面意义:一是指在于客体的知识体系结构；二是只存在于主体的认知结构。

6.2.2注重概念的引入

1.概念教学首先要让学生感到有必要学习这个概念，这就是要重视概念的引入。（但这种概念的引入并非是轻而易举的，常常要费一番周折。）要注意从需要与类比两方面引入。（101）

6.2.3注重概念的形成

1.按数学学习理论，掌握数学概念是指对数学概念理解要达到概念学习的水平，也就是理解一类事物的本质属性，即认识到符号代表的是一类事物而不是具体、个别、特殊的事物。（为达到数学概念学习的要求，教学中要尽可能采用适当的方法促进学生用概念形成方式学习概念）。（101）

2.即从大量而具体实例出发，用辨别（比较、分析、综合）、分化、抽象、提出假设、反驳与验证，以及概括等一系列思维动作，来达到对概念的理解，从而用适当的语言符号去代替概念的内容。达到看见概念的符号就能立即与概念的实质联系起来。（101）

6.2.4注重概念的意义

1.数学中，一切概念的意义是第一的，而且数学概念的意义是确定而无歧义的。这必然要求在教学中，特别强调是学生获得明晰的概念意义。（为什么要特别强调是学生获得明晰的概念意义？）

2.数学概念的明晰要从内涵与外延两个方面考虑。（101）

（1）.明确概念的内涵（数学概念意义的描述有自身的特点，首先它总是在已有概念的基础上，经由弱抽象形成，或者经由强抽象形成，或者经由理想抽象形成，其间所涉及对象的相互关系都是纯粹数学意义上的；其次，数学的概念总是用数学自身的语言描述，数学的语言不仅符号化，而且精确简练，往往一字不多一字不少。数学概念的这种表述特点也导致了对其理解的困难，这要求教师引导和帮助学生建构概念意义的时候，力求使学生对概念的本质特征，即概念的内涵概括准确。）（101）

明确概念的内涵就是要，第一，明确包含在定义中关键词语的意义。第二，对概念中的有些词语作必要的概括。（102）

（2）.明确概念的外延：第一，概念的例子和概念属性的例子。教学中使学生了解概念外延的通常方法，是举出符合概念意义的例子。（能举出概念属性的例子，说明不但明确了概念的外延，而且说明能用概念的本质属性去检验例子，这是达到了概念学习的水平）。（102）

第二，构建概念体系，数学学习的一项重要工作，是要把所获得的概念及时地纳入到概念体系中去，从而明确概念与其他概念之间的关系。

3.注重概念的符号：用符号表示概念，是数学的特点，也是数学的优点，这使得数学思想材料形式化。概念本身就是抽象的，而符号又成为概念的外在形式和代表，从这个意义上讲符号更抽象。因此概念教学中，要防止两个脱节：一是概念与实际对象脱节；二是概念与符号脱节。

(1).从函数概念与函数符号看（103）：函数概念是中学数学的核心概念，函数的思想贯穿整个中学数学的内容，同时函数概念也是中学数学中最难理解和把握的，因而函数概念的地位在中学数学里的重要性就不言而喻。

(2).从几何概念看（104）：在几何中，除注意概念的符号外，还要注意概念的图形，主要是排除标准图形对正确掌握概念的影响。

(3).从数学符号的意义看：数学中，符号的意义是发展的，变化的。

4.数学概念教学的基本方式：数学概念教学的两种基本方式——概念形成的方式和概念同化的方式。

5.数学概念获得的方式（104）：数学概念获得的过程实质上是理解和掌握某一类数学对象共同的关键属性的过程，其基本方式是概念的形成和概念的同化。

(1)概念形成（105）：概念的形成一般是针对由弱抽象形成的概念。概念形成这一过程主要涉及以下相关因素。第一，感知、辨别各种刺激模式。第二，抽象出各个刺激模式的共同属性，并提出假设。第三，在特定的情境中修正、检验假设，形成概念。第四，把新概念一般化，并用数学的语言符号表达。

(2)概念同化（106）：概念的同化一般是针对由强抽象形成的概念的方式就叫做概念同化。

从概念同化的学习过程可以看出，当新概念展现出来后，学生并不是消极被动的接受它们，而是利用已有的知识作为“固着点”，积极主动地对新概念进行意义建构。

美国教育心理学家奥苏伯尔对概念同化的要点及过程描述如下：首先，新概念必须具有逻辑意义，即能够使学习者建立起非人为和实质性的联系；再次，学习者要积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与其认知结构中的有关观念发生相互作用，通过加工、改造和整合，在心理上获得新概念的实际意义，使新概念归属于新认知结构，同时使原认知结构得到分化和扩充。

（3）.概念同化和形成的区别：概念同化主要是从抽象定义出发，以演绎的思维方式理解和掌握概念；而概念形成则主要是从大量的实例和学习者的实际经验出发，以归纳的思维方式获得概念。（106）概念形成的学习方式需要学生对具体的、直接的感性材料进行观察、感知、操作等活动，比较耗费时间、学习效率难以保障；而概念同化的学习方式则容易使学生对一些本来就抽象、晦涩难懂的数学概念流于浅层次的表面理解，需要借助一些直观、感性的材料帮助学生把握概念背后的丰富内容。

6.3.2概念形成教学方式

运用概念形成教学方式的数学教学中应处理好以下几个环节：1.设计适于概念形成的学习情境；2.留给学生自主活动的空间；3.发挥教师语言的中介作用。（107）。 （1）概念形成的学习情境的具体的设计应从两个方面来考虑：一方面要充分了解学生的认知水平和心理发展特点。（注意选择那些刺激强度适当、新颖有趣的实例或活动作为刺激模式，激发学生主动观察、操作、归纳，展开积极的思考、探究活动）；另一方面要深入钻研教材（对概念的背景知识、形成过程和基本特征细致把握，基于此提供的概念形成的学习情境才能真正吸引学生，获得良好的效果。）（107） （2）留给学生自主活动的空间，是因为概念形成的过程需要学生自己探索，教学中应当给学生充分的自主活动的空间，使学生有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的背景、条件，感悟概念的本质特征。（防止出现一味追求教学进度和容量或担心学生探索无效，而是学生的自主活动流于形式。）（107）

（3）在学生形成概念的过程中，教师的语言发挥重要的作用。这一作用主要体现在两个方面：其一，在学生遇到障碍时，教师的提示和引导语能够指引探索活动的方向，使学生有的放矢地归纳、概括概念的本质属性；其二，学生通过观察、实验、归纳、猜想等活动所形成的概念往往比较粗糙、不规范甚至肤浅的，需要进一步地精炼、升华，形成科学化的数学概念，这就要教师语言的启示和示范作用，使学生意识到修正概念的必要性和如何用精确的语言概括自己的研究成果。（107）

6.3.3概念同化教学方式（108）

1.根据概念同化学习特点，运用“概念同化教学方式”的数学教学中应处理好以下几个环节：1.突出概念的关键特征；2.呈现正例与反例；3.在应用中强化对概念的理解。

6.4数学活动中进行概念教学

1.数学概念学习是数学学习的核心之一。在数学概念教学中，应树立立体式的数学概念教学观。（109）

6.4.1把学生带回到现实中去

1.在教学中应通过创设情境，唤起学生的兴趣，使他们身处现实问题情境中，通过亲身体验，在感性认识的基础上，借助分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识性材料进行精微化加工，使自发性概念逐步摆脱无意识、粗糙、肤浅的劣势，向科学概念发展，达到理性认识的层次，从中体验数学是从人类的社会实践中总结、创造出来的关于客观世界的数量关系与空间形式的科学。（109）

6.4.2把学生带入问题中

1．“问题是数学活动的心脏”。丰富学生在概念学习过程中的体验，重要的一个方面是将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为富有生活意义的问题，形成问题情境，从而把学生带入问题中，在问题的探究中“学数学、做数学、用数学”，构建概念的心理表征。（110）

2.若把学生带入问题中，就应该把概念的生成过程问题化、把形式化材料转化为可探究的问题。（110）

（1）（一个概念是如何引进的？必要性和重要性何在？）一个概念生成过程中的诸多问题，往往也是区分概念的本质特征与非本质特征的关键所在。因此，教学中应尽可能把知识的发生过程转化为一系列带有探究性的问题，真正使有关材料成为学生的思考对象，使概念学习变为学生的内在需求。（110）

（2）形式化的材料不利于学生理解和运用，要通过转化变为蕴含概念本质特征，贴近学生生活、适合学生探究的情境问题。（110）

6.4.3注重概念的数学化过程

1.数学概念的形成过程是一个数学化的过程。（111）（即通过对常识材料进行细致的观察、思考、借助分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行去粗取精、去伪存真的精加工，从中舍弃材料的现实意义，仅保留其数量上或空间上的形式结构方面的信息，由“素朴的直观”构建“精致的直观”）

2.概念是学生学习数学化的很好素材，通过体验概念的数学化过程能更好地把握概念的本质的和非本质的特征，建构良好的知识结构。

（1）把概念学习作为“学数学、做数学、用数学”的过程，应积极引导学生独立自主地开展思维活动，融会贯通地掌握知识、发展能力，逐步形成用数学的意识。（111） （2）创设情境，并非仅仅是举几个实例，重要的是如何把学生带入问题情境中，促使学生数学地看待现实问题，激发学生的问题意识。在概念学习过程中学习数学化，重在意义建构，重在数学化过程。

3.在概念教学中“学数学、做数学、用数学”，应“淡化形式，注重实质”，寓概念本质属性与知识的发生、发展过程之中，使学生在探究中体会数学的意义，把握概念的本质。（112）

6.5数学概念教学反思

1.涉及到数学概念的形成过程、意象表征、二重性、理解及理解的阶段性等方面。 2.检讨问题主要包括有：1.重形式定义，轻意象表征；2.重概念的语义分析，轻概念的形成过程；3.停留在单一概念的层面上；4.对数学概念的二重性认识不足；5.缺少概念理解的层次观；6.数学概念教学的其他问题。（112）

第七章 数学解题的教学

1.学数学，就要解数学题。数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义。

2.数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会数学地思维。（118）

§7.1数学解题学习是有意义学习

1.解决数学问题的学习是寻求解决数学问题方法的一种心理活动，是一种高级形式的学习活动。（118）

数学的解题活动主要是利用认知结构对抽象的形式化思维材料进行加工的过

程，是数学符号及数学命题在人的大脑里的内部操作过程，也就是一种数学的思维活动。

（1）“尝试错误式”解决问题，就是在遇到新的陌生问题时，学习者将自己经验中与新问题有关的材料集中起来作出尝试、或者按照新问题与熟悉问题的相同成分作出尝试，或者按照新问题的情境与过去遇到的情境的相似方面作出尝试。

a.“尝试错误式”解决问题是以“尝试——错误——再尝试……”的方式进行，直到成功，其中虽也有与过去经验联系的成分，但主要还是盲目的无定向过程。（118） b.“顿悟式”解决问题，是指在遇到新的陌生问题时，学习者按照一定的心向致力于发现问题条件与目标之间在意义上的联系，并努力发现新问题与自己拥有的解题手段之间在意义上的联系，一旦发现这种意义上的联系、顿悟就产生了。（118） c.“顿悟说”的难点在于其所谓的“一旦发现”比较玄妙，犹如从天而降。（119） d.“顿悟说”的积极意义在于其比较注意重组情境的认知成分。

e. “尝试错误式”与“顿悟式”的本质差异在于：“尝试错误式”的解决问题，倾向于从问题的表面形式出发作出反应；“顿悟式”解决问题，是倾向于从问题的实质意义出发作出反应。（119）

f.实际上，没有绝对的“尝试错误”，也没有绝对的“顿悟”。学习者在解决问题的学习中，必须要以已有的解题经验为基础，同时要在新问题与旧经验之间建构其意义上的联系。（119）

(2).数学解题学习是有意义学习，其实质应该是：学习者在数学新问题与自己解题认知结构中的适当知识之间，建构起非人为和实质性的联系。

a.数学解题学习作为有意义学习的过程，包含着新旧知识的同化与顺应，新旧问题意义的同化，新旧解题方法的同化与顺应，新旧解题策略的同化与顺应等。（120） b.有意义的数学解题学习，也就是在所有这些新旧两方面之间，建构起非人为和实质性的联系的过程。（120）

7.1.3数学解题学习主要是有意义的发现学习

1.数学解题学习最有效的方法是：在解题中学习解题，即在尽可能不提供现成结论的前提下，亲身独立地进行数学解题活动，从中学习解题，学会数学地思维，哪怕解题最终没有到底，也会有所发现，有所体验，因此数学的解题学习主要是有意义的发现学习。（120）

2.数学解题学习是一个解题经验积累的过程，其中包括了各类解题策略经验、问题策略经验，以及各种方法和技巧性经验。

3.解题策略经验包括意向性策略、合情推理策略、数学思想策略。

7.2数学解题的元认知

1.既然数学解题的学习主要是有意义的发现学习，那么解题过程中就需要解题者个人对自己的思考方式、认知过程、进行主动的监测、控制和有效地调节。这就是数学解题的元认知问题。

7.2.1数学解题中的自我监控

1.数学解题自我监控的几个主要因素：控制、监察、预见、调节和评价。（121） a.“控制”就是在解题过程中，对如何入手、如何策划、如何构思、如何选择、如何组织、如何猜想、如何修正等作出基本策划和安排。 b.“监察”即监视和考察。

c.“预见”即在数学解题的整个过程中，随时估计自己的处境，判断问题的性质，展望问题的前景。

d.“调节”即根据监察的结果，根据对解题各方面的预见，及时调整解题进程，转换思考的策略，重新考虑已知条件、未知数或条件、假设和结论；对问题重新表述，以使其变得更加熟悉，更易于接近目标。

e.“评价”即以理解性和发展性标准来认识自己解题的收获（122）

7.2.2解题的自我意识

1.意识是人对客观现实的反映，它包括自我意识和对外界事物的意识。（122） a.自我意识是人的意识的最高形式，由于自我意识以主体及其内部活动为意识对象，因而它能对认识活动进行监控和调节，它是自我监控的最高水平。

b.在解题学习中，人的自我意识是自己对问题感知、表征、思考、记忆和体验的意识，对自己的目的、计划、行动以及行动效果的意识。提高数学解题元认知能力，就是要使解题的元认知监控上升到自我意识的水平。（122）

c.数学解题的自我意识包括：问题意识、审题意识、联想意识、目标意识、接近度意识、猜想意识、反思意识、概括意识等等。

7.3数学题意的理解

1.学习解题，最重要的应该是理解题意阶段和解题回顾阶段，它们是最终学会制定解题计划的前提和基础。学生不会解题实质是没有在“理解题意”和“解题回顾”上下工夫的结果。在数学解题学习中，学生的主要任务并不是解题，而是学习解题。（因此教师教的重点和学生学的重点，不在于“解”而在于“学解”） （123）

2.以“解”作为出发点，注重的是解题的结果；以“学解”作为出发点，注重的则是解题的过程。（123）

7.3.1”理解题意”是解题学习的第一环节

1.解题第一位的是理解题意，但它往往被学习者所忽视。善于解题的人用一半时间来理解题意，只用另一半时间完成解答。（可见理解题意在解题中的位置重要）（123） 2.一般地，理解题意有两个层面：一个是对问题的表层理解，指解题者逐字逐句读懂描述问题的句子，读懂的标志是他能用自己的语言重述问题，实际上是把问题中的每一陈述变成解题者内部的心理表征。另一个是对问题的深层理解，指在问题表面理解的基础上，进一步把问题的每一陈述综合成条件、目标统一的心理表征。布鲁纳认为有动作表征、图像表征和符号表征三种基本的表征模式。（123）

3.问题表征阶段的结果主要有两种。第一种，如果对问题的表征能促使联想起一个有

效的解题知识块，那这种表征就完成了问题的解决。第二种，如果并没有一个现成的解题知识块能被联想起来成为有效的解答方案，那么就得遵循探求解答的“尝试+顿悟”的路线去探索。

7.3.2着手解题——从理解题意开始

1.学生解题的最大困难，最重要的原因有可能有两方面：一是缺少着手解题的基本思想方法，二是缺少指导自己理解题意的基本方法。 7.4 数学解题方法的探究 7.4.1 数学解题方法探究的过程要素

1.探究解题方法的基本路径：具体的探究程式主要涉及类比联想、变更猜想和检验确认等环节。

（1）类比联想有助于培养发散思维能力，是发现解题途径的一种基本思维方法。 （2）实现变更问题的基本方法包括：变更问题的条件或结论；使问题特殊化；使问题一般化；找出适当的辅助问题；分开条件的各部分，重新组合。

（3）猜想的途径可以从一般到特殊，也可以从特殊到一般，一定程度上含有创造的成分。

（4）通过以上活动探寻到的解题方法的构想或猜想，还需进行更进一步检验，确认其是否可行，以及是否优美、自然。

2.探究解题方法的原则：一、追求简单自然；二、从基本的想法试下去；三、独立思考与智力参与。

7.4.2数学解题方法探究的教学指导策略

1.根据数学解题方法探究的过程特点，在解题教学时，应当注意以下几个方面的指导策略。1.突出解题探究的过程。突出解题探究的过程涉及三个方面的含义：第一，暴露思维过程。（教师要有意识地暴露自己的原始思维过程，包括所走的弯路、所犯的错误、笨拙的解法等，增强学生主动探究的自信心。）第二，留下思考空间。（要为

学生留下独立思考的探索活动空间，要在学生有一定的体验、感悟后，必须启发时再予以点拨）第三，着眼于过程知识。2.善待学生的非标准思路。3.重视数学推理活动

7.5 数学解题的反思

1.解题反思是数学解题学习最重要环节

2.如何进行解题反思（a.引导学生对自己的思考过程进行反思；b.引导学生对题意的理解过程进行反思；c.引导学生对活动所涉及的知识进行反思；d.引导学生对所涉及的数学思想方法进行反思；e.引导学生对活动中有联系的问题进行反思；f.引导学生对解题的思路、推理、运算和语言表述进行反思；g.引导学生对数学活动的结果进行反思。）

7.6 数学例题的教学。包括：目的性、接受性、启发性、示范性和延伸性。

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