R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式及其应用(2)

排序、均值、柯西不等式及其应用

排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。

一. 排序、均值、柯西不等式

① 排序不等式：

(i)对于两个有序数组a1 a2 an及b1 b2 bn,则

a1b1 a2b2 anb（同序） ai1bj1 ai2bj2 ainbbn（乱序） a1bn a2bn 1 anb（反序） n1

其中i1,i2, ,in与j1,j2, ,jn是1，2， n的任意两个排列，当且仅当a1 a2 an或

b1 b2 bn时式中等号成立.

(ii) 设0 a1 a2 an,0 b1 b2 bn,而i1,i2, ,in是1,2, ,n的一个排列,则 a11a22 an

b

b

bn

a1i1a2

b

bi

2

an

bi

n

a1na2

b

bn 1

an1.当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时式中等

b

号成立.

(iii)设有n组非负数,每组n个数,它们满足: 0 ak1 ak2 akn(k 1,2, ,m),那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n次取完为止,然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以I a11a21 am1 a12a22 am2 a1na2n amn为最大.

(iv)设0 a1 a2 an,0

b1 b2 bn,

当且仅当a1 a2 an,

且b1 b2 bn时取等号. ② 平均值不等式：

设a1,a2, an是n

个正实数，则有号.

③ 幂平均值不等式:

1

1

a1 a2 an

n

a1 a2 an时取等

a a a a a a

2n12n

设0 ，n N，a1,a2, ,an R，则 1

nn

当且仅当a1 a2 an时取等号.

④ 加权幂平均值不等式

设p1,p2, ,pn R ，0 ，n N，a1,a2, ,an R ，则

1

1

p1a p2a pna

12n

p1 p2 pn

p1a p2a pna

12n

p1 p2 pn

2

2

2

2

2

,当且仅当a1 a2 an时取等号.

2

⑤ 柯西不等式：

（a1b1 a2b2 anbn) (a1 a2 an)(b1 b2 bn),当且仅当ai kbi(i 1,2, ,n)时

2

取等号.

推论1设a1,a2, ,an R ，则(a1 a2 an)(

1a1

2

1a2

2

2

1an

) n.

2

2

a1 a2 an

a1 a2 an

a,a, ,a推论2设12. n R，则

nn

二.典例解析

例1 （第17届IMO试题）已知xi、yi(i 1,2, ,n)为任意实数,且x1 x2 xn，y1 y2 yn.

nn

2

又z1,z2, ,zn是y1,y2, ,yn的任意一个排列，试证： (xi yi)

i 1

n

n

2i

n

2i

n

(x

i 1

i

2

zi).

证: ∵ y

i 1

z

i 1

,故原不等式等价于 xiyi

i 1

xz

i

i 1

i

,此式左边为顺序和,右边为乱序和,由排

序不等式知其成立.

a b c

例2 (美国第3届中学生数学竞赛题) 设a,b,c是正实数,求证:a

a

bc (abc)

bc

3

证: 不防设a b c 0,则lga lgb lgc,据排序不等式有 :

alga blgb clgc blga clgb algc

alga blgb clgc clga algb blgc,以上两式相加,再两边同加alga blgb clgc,

整理得:3(alga blgb clgc) (a b c)(lga lgb lgc) 即lg(

abc)

abc

a b c

3

a b c

lg(abc),故 abc (abc)

a bca(b c)

22

abc

3

.

例3 a,b,c R,求证:证: 左边=(

(a b)(a c)a(b c)

b cab(c a) 1) (

2

2

c abc(a b)

2

3。

a bca(b c)

2

1) (

b cab(c a)

c abc(a b)

1) 3

(b c)(b a)b(c

a)

(c a)(c b)c(a b)

3

3 3

3 3 2 3 3. a bca(b c)

2

注:本题也可以由

a b ab bc,再处理.

1a 1

2

cca

例4 已知a,b,c为正实数，且ab bc ca 1，证明证: 原不等式等价于a

22

1b 1

2

1c 1

2

94

.

a

2

2

a 1

2

b

2

2

b 1

2

2

c

2

2

c 1

2

34

2

,由柯西不等式，可得

(a b c)

2

2

2

a 1

b

2

2

b 1

2

c

2

2

c 1

2

(a b c)

2

a 1 b 1 c 1

a b c 3(ab bc ca)

2

(a b c)(a b c)

(a b c)

2

34

(a b c) (ab bc ca)

13

.

(a b c)

证法二:

a

2

2

a 1

b

2

2

b 1

abc

2

2

c

2

2

c 1

34

a

2

2

(a b)(a c)

2

2

b

2

(b c)(b a)

34

c

2

(c a)(c b)

34

.

由柯西不等式，可得

ab

2

bc

(a b)(a c)

(b c)(b a)

(a b)b c

(c a)(c b)

,

c a(b c) (a b)

(a b)(a c)

2

a b(a c) (b c)

a

2

(b c)(b a)

2

(a b)(a c) (b c)(b a)(c a) (a b)

(b c)(b a)

(c a)(c b)

,

c

2

(c a)(c b)(a b)(a c)

,

为此只需证明

a b(c a) (b c)

A

b c(c a) (a b)

B

,c tan

C

c a(a b) (b c)

32

.显然.

222

111992A2B2C

等价于 cos cos cos 222

a 1b 1c 142224

B CB C2A2B2C2A

cos cos cos 2 sin coscos

222222 2 sin

2

证法三: 令a tan,b tan,0 A,B,C ,A B C ,

A2

cos

B C2

2 sin

2

A2

sin

A2

94

(sin

A2

12

)

2

94

.

例5 设x,y,z R ,A,B,C为DABC的三个内角,求证

: xsinA ysinB zsinC

12

(xy yz zx证: 记u ysinB zsinC,v zsinC xsinA,w xsinA ysinB,则

u (ysinB zsinC) (ycosB zcosC) y z 2yzcos(B C),cos(B C)

2

2

2

2

2

y z u

2yz

222

,

同理cos(A B)

z x v

2zx

222

,cos(A B)

x y w

2xy3

222

,三式相加得 w

2

x y w

2xy

2

222

cos(A B) cosC 2,故

u

2

2xy

2

2

x yxy

2

22

.而由柯西不等式得,

(u v w) (yz zx xy)(

2

yz

v

2

zx

w

2

xy

) (yz zx xy)(3

x yxy

)

(yz zx xy)

(x y z)

xy

.

即xsinA ysinB zsinC

b

2

12

(xy yz zx例6 已知a,b,

c R，求证：证: 由柯西不等式知,

2

2

2

2

2

2

2

a

2

c

2

b

a

2

c

2

(1)

3(ab bc ca) 3(a b c)(ab bc ca) (a b c),即

22222223

ab bc ca

222

3

42

3

a b c)2 (2)

222

b

2

a

c

2

b

a

2

c

b

ab

c

42

bc

a

42

ca

(a b c)

2

2

22222

ab

bc cab

2

3

2222

.

例7 已知a,b,

c,d R，则有

2

2

2

2

2

2

ab证: 由柯西不等式和均值不等式知,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

2

d

2

c

a

2

d

2

。

4(ab bc cd da) 4(a b c c)(ab bc cd da) 4(a b c c)(a c)(b d) (a b c d),即

2

2

2

3

22222222

ab bc cd da

(a b c d)

2

2

2

2

2

2

2

22

2222

12

3

(a b c d),

2

2222

b

2

a

3

c

2

b

d

2

c

a

2

d

b

42

ab

c

42

bc

d

42

cd

a

42

da

ab bc cd da

(a b c d)12

2

2

2

2

22222

.

(a b

c d)2

例8 x3(x y)

13

(x y) (1)

22

2

证：事实上，（1）式等价于3(x3y y3z z3x) (x2 y2 z2)2 （2） 采用增量换元法： x z a,y z a b证明（2）式成立.（2）是等价于

(a ab b)z (a 3ab 2ab b)z a ab ab ab b 0 (a 3ab 2ab b) 4(a ab b)(a ab ab ab b) 3(a ab 2ab b) 0.借助恒等式：

(xy yz zx) (xy yz zx) (xy yz zx)(x y z) 3xyz(x y z)

3

3

3

3

3

3

2

2

2

3

2

2

3

2

3

2

2

3

2

2

2

4

3

2

2

3

4

2

2

2

3

2

2

3

4

3

2

2

3

4

（2）式等价于 (xy yz zx) (xy yz zx) (x y z)(x y)(y z)(z x)知，

3(x y z)(x y)(y z)(z x) 2(x y z)

3(x y z)(xy yz zx) 3xyz(x y z) （3） 对（2）式作变换： x

12

42

2

2

2

2

2

2

333333

(s a),y

4

4

12

(s b),z

2

2

2

12

2

(s z)（其中s

2

2

12

，则有 (a b c)，a、b、c为 ABC的三边长）

3

3

3

3

3

3

3(a b c) 10(ab bc ca) abc(a b c) 9(ab bc ca) 3(ab bc ca) （4）

例9 （第三届中国东南地区数学奥林匹克题6)求最小的实数m，使得对于满足a+b+c=1的任意正实数

222

a，b，c，都有m(a3 b3 c3） （6a b c） 1．

解：当a=b=c

13

222

时，有m 27．下证不等式27（a3 b3 c3） 6（a b c） 1对于满足a+b+c=1

的任意正实数a，b，c都成立．

32

因为对于0 x 1，有27x 6x 5x

43

81x 18x 15x 4 0 （3x 1）（9x 4） 0，

43

322

故27x 6x 5x

32

43

32

,0 x 1,∴27a 6a 5a

,27b 6b 5b

32

43

27c 6c 5c

32

43

.

222

把上面三个不等式相加，得27（a3 b3 c3） （6a b c） 1,∴m的最小值为27．

解法二：当a=b=c

13

222

时，有m 27．下证不等式 27（a3 b3 c3） 6（a b c） 1对于满足

a+b+c=1的任意正实数a，b，c都成立．

因为(a b)(a b) 0，所以a b ab ab，同理，b c bc bc,c a ca ca, 于是2(a b c) ab bc ca ab bc ca，

3(a b c) a b c ab bc ca ab bc ca

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

332233223322

(a b c)(a b c) a b c.所以6（a b c） 1 6（a b c） (a b c) 6(a b c) 3(a b c) 9(a b c) 27（a b c）,∴m的最小值为27．

6（a b c）(a b c）-(a b c) 0 解法三：（齐次化）27(a b c）

3

3

3

2

2

2

3

3

3

20(a b c）-9（ab bc ca ab bc ca）-6abc 0 20(a b c+3abc-ab bc ca ab bc ca） +11（ab bc ca ab bc ca-6abc) 0.当a=b=c

2

2

2

2

2

2

333222222

333222222

13

时，有m 27．

1

6

2

例9对任意实数x,y,z，1

6

(x y 9z) xy 2xz 3yz

2

2

222

(x y 9z).

222

证：当x y z时，所证不等式显然成立.当x,y,z不全为零时，x y 9z 0, 将所证不等式可变形为

1

6x y 9z6x y 9z

① 式中的x,y,z均可取一切实数（x,y,z不同时为零即可）.不妨取变量z作为考查对象.

xy 2xz 3yz

2

2

2

1 . 令

xy 2xz 3yz

2

2

2

k. ①

（1）当z 0时，k

xyx y

2

2

，由x2 y2 2|xy|，得

|xy|x y

2

2

12

,即

12

k

12

.

（2）当z 0时，将①式整理，得kx2 (y 2z)x k(y2 9z2) 3yz 0,k可以为0，当k 0时，不等式显然成立；

0，当k 0时，因x R，即 0或 0.由 0得 (y 2z)2 4k(ky2 9kz2 3yz)

(1 4k)y (4z 12kz)y 4z(1 9k) 0.

2

2

2

2

当k 当k

12

12

时，不等式显然成立；

时， y R, 0. (4z 12kz)2 4(1 4k2)4z2(1 9k2) 0.

即16z2[(1 3k)2 (1 4k2)(1 3k)(1 3k)] 0, 16z2 0,

(1 3k) (1 4k)(1 3k)(1 3k)] 0,即(1 3k)k(k

2

2

1

6

)(k

1

6

) 0.

解得：

1

6

k

13

，或0 k

1

6

.

同理，由 0，得(1 4k2)y2 (4z 12kz)y 4z2(1 9k2) 0，对任意实数y都满足的充要条件

2

1 1 4k 0,是： 解得 k 0.

2222

3 (4z 12kz) 4(1 4k)4z(1 9k) 0.

综合以上，可得k的取值范围是：由此可得

1

6

2

1

6

k

1

6

.

xy 2xz 3yzx y 9z

2

222

1

6

. 即所证不等式成立.

说明：“双判别式法”可以解决：

q(k1x k2y k3z) axy bxz cyz p(k1x k2y k3z)(ki 0,i 1,2,3)的三元二次齐次不等式

2

2

2

2

的证明问题.

例11 求最大常数k,使

kabca b c

(a b) (a b 4c)对所有正实数a,b,c成立. a b cabc

2

2

2

解: 取a b 2c,有k 100.又

a b cabca b cabc

2

[(a b) (a b 4c)]

[4ab

]

2

22

[(a b) (a 2c

b 2c)]

a b cabc

(4ab 8ac 8bc

c) (a b c) (

4c

8a

8b

(

a2

a2

b2

b2

c) (

2

4c

2

8a

2

8b

100.故kmax 100.

例12 对满足x y z 1的正数x,y,z，

求证证：

易知x y z

3

x1 x

2

y1 y

x1 x

2

z1 z

2

（32届IMO预选题） .待定系数

，使得

2

21

x ，

23

整理得

1

x

2

2 1

x

3

3x 1 ，两边约去

2

1，代入x

3

，得

2

，

21 x21

∴，事实上， x x 22

1 x22 3

1 x22

3

xx

1

2

2

2

2 1 x

0，

显然成立.

同理

y1 y

2

2

21 z21

，y z ， 2

2 3

1 z22 3

三式相加得，

x

2

x 1y 1z 1方法二：本题也可尝试基于去掉分母的待定系数法：待定系数 , 0，使得

1

y

2

z

2

x 3

x1 x x1 x 3 x1 x x1 x 3 22

1 x1 x

x

3 x，

，

1

满足

x1 x

2

其中x x 1 x x 1 x ，

2

2

3

，

解得

2

9

2

x

9

22

，

92

，

，

2

2

278

，∴

z

x1 x

2

92

2

x

2

x

92

x，即

2

1 x

2

x，

同理，

y1

y

y，

2

1 z

2

z，三式相加得，

xx 1

2

5

yy 111 xi

2

zz 1

2

5

xi4 xi

2

相关题1.(2003年西部奥林匹克题)设xi 0(i 1,2,3,4,5)且

i 1

1,求证:

i 1

1.

x4 x

2

15

3

41 x

(

1

15

) (x 4)(x 4) 0.

2

相关题2.(《中学生数学》2006年增刊--帮你参加全国数学联赛第7套模拟题) 已知a,b,c为正实数，且a4 b4 c4 3，证明

注意到ab

14 ab

14 bc

14 ca

1.

，为此只需证明

4

4

4

1，令a x,b y,c z，则问题转化为：

已知x,y,z为正实数，且x y z

31

2

14 t

13

118

2

1.

t 1

4 t

13

136

(x 1)，令t

x 3 2t， (1 t)

16

(1 t) (1 t)(2 t) 0.

22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/elf4.html