安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考理数试题Word版含答案 d

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.设z??1?i??2?i，则z?（ ） A．2 B．2 C．

510 D．

2222.已知集合A?x|x?x?6?0，B??x|????1??1?，则A?B?（ ） x?A．?1,3? B．??2,0???1,3? C．??2,0? D．??3,0???1,2? 3.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1?1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

x2y2?1?a?0?的一个焦点与抛物线y2?8x的焦点重合，则a为（ ） 4.已知双曲线2?a3A．19 B．1 C.2 D．4 5.函数y?1?x的图象大致为（ ） 1?xA． B．

C. D．

6.?1?2x??1?x?的展开式中x的系数为（ ）

35A．10 B．-30 C.-10 D．-20

7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）

A．-1 B．0 C.7 D．1 8.已知函数f?x??2sin??2x????0?????，f?是（ ） A．????????1则f?x?的一个单调递减区间?4??5?????7????????5?? C. D．,? B．?,?,?????,?

1212121263???????1212?9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推.例如6613用算筹表示就是用算筹可表示为（ ）

，则9117

A.C.

B． D．

y?3,??10.若实数x,y满足不等式组?3x?7y?24?0,，则z?x?y的最小值是（ ）

?x?4y?8?0,?A．8 B．4 C. 6 D．2 11.某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ）

A．4 B．

48 C. D．2 33

12.下列命题为真命题的个数是（ ） ①e?2；②ln2?2e2ln?1ln2ln??；④?；③

3?e2?A．1 B．2 C. 3 D．4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知a??1,2?，b??k,4?，若a//b，则k? ．

14.如图，四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，四边形ABCD为正方形，

PA?AB?2，四棱锥P?ABCD的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积

是 ．

15.设A?，任取?a,b??A，则满足??x,y?|0?x?e,0?y?1?（e为自然对数的底数）

ab?1的概率是 （结果用e表示）．

16.设Sn是等差数列?an?的前n项之和，若S2014?2014a，S2015?2015b（a,b为常数），则S2016? ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）

在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，?ABC的面积为S，若

a2?b2?c2?43S. 3（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若c?3，S?3，求a?b的值. 218.（本小题满分12分）

已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是

54324321,,,，女生闯过一至四关的概率依次是,,,. 65435432（Ⅰ）求男生闯过四关的概率；

（Ⅱ）设?表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量?的分布列和期望. 19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥V?ABC中，?ABC?45?，VB?2，VC?3，BC?1，AB?22，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上.

（Ⅰ）求证：DC?BC；

（Ⅱ）设二面角V?AC?B为?，求?的余弦值. 20. （本小题满分12分）

x2y2如图，点A??2,0?，B?2,0?分别为椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右顶点，P,M,Nab为椭圆C上非顶点的三点，直线AP,BP的斜率分别为k1,k2，且k1,k2??1，AP//OM，4BP//ON.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）判断?OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知函数f?x??xlnx?a.

（Ⅰ）若对定义域内任意x，f?x??0成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若0?x1?x2，求证：对?x??x1,x2?，不等式立.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

f?x??f?x1?f?x??f?x2?恒成?x?x1x?x2??x?1??在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为??y?1???2t,2（为参数）

，在以坐标原点为t2t,22极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程??2?cos??3?0. （Ⅰ）说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为普通方程； （Ⅱ）C1与C2有两个公共点A,B，顶点P的极坐标?2,????求线段AB的长及定点P到?，4?A,B两点的距离之积.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f?x??x?1?2x?4.

（Ⅰ）求y?f?x?的最小值； （Ⅱ）求不等式f?x??6?1的解集.

试卷答案

一、选择题

1-5:CBCBA 6-10:CADAD 11、12：BD 二、填空题

13.2 14.12? 15.1?三、解答题

17.解：（Ⅰ）因为a?b?c?2222 16.4032b?2016a e43431S，所以2abcosC???absinC 332化简得：tanC?3，又?0?C??，∴C??3.

18.解：（Ⅰ）记男生四关都闯过为事件A，则

54321P?A??????.

65433（Ⅱ）记女生四关都闯过为事件B，则

43211P?B??????，

5432564?2??4?因为P???0???????，

?3??5?22596112?4?114?2?， P???1??C2????C2?????33?5?55?3?22552?1??4?2?1??2?112114， P???2??C?????C2?C??C???22????3355225?3??5??5??3?2222222222

12112?1?114?1?， P???3??C2????C2?????33?5?55?3?2251?1??1?. P???4????????3??5?225所以的分布列如下：

2222

E????0?64965212124016?1??2??3??4???. 2252252252252252251519.（Ⅰ）证明：VB?2，VC?3，BC?1?BC?VC，

VD?平面ABC?VD?BC，

VD?VC?V，∴BC?平面VCD?DC?BC.

（Ⅱ）解：（法一）作DE?AC垂足为E，连接VE， 则?VED为二面角V?AC?B的平面角.

在?BCD中，?DBC?45?，DC?BC，BC?1，

∴CD?1，BD?2，?BDC?45?，

在?ADC中，?ADC?135?，AD?AB?BD?2，

∴AC?AD2?DC2?2AD?DCcos135??5，

∴DE?5，又VD?平面ABC，∴VD?CD，又VC?3，∴VD?2， 55511?cos?VED?. 511∴VE?

（法二）在?BCD中，?DBC?45?，DC?BC，BC?1，

∴CD?1，BD?2，?BDC?45?，

在?ADC中，?ADC?135?，AD?AB?BD?2，

又VD?平面ABC，∴VD?CD，又VC?3，∴VD?2， 如图建立直角坐标系，

D?1,0,0?，B?0,1,0?，A?2,?1,0?，V1,0,2，

平面ABC的法向量为e1??0,0,1?， 平面VAC的法向量为e2??2,?22,1，

????cos??e1?e211. ?e1e211

20.解：（Ⅰ）kAP?kBPb21??,?1???a24??b?1

4a?2,??x2?y2?1. 椭圆C:4（Ⅱ）设直线MN的方程为y?kx?t，M?x1,y1?，N?x2,y2?，

?y?kx?t,?2222?4k?1x?8ktx?4t?4?0， ???x2??y?1,?48kt4t2?4x1?x2??2，x1x2?，

4k?14k2?1yy11k1?k2???1?2???4y1y2?x1x2?0?4?kx1?t??kx2?t??x1x2?0，

4x1x24?4k2?1?x1x2?4kt?x1?x2??4t2?0，

?4t2?4?8kt4k?1?4kt???4k2?1?4k2?1?4t2?0?2t2?4k2?1，

??2

MN??1?k??x?x?2122?x?x??1?k????2122?4x1x2?

???8kt?24t2?4?k2?1， ??1?k???2??42??2224k?1?4k?1???4k?1??2ttk2?1，S?2d??2??1. 22224k?1k?1k?12tt∴?OMN的面积为定值1.

21.（Ⅰ）解：f?x??xlnx?a的导数为f′?x??lnx?1?x?0?， 令f′?x??0得x?1， e

所以ymin?f?????a，

?1??e?1e11?1?f?x??0恒成立，ymin?0，即ymin?f?????a?0，所以a?.

ee?e?（Ⅱ）证明：f?x??xlnx?a的导数为f′?x??lnx?1?x?0?， 易知f′?x???lnx?1在?0,???上为增函数.

欲证明

f?x??f?x1?f?x??f?x2?， ?x?x1x?x2f?x??f?x1?f?x??f?x2?， ?f′?x??x?x1x?x2从图像分析可先证

先证明

f?x??f?x1??f′?x??lnx?1，0?x1?x，

x?x1即证：f?x??f?x1???x?x1??lnx?1??0

设F?x??f?x??f?x1???x?x1??lnx?1?，0?x1?x?x2，

F′?x??f′?x???lnx?1??x?x1?x?x??lnx?1???lnx?1???1?1??1?1?0， xx?x?

所以F?x??f?x??f?x1???x?x1??lnx?1?在?x1,x2?内为减函数， 所以F?x??F?x1??0，故

f?x??f?x1??lnx?1对于?x??x1,x2?成立，

x?x1f?x??f?x2?欲证lnx?1?即证：f?x??f?x2???x?x2??lnx?1??0，

x?x2令G?x??f?x??f?x2???x?x2??lnx?1?，0?x1?x?x2

G′?x??f′?x???lnx?1??x?x2?x?x??lnx?1???lnx?1???1?2??2?1?0， xx?x?所以G?x??f?x??f?x2???x?x2??lnx?1?在?x1,x2?内为增函数，

G?x??G?x2?故lnx?1?f?x??f?x2?成立.

x?x2f?x??f?x1?f?x??f?x2?恒成立. ?x?x1x?x22综上：对?x??x1,x2?，不等式

22.解：（Ⅰ）C2是圆，C2的极坐标方程??2?cos??3?0，

222化为普通方程：x?y?2x?3?0即：?x?1??y?4.

2（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线C1上，

??x?1??将C1的参数方程为??y?1???222t,2（为参数）代入x2?y2?2x?3?0中得：

t2t,2??2??2?2?1?t?1?t?21?t??3?0化简得： ???????????2??2?2???t2?2t?3?0.设两根分别为t1,t2，

??t?t??2,由韦达定理知：?12

t2??3,??t1?所以AB的长AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2?2?12?14，

定点P到A,B两点的距离之积PA?PB?t1t2?3.

??3x?3,x??2,?23.解：（Ⅰ）f?x??x?1?2x?4??x?5,?2?x?1,

?3x?3,x?1.?所以：当x??2时，y??3,???；当?2?x?1时，y??3,6?；当x?1时，y??6,???. 综上，y?f?x?的最小值是3. （Ⅱ）f?x??x?1?2x?4，

??3x?9,x??2,?令g?x??f?x??6??x?1,?2?x?1,

?3x?3,x?1,?①??x??2,??3x?9?1,解得：x????108?,??， ?33???2?x?1,②?解得：x??0,1?，

x?1?1,?③??解得：x??1,?.

?3??3x?3?1,x?1,?4?综上，不等式f?x??6?1的解集为：??

?108??4??108??4?,????0,1???1,????,????0,?. ?33??3??33??3?

??3x?3,x??2,?23.解：（Ⅰ）f?x??x?1?2x?4??x?5,?2?x?1,

?3x?3,x?1.?所以：当x??2时，y??3,???；当?2?x?1时，y??3,6?；当x?1时，y??6,???. 综上，y?f?x?的最小值是3. （Ⅱ）f?x??x?1?2x?4，

??3x?9,x??2,?令g?x??f?x??6??x?1,?2?x?1,

?3x?3,x?1,?①??x??2,??3x?9?1,解得：x????108?,??， ?33???2?x?1,②?解得：x??0,1?，

x?1?1,?③??解得：x??1,?.

?3??3x?3?1,x?1,?4?综上，不等式f?x??6?1的解集为：??

?108??4??108??4?,????0,1???1,????,????0,?. ?33??3??33??3?

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