某些含有定积分的不等式的证明

楚雄师范学院本科毕业论文（设计）

目录

摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I 关键词．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II Key words．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 0引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1 预备知识．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2 含定积分的不等式的证明方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2．1利用定积分的定义来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2．2利用定积分的性质来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2．3利用积分中值定理和拉格朗日中值定理来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 2．4利用分部积分法来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 2．5构造辅助函数来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 2．6利用泰勒定理证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 2．7利用定积分柯西--希瓦兹不等式证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 2．8利用函数的凹凸性来证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 2．9利用二重积分证明定积分不等式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16

楚雄师范学院本科毕业论文（设计）

某些含有定积分的不等式的证明方法研究

摘要:本文综述了证明含定积分不等式的多种方法，并给出了相关应用．

关键词:定积分；不等式；泰勒公式；柯西不等式

楚雄师范学院本科毕业论文（设计）

Study on the methods of proving inequalities containing definite

integral

Abstract: In this paper, the methods of proving the inequalities containing definite integral are discussed, and the corresponding applications are given．

Key words: definite integral；inequality；

Taylor formula；Cauchy inequality 楚雄师范学院本科毕业论文（设计）

0前言

本文综合各种证明方法（包括利用定义、利用性质、利用积分中值和拉格朗日中值定理、利用分部积分、构造辅助函数、利用泰勒定理、利用定积分柯西--希瓦兹不等式、利用函数的凹凸性法、利用二重积分），找出证明含定积分不等式的一般规律，有助于我们更好地解决含定积分的不等式的问题．

1预备知识

1．1定积分的定义

[1]

定义1设 是定义在 上的一个函数， 是一个确定的实数．若对任给的正数 ，总存在某一正数 ，使得对 的任何分割 ，以及在其上任意选取的点集{ }，只要 ，就有

．

则称函数 在区间 上可积或黎曼可积；数 称为 在 上的定积分或黎曼积分，记作

．

其中， 称为被积函数， 称为积分变量， 称为积分区间， 分别称为这个定积分的下限和上限．

1．2可积的充分条件

[1]

定理1．1若 为 上的连续函数，则 在 上可积．

[1]

定理1．2若 是区间 上只有有限个间断点的有界函数，则 在 上可积．

[1]

定理1．3若 为 上的单调函数，则 在 上可积． 1．3定积分的基本性质

[1]

性质1若 在 上可积， 为常数，则 在 上也可积，且

．

性质2

[1]

若 ， 都在 上可积，则 在 上也可积，且

．

性质3若 、 都在 上可积，则 在 上也可积．

[1]

性质4 在 上可积的充要条件是：任给 ， 在 与 上都可积．此时又有等式

[1]

．

性质5

[1]

设 为 上的可积函数，若 ，则

．

推论（积分不等式性）若 与 为 上的两个可积函数，且 ， ,则有

[1]

．

性质6

[1]

若 在 上可积，则 在 上也可积，且

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．

1．4积分中值定理

[1]

定理1．4（积分第一中值定理）如果函数 在 上连续，则至少存在一点 ,使得

．

1．5拉格朗日(Lagrange)中值定理

[1]

定理1．5若函数 满足如下条件： （i） 在闭区间 上连续； （ii）在开区间 内可导， 则在 内至少存在一点 ，使得

．

1．6分部积分法

[1]

定理1．6（定积分分部积分法）若 为 上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：

．

1．7泰勒公式

[1]

定理1．7如果函数 在 上存在直至 阶的连续导函数，在 内存在 阶导函数，则对任意给定的 ， ,至少存在一点 ，使得

1．8定积分柯西---希瓦兹不等式

[2]

柯西---希瓦兹不等式:设 在 上连续，则

．

1．9凸函数

[1]

定义2设 为定义在区间 上的函数．若对 上的任意两点 、 和任意实数 总有

，

则称 为 上的凸函数．反之，如果总有

，

则称 为 上的凹函数． 1．10二重积分

1．10．1二重积分的定义及其存在性

[2]

定义4设 是定义在可求面积的有界闭区域 上的函数, 是一个确定的数．若对任给的正数 ，总存在某个正数 ，使对于 的任何分割 ，当它的细度 时，属于 的所有积分和都有

，

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