2012高考模拟2012年浙江省温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题及答案2012.2

2012年温州市高三第一次适应性测试

数学（理科）试题 2012.2

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1. 已知i是虚数单位，则

11 ?? （ ▲ ）

1?i1?iA．i B．?i C．1 D．?1

2．设集合A,B，则A?B是AIB?A成立的 （ ▲ ） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

rrrrrrrrrr3．已知i,j是互相垂直的单位向量,设a?4i?3j,b?3i?4j，则a?b （ ▲ ）

A．25

B．24 C．5 D．0

4．如图给出的是计算

1111的值的一个 ???L?2462012开 始 程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ▲ ） A．i?1005 B．i?1005 C．i?1006 D．i?1006 5．已知数列?an?满足a1?5,anan?1?2，

ni=1, s=0 否 是 输出S 结 束 则

a7? （ ▲ ） a35A．2 B．4 C．5 D．

2?y?0?6．已知实数x,y满足?y?x?1?0，若z?y?ax

?y?2x?4?0?A．2 B．1 C．0 D．?1

s=s+1 2ii=i+1 （第4题）

取得最大值时的最优解(x,y)有无数个，则a的值为 （ ▲ ）

7．若圆x2?y2?4x?2my?m?6?0与y轴的两交点A,B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是 （ ▲ ） A．m??6 B．m?3或?6?m??2 C．m?2或?6?m??1 D．m?3或m??1

高三数学（理科）试卷 第1页（共4页）

8．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有（ ▲ ）种不同放法 A．15 B．18 C．19 D．21 9．一个直角三角形的周长为l，面积为S，给出：

①（6，2）； ②（25，5）； ③（10，6）； ④ 2,3?22．

其中可作为(l,S)取值的实数对的序号是 （ ▲ ） A．① ② B．① ③ C．③ ④ D．② ④

10．如图，直线l?平面?，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面?内，B是

直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面?（ ▲ ）

A．4?22 B．22?2 C．4 D．43

OClADB??上的射影面积为

?非选择题部分（共100分）

（第10题）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11．已知展开式(x?1)6?a0?a1x?L?a6x6，则a0?a6的值为 ▲ . 12．如图，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为

面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ▲ . 13．函数f(x)?sinxsin(x?)的最小正周期为 ▲ . ?3x2y2??1?b?0?的离心率为2，则它的一焦点到其中14．已知双曲线

4b2一条渐近线的距离为 ▲ .

函数，则实数a的最小值是 ▲ .

（第12题）

15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时f(x)?ex?a，若f(x)在R上是单调16．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣

5分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生对每道题答对的概率都为学生在面试时得分的期望值为 ▲ 分.

17．若不等式?1?ax2?bx?c?1的解集为(?1,3)，则实数a的取值范围是 ▲ .

高三数学（理科）试卷 第2页（共4页）

2，则该 3

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本题满分14分）如图，在?ABC中，AD?BC，垂足为D，

且BD:DC:AD?2:3:6. （Ⅰ）求?BAC的大小；

（Ⅱ）设E为AB的中点，已知?ABC的面积为15，

求CE的长.

19．（本题满分14分）设等差数列?an?的前n项和为Sn，

若a1?2?t,S5?S2?24?3t(t?0). （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn?aqn?n，若b1?a1,b5?a5，试比较a3与b3的大小.

20．（本题满分14分）如图，在三棱锥A?BCD中，

A AEBDC（第18题）

?ABC??BCD??CDA?90?，AC?63,BC?CD?6，

G 设顶点A在底面BCD上的射影为E. （Ⅰ）求证:CE?BD；

（Ⅱ）设点G在棱AC上，且CG?2GA，

试求二面角C?EG?D的余弦值.

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B

E D

（第20题）

C

21．（本题满分15分）如图，在矩形ABCD中，AB?8,BC?4,E,F,G,H分别为四边的中

uuuruuuruuuruuur点，且都在坐标轴上，设OP??OF,CQ??CF(??0). （Ⅰ）求直线EP与GQ的交点M的轨迹?

的方程；

（Ⅱ）过圆x2?y2?r2(0?r?2)上一点N

作圆的切线与轨迹?交于S,T两点，

uuruuur若NS?NT?r2?0，试求出r的值.

22．（本题满分15分）已知函数f(x)?2x2?alnx （Ⅰ）若a?4，求函数f(x)的极小值；

HADyGMoE（第21题） CQFBxP（Ⅱ）设函数g(x)??cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量xi(i?1,2,3)使得f(xi)?g(xi)的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？

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2012年温州市高三第一次适应性测试

数学（理科）试题参考答案 2012.2

一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共5０分） 题号 答案 １ A ２ C ３ D ４ C ５ B ６ B ７ B ８ B ９ D 10 A 二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）

11．2 12． 13．? 14．23 15．?1 16．15 17．?三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本小题满分１4分）

解：（I）由已知得tan?BAD?4311?a? 2211,tan?CAD?, ……………………………………2分 3211?32?1, ……………………………………5分 则tan?BAC?tan(?BAD??CAD)?111??32又?BAC?(0,?),故?BAC??4..……………………………7分

A（II）设BD?2t(t?0),则DC?3t,AD?6t,

2由已知得15t?15,则t?1,

E故BD?2,DC?3,AD?6, …………………………………10分 则AE?AB?10,AC?35， ……………………………12分 2BDC由余弦定理得CE?5. …………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）

解：（I）方法一：设等差数列?an?的公差为d，则S5?S2?3a1?9d?24?3t.………2分 又a1?2?t，则d?2， …………………………………………………………………………4分 故an?2n?t.………………………………………………………………………………………6分

方法二：S5?S2?a3?a4?a5?3a4?24?3t，则a4?8?t得d?2.

（II）方法一：由已知可得aq?1?t?0,aq?5?t， ……………………………………8分 相加得3?t?

51(aq?aq5)， ……………………………………………………………………10分 2高三数学（理科）试卷 第5页（共4页）

又aq?aq?aq(q?1)?4，则q?1，得q?1 ………………………………………13分 则a3?b3?3?t?aq?35442aq2(q?1)2?0，故a3?b3. ………………………………………14分 2方法二：设cn?n?t，dn?aqn，则?cn?为等差数列，?dn?为等比数列， 由题意得c1?d1?0,c5?d5?0，且d1?d5 则c3?c1?c5d1?d5??d1d5?d3，故a3?b3. 2220．（本小题满分１4分） 证明：（I）方法一：由AE?平面BCD得AE?CD， 又AD?CD，则CD?平面AED，

故CD?DE，…………………………………………3分 同理可得CB?BE，则BCDE为矩形，又BC?CD， 则BCDE为正方形，故CE?BD.…………………6分

方法二：由已知可得AB?BD?AD?62，设O为BD的中点，则AO?BD,CO?BD，则BD?平面AOC，故平面BCD?平面AOC，则顶点A在底面BCD上的射影E必在OC，故CE?BD.

（II）方法一:由（I）的证明过程知OD?平面AEC，过O作OF?EG，垂足为F，则易证得DF?EG，故?OFD即为二面角C?EG?D的平面角，……………………………9分

2由已知可得AE?6，则AE?AG?AC，故EG?AC，则OF?CG?23， 2又OD?32，则DF?30，…………………………………………………………………12分 故cos?OFD?1010，即二面角C?EG?D的余弦值为.……………………………14分 55方法二: 由（I）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐 标系，则E(0,0,0),D(0,6,0),A(0,0,6),B(6,0,0),C(6,6,0)，

uuuruuur可得G(2,2,4)，则ED?(0,6,0),EG?(2,2,4)，易知平面CEG

uuur的一个法向量为BD?(?6,6,0)，设平面DEG的一个法向量为

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ruuur?r?n?ED?0r得n?(?2,0,1)， n?(x,y,1)，则由?ruuur??n?EG?0uuurruuurr10BD?n10则cosBD,n?uuu，即二面角C?EG?D的余弦值为. rr?55BD?n21．（本小题满分１5分）

解：（I）设M(x,y)，由已知得P(4?,0),Q(4,2?2?)， 则直线EP的方程为y?

x?x?2，直线GQ的方程为y???2， ………………………4分 2?2x2y2??1(x?0).…………………………………………6分 消去?即得M的轨迹?的方程为

164（II）方法一：由已知得NSNT?ON，又ON?ST，则OS?OT，……………8分

2x2y2??1得(1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0， 设直线ST:y?kx?m(m??2)代入

164设S(x1,y1),T(x2,y2)，

yDHAGSoECTFBx8km4m2?16,x1x2?则x1?x2??.……10分 221?4k1?4k由OS?OT得x1x2?y1y2?0， 即km(x1?x2)?(1?k)x1x2?m?0， 则5m?16(1?k)， ……………………12分 又O到直线ST的距离为r?22N22m1?k22，故r?45?(0,2). 5经检验当直线ST的斜率不存在时也满足. ……………………………………………………15分

方法二：设N(x0,y0)，则x0?y0?r，且可得直线ST的方程为x0x?y0y?r

222x2y2??1得(y02?4x02)x2?8r2x0x?4r4?16y02?0， 代入

164 高三数学（理科）试卷 第7页（共4页）

x02由NSNT?ON得(1?2)(x2?x0)(x0?x1)?r2，即x0(x1?x2)?x1x2?r2，

y028r2x02?4r4?16y02452则，故r??(0,2). ?r225y0?4x022．（本小题满分１5分）

44(x2?1)解：（I）由已知得f(x)?4x??， …………………………………………2分

xx'则当0?x?1时f'(x)?0，可得函数f(x)在(0,1)上是减函数，

当x?1时f'(x)?0，可得函数f(x)在(1,??)上是增函数， …………………………5分 故函数f(x)的极小值为f(1)?2..………………………………………………………………6分

（II）若存在，设f(xi)?g(xi)?m(i?1,2,3)，则对于某一实数m方程f(x)?g(x)?m在

(0,??)上有三个不等的实根， …………………………………………………………………8分

设F(x)?f(x)?g(x)?m?2x2?alnx?cos2x?m， 则F(x)?4x?'a?2sin2x(x?0)有两个不同的零点. ……………………………………10分 x方法一：a?4x2?2xsin2x(x?0)有两个不同的解，设G(x)?4x2?2xsin2x(x?0)， 则G(x)?8x?2sin2x?4xcos2x?2(2x?sin2x)?4x(1?cos2x)，

设h(x)?2x?sin2x，则h'(x)?2?2cos2x?0，故h(x)在(0,??)上单调递增，

则当x?0时h(x)?h(0)?0，即2x?sin2x，………………………………………………12分 又1?cos2x?0，则G(x)?0故G(x)在(0,??)上是增函数， ……………………………14分 则a?4x?2xsin2x(x?0)至多只有一个解，故不存在.……………………………………15分

方法二：关于方程0?4x?2sin2x?2''a(x?0)的解， x当a?0时，由方法一知2x?sin2x，则此方程无解,当a?0时，可以证明

aH(x)?4x?2sin2x?(x?0)是增函数，则此方程至多只有一个解，故不存在.

x 高三数学（理科）试卷 第8页（共4页）

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