高等数学(2010_1)修改版本

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2009-2010学年第 1 学期 考试科目： 高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

（一）填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案写在横线上。）

1．函数

y =

的定义域是 。 2．设2(1)lim x x k x e →∞+=，则常数k = 。

3．已知()f x 在1x =可导且'(1)1f =，则21

()(1)lim 1x f x f x →--= 。 4．函数231x y x =

-+的水平渐近线是 。 5．设242

(sin )5

a a x x x dx -+=?, 则a = 。

（二）单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题四个选

项中，只有一个是符合题目要求的，把所选字母填在括号内） 1．当x →0时，下列函数中是无穷小量的是 （ ）

A ．sin x x

B ．x -21

C ．ln()x x +11

D ．sin x x +2 2．设函数()f x 在区间[,]a b 上可导且'()f x >0，如果()f a <0而()f b >0，则()f x 在[,]a b （ ）

A ．至少有两个零点

B ．有且仅有一个零点

C ．没有零点

D ．是否有零点不能确定

3．下列函数中在区间[1,1]-上满足罗尔中值定理条件的是 （ ） A ．ln ||y x = B ．21y x =- C ．211y x =- D ．-x y e =

4．下列广义积分收敛的是 （ ）

A ．1xdx +∞?

B ．1

1dx x +∞? C ．2

11dx x +∞? D ．1cos xdx +∞? 5．设y y xe =，则dy = （ ）

A ．1y y e dx xe -

B ．1y

y

e dx xe - C ．1y y xe dx e - D ．1y y xe dx e

-

（三）计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1．求极限 202lim x x x e e x

-→+-。

2．设函数sin + , 0 ;

()2,

0;1sin , 0. x a x x f x x x b x x ?<??==???+>?

在 0x =处连续，求a 与b 的值。

3．计算定积分4

。

4．设()

y y x

=是由方程x y

y。

e e xy

-=所确定的隐函数，求'(0)

5．设函数()y y x =由参数方程cos sin cos x t y t t t

=??=-? 所确定，求 22d y dx 。

6．计算定积分 401cos 2x dx x π+?。

7．求不定积分3

。

（四）解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1．证明不等式：当1

x>时，ln(1)

ln1

x x

x x

+

>

+

。

2．设函数 220()x t F x e dt -=?，求()F x 的单调区间和凹凸区间。

3．设抛物线y ax bx c =++2过原点，当x ≤≤01时0y ≥。又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围图形的面积为13，试确定a 、b 、c ，使此图绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。

7 参考答案：

一、填空题(15分)

1. (1, 2]

2. 12

3. 12

4. y =-3

5. １ 二、单项选择题(15分)

1. Ｄ

2. Ｂ

3. B

4. Ｃ

5. Ｂ

三、计算题(49分)

lim lim x x

x x x

x e e x

e e -→-→-=+==00

0000 2 2

1 1.解:原式（3分）（6分）（7分）

2.解： (0)2f =()1 分 sin lim ()lim ()lim(),(4)x x x x f x f x a a a x

--→→→==+=+==000 12 1 故分 l i m ()l i m (s i n ),x x f x x b b b x

++→→=+===001 2 2 (7) 故分

3 . 解：令2

x t =(1) 分 (4)dt t

=+?2

2112 1 原式分 arctan ()t 212 6 ＝分

arctan (7)π

2 - 2 ＝2分

4. 解：方程两边对x 求导，

''()x y e e y y xy -?=+ 3 分

'

()x y e y y e x -∴=+ 5 分 又将0x =代入原方程求出0y =，()6 分

8 所以00

'(0)|1x x y y e y y e x ==-==+()7 分 5. 解：

cos cos sin ()sin dy dy t t t t dt t dx dx t dt

-+===-- 3 分 22 dy d d y d dy dx dx dx dx dx ?? ?????== ???

csc ()sin x t -=-1= 7 分

6. 解：

()cos cos tan ()sin (tan |)()cos (ln cos |)()ln ()x x dx dx x x

xd x x x x dx x x π

ππ

πππππ=+==-=+=-????4420040

44004011122132152

1624

12784

分分分分分 7. 解法一： 令tan ,sec x t t dx tdt ππ<<=2 22

＝，－ ()3 分 t a n s e c t a n s e c s e c t t d t t t d t t ==??323 原式 cos cos cos t d t t

-=?241 ()5 分 cos cos t t C --=-+3113

()x C =+322113

()7 分

9

解法二：()x =+2

21 12原式 ()4 分 [()()]()x x d x -=+-++?11 222221 1112

()6 分

()x C =+-322113

()7 分 四、解答题(21分)

1. 证明：令()()ln()ln f x x x x x =++-11 ()1 分 '()ln()f x x =+11 ()3 分

当1x >时，'()0f x > 且()ln f =122()5 分

从而，当1x >时，()f x 单调增，故()()ln f x f >=>1220 ()6 分 即()ln()ln x x x x ++->110

亦即 ln(1)ln 1x x x x

+>+ ()7 分 2. 解：函数的定义域(,) -∞+∞

'()x F x xe -=42()2 分

''()()x F x e x -=-44214()3 分

令'()F x =0，得x =0，()4 分

令''()F x =0

，得x =。()5 分 所以()F x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞。

()6 分 ()F x

的凹区间为(

，凸区间为(,)-∞+∞。()7 分

10 3. 解： ()()a ab b V ax bx dx ππ=+=++?22

122

0523 ()2 分 又()ax bx dx +=

?12013

()3 分 即1323a b +=，从而得2(1)3b a =-()4 分 将其代入V 的表达式，得22(1)14[(1)]5339

a a a V a π-=++?-()5 分 令'

2128[(1)]053327

a a V a π=+---=， 解得54

a =-，()6 分 代入

b 的表达式得32

b =， 因''54()04135

V π-=> 从而当53,,042a b c =-==时，体积V 取得最小值。()7 分

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