振动和波动要点习题

振动和波

一、选择题

1.（3分,答D）已知一平面简谐波的表达式为y?Acos(at?bx)（a,b为正值常量），则 （A）波的频率为a （B）波的传播速度为b/a （C）波长为?/b （D）波的周期为2?/a

2.（本题3分，答B ）一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为

1A，且向x轴的正方向运动，2代表此简谐振动的旋转矢量图为［ ］

3. （3分,答B）一质点在x轴上作简谐振动，振幅A=4cm，周期T=2s，其平衡位置取作坐标原点，若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为

(A) ???A x o x 1A 2??(B) o ?x 12A x A ??o x ?A (C) o x 1?2A x ?12A (D) ??x ?A (A) 1s (B) (2/3)s (C) (4/3)s (D) 2s

4. （3分,答D）一劲度系数为k的轻弹簧，下端挂一质量为m的物体，系统的振动周期为

1m的物体，则系统振动周期T2等于 2 (A) 2 T1 (B) T1 (C) T1/2

T1．若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为 (D) T1 /2 (E) T1 /4

5.（本题3分，答A）轴一简谐波沿Ox轴正方向传播，t = 0 时刻的波形曲线如图所示，已知周期为 2 s ，则 P 点处质点的振动速度v与时间t的关系曲线为：

v(m/s)

v(m/s) 1 · O v(m/s) t(s)

(D)

O A O y(m) 1 图1

t(s)

u 2 t=0 x(m) ?A (A)

O 1 · ?A t(s) (C)

v(m/s) 1 O (B) ·－?A －?A 1 ·t(s) 6.（3分，答B）一平面简谐波在弹性媒质时，某一时刻媒质中某质元在负最大位移处，则它的能量是

（A） 动能为零 势能最大 （B）动能为零 势能为零 （C） 动能最大 势能最大 （D）动能最大 势能为零

1

7.（3分，答D）沿相反方向传播的两列相干波，其波动方程为

y1=Acos2? (νt－x/?) y2=Acos2? (νt + x/?) 叠加后形成的驻波中,波节的位置坐标为

(A) x=±k? . (B) x=±k?/2 . (C) x=±(2k+1)?/2 . (D) x=±(2k+1)?/4 . 其中k = 0 , 1 , 2 , 3…….

8.（3分,答D）如图所示，有一平面简谐波沿x轴负方向传播，坐标原点O的振动规律为y=Acos(? t+φ0)，则B点的振动方程为 （A）y=Acos[? t-(x/u)+φ0]

（B）y=Acos?[ t+(x/u)] （C）y=Acos{? [t-(x/u) ]+φ0} （D）y=Acos{?[ t+(x/u) ]+φ0}

9.（3分,答D）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：

（A）它的动能转换成势能. （B）它的势能转换成动能. （C）它从相邻的一段质元获得能量，其能量逐渐增大. （D）它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小. 10.（3分，答B）在波长为λ的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 （A）λ/4 （B）λ/2 （C）3λ/4 （D）λ

11.（3分,答C）某时刻驻波波形曲线如图所示，则a、b两点振动的相位差是

（A）0 （B）?/2 （C）? （D）5?/4

12.（本题3分，答B) 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动

（A）振幅相同，相位相同 （B）振幅不同，相位相同 （C）振幅相同，相位不同 （D）振幅不同，相位不同 二、填空题

1. （3分）已知一个简谐振动的振幅A=2cm, 角频率

A A/2 x2 x1 A O y a · －A ? x · · · · · · · · · · ?/2 ·b ??4?s?1，以余弦函数表达式运动规律时的

2 初相??12?，试画出位移和时间的关系曲线（振动图线） 2.（4分）两个简谐振动方程分别为

x1=Acos(? t) ；x2=Acos(? t+?/3) 在同一坐标上画出两者的x-t曲线.

3. (3分）有两相同的弹簧，其劲度系数均为k.（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；

（2）把它们并联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为 . [答案：（1）2?2mmk,（2）2?2k] 4. (4分) 一弹簧振子系统具有1.0J的振动能量，0.10m的振幅和1.0m/s的最大速率，则弹簧的劲度系数 ，振子的振动频率 . [答案： 2?102N/m,1.6Hz]

5.（3分）一平面机械波沿x=-1m轴负方向传播，已知处质点的振动方程y?Acos(?t??)，若波速为u，求此波的波函数 . [答案：y?Acos{?[t?(1?x)/u]??}]

6.（3分）一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为1000Hz，振幅为0.5cm，则其振动能量为 .（答案：9.90?102J ） 7.（3分）两个同方向同频率的简谐振动x1?3?10?2cos(?t?13?),

x?10?2cos(?t?12?4?)(SI)，它们的合振幅是 . （答案：5?10?26m ）

8.（3分）一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波动表达y ·A ·B u 式为y?Acos[?(t?x/u)??/4]，则x?Lx 1处质点的振O ·C 动方程是 ；x??L2处质点的振动和x?L1处质点

的振动相位差为?2??1? . （答案：y?Acos[?(t?L1/u)??/4]，?(L1?L2)/u） 9.（5分）一余弦横波以速度u沿x轴正向传播，t时刻波形曲线如图所示.试分别指出图中A，B，C各质点在该时刻的运动方向.A 向下 ，B向上 ，C 向上.

10. （本题4分）一平面简谐波的表达式y?Acos?(t?x/u)?Acos(?t??x/u)其中x/u表示 ，?x/u表示 ，y表示 .

[答案：波从坐标原点传至x处所需时间（2分），x处质点此原点处质点滞后的相位（1分），t时刻x处质点的振动位移（1分）]

11. （本题3分）如图所示，两相干波源S1和S2相距为3?/4，?为波长，设两波在S1 S2连

3

线上传播，它们的振幅都是A，并且不随距离变化，已知在该直线上S1左侧各点的合成波

强度为其中一个波强度的4倍，则两波源应满足的相位条件是__π/2_ 12. （3分）一驻波的表达式为y=2 A cos(2? x/λ) cos(2?νt)，两个相邻波 腹之间的距离是 .（答案：λ/2） 三、计算题

1. （5分）一质点作简谐运动，其振动方程为x?0.24cos(?t??)(SI)，试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到 x=-0.12 m， v<0的状态所经过的最短时间． 解：旋转矢量如图所示． 图3分 由振动方程可得

S1 S2 1213??t 1π，???1? 1分

32 ?t???/??0.667s 1分

??2（本题10分）一质量m=0.25kg的物体，在弹簧的力作

?????A ?????A ??t = 0 x (m) -0.24 0.12 0.24 -0.12 O

用下沿x轴运动，平衡位置在原点，弹簧的劲度系数k=25N/m.（1）求振动的周期T和频率ω. （2）如果振幅A=15cm，t=0时物体位于x=7.5cm处，且物体沿x轴反方向运动，求初速度v0及初相φ.（3）写出振动的数值表达式.

解：（1）??2?k/m?10s (2分)

?1s 3 (1分) T?2?/??0.6(2) A=15cm， 在t=0时，x0?7.5cm，v0?0 由A?2x0?(v0/?)2 22得v0???A?x0??1.3m/s (2分)

??tg?1(?v0/?x0)??/3或4?/3 ?x0?0,????/ 3 (3分)

（3）x?15?10?2cos(10t??/3)(SI) (2分)

3.（10分）在一轻弹簧下端悬挂m0?100g砝码时，弹簧伸长8cm. 现在这根弹簧下端悬挂m0?250g物体，构成弹簧振子，将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度（令这时t=0）.选x轴向下，求振动方程的数值式.

O x 0.1?9.8N/m?12.25 N/m 解： k = m0g / ?l ?0.08

4

??k/m?12.25?1s?7s?1 (2分) 0.2522A?x0?v0/?2?42?(212)cm?5cm (2分) 7tg???v0/(x0?)??(?21)/(4?7)?3/4，? = 0.64 rad (3分)

x?0.05cos(7t?0.64) (SI) (1分)

4．（8分）在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0?1.2cm而平衡.再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A?2cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式.

解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数（图参考上题）k?mg/l0 选平衡位置为原点，向下为正方向. 小球在x处时，根据牛顿第二定律得

d2xd2xg mg?k(l0?x)?m2 将k代入整理后得 ??x 2dtdtl0所以振动为简谐振动，其角频率为??g/l0?28.58?9.1?(rad/s) (5分)

(t?? )设振动表达式为 x?Acos?由题意：t=0时，x0?A?2?10m?2v0?0解得：??0

?x?2?10?2cos(9.1?t) m (3分)

5.(10分)在一轻弹簧下端悬挂m0=100g的砝码时,弹簧伸长8cm,现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体, 构成弹簧振子. 将物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上的21cm/s的初速度(这时t=0) ，选x轴向下，求振动方程的数值式. 解：物体受向下的重力和向上的弹性力.

k=m0g/?l, x0=4×10?2m, v0=?21×10?2m/s

?=km?22?m0gΔl?m=7s?1 A=x0?v0/?2=5×10?2m

因Acos?=4×10?2m, Asin?=?v0/?=3×10?2m,有 ?=0.64rad 所以 x=5×10?2cos(7t+0.64) (SI)

6.（本题5分）一质量为0.2kg的质点作简谐振动，其振动方程为x?0.6cos(5t?求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力.

1?)2(SI)

5

解：（1）v?dx???3.0sin(5t?)(SI)t0?0,v0?3.0m/s （2分） dt21A时，F??1.5N （无负号扣1分） （3分） 22（2）F?ma??m?x x?7.（5分）一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为1m/s，在x轴上某质点的振动频率为1Hz，振幅为0.01m. t = 0时该质点恰好在正最大位移处，若以该质点的平衡位置为x轴的原点. 求此一维简谐波的表达式.

解. y?0.01cos[2π(t?x)](m)

8.（本题10分）某质点作简谐振动，周期为2s，振幅为0.06m，t=0时刻，质点恰好处在负最大位移处，求（1）该质点的振动方程.（2）此振动以波速u=2m/s沿x轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；（3）该波的波长. 解：（1）振动方程 y0?0.06cos(2?t/2??)?0.06cos(?t??)（2）y?0.06cos[(?(t?x/u)??)?0.06cos[?(t?x/2)??)（3）波长??uT?4m

9.（10分）一列平面简谐波在以波速u?5m/s，沿x轴正向传播，原点O处质点的振动曲线如图所示.

1）求解并画出x?25cm处质元的振动曲线 2）求解并画出t?3s时的波形曲线 解：1）原点O处质元的振动方程为

2 O (SI) 3分 (SI) 4分

2 4 t(s) y(cm) 11y?2?10?2cos(?t??),(SI)(2分)

22波的表达式 (2分)

11y?2?10?2cos(?(t?x/5)??),(SI)22 x=25m处质元的振动方程

1y?2?10?2cos(?t?3?),(SI)

2振动曲线如右y-t图 (2分)

?22）t=3s时的波形曲线方程y?2?10cos(???x/10),(SI) (2分)

波形曲线见右y-x图 (2分)

10.（10分）某质点作简谐振动，周期为2s，振幅为0.6m，t=0时刻，质点恰好处在负最大

6

位移处，求（1）该质点的振动方程；（2）此振动以波速u=2m/s沿x轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；（3）该波的波长.

2?t??)?0.06cos?(t??) (SI) (3分) 2 (2) 波动表达式 y?0.06cos[?(t?x/u)??] (4分)

1[(t?x)??] (SI) ?0.06cos?2 (3) 波长 ??uT?4m (3分)

解：(1) 振动方程 y0?0.06cos(11.（5分）如图所示，一简谐波向x轴正向传播，波速u?500m/s,x0?1m,P点的振动方程为y?0.03cos(500?t?1?)(SI). 2-2-1Oy (m)0.03P-0.0312x (m)u（1） 按图所示坐标系，写出相应的波的表达式； （2） 在图上画出t=0时刻的波形曲线.

解：(1) ??u/??(500/250)m?2m 波的表达式 y(x,t)?0.03cos5[0?0t?1??(x?1)2?/?]

2 ?0.03cos[500?t?1??(x?1)2?/2]?0.03cos(500?t?1???x)(SI) (3分)

22(2) t = 0时刻的波形曲线 y(x,0)?0.03cos(1???x)?0.03sin?x (SI) (2分)

212.（10分）图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s时刻的波形图(波向左传播)．已知波速为u，波的周期大于2 s，求(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波动表达式． 解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s时刻波形图，可知此波向左传播．在t = 0时刻，O处质点0?Acos?， 0?v0??A?sin?，故????2 又t = 2 s，O处质点位移为A/2?Acos(4π??π2) 所以?π4?4π??π2， ? = 1/16 Hz 振动方程为y0?Acos(πt/8?π2)(SI)

(2) 波速u = 20 /2 m/s = 10 m/s, 波长? = u??? = 160 m 波动表达式y?Acos[2?(y (m)A2AOt=080t=2 sx (m)160

tx1?)??] (SI) 16160220 7

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