湖南省长郡中学2013年高三4月模拟考试数学试题（理科）

湖南省长郡中学2013年高三五月模拟考试数学试题（理科）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 1．设集合A?{x|

y?2x?x2},B?{y|y?2x,x?0}，则A∩B=

D．{x|x?1}

（ ）

A．{x|1?x?2} B．{x|1?x?2} C．{x|x?0}

2．已知?,?是两个不同平面，m,.n是两条不同直线，则下列命题不正确的是 ．．．

A．?//?,m??,则m?? C．n//?,n??,则?B．m/n,m??,则n?? D．m//?,m?n,则n??

（ ）

??

3．羊娃是第16届广州亚运会吉祥物，每组羊娃都由“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”和“乐

羊羊”这五只羊组成，现将同一组羊娃随机分配给甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者，则甲或乙得到“阿祥”、丙不得“乐羊羊“的方法种数为 （ ） A．24 B．36 C．48 D．54 4．已知平面区域??{(x,y)|x2?y2?1},M?{(x,y)||x|?|y|?1}，若在区域Ω上随机扔一

C．

（ ）

个点P，则点P落在区域M的概率为

A．

1 2?B．

1?

2? D．

3?

5．设有算法如下： 如果输入A=2010，B=99，则输出的结果是（ ） A．0 B．3 C．6 D．9

6．若二项式(ax?a16)的展开式中的常数项为?20?3(?为无理数），则?sinxdx?（ ）

0x A．-2 B．0 7．给出下列四个结论：

①命题“?x?R,2xC．1 D．2

； ?0”的否定是“?x?R,2x?0”

?1②给出四个函数y?x,y?x?,y?x?,y?x3，则在R上是增函数的函数有3个；

③已知a,b?R，则“不等式|a?b|?|a|?|b|成立”的充要条件是“ab?0”； ④若复数z?(m2?2m?3)?(m?1)i是纯虚数， 则实数m的值为-3或1。

C．2

D．3

（ ）

其中正确的个数是 A．0 B．1

8．给出数列

11212312k,,,,,,?,,,?,,?,在这个数列中，第50个值等于1的项的序．121321kk?11号是 （ ） ．

A．4900 B．4901 C．5000 D．5001 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 9．为了调制一种饮料，在每10kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500g到1500g

之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在 g。 10．如图，AC为⊙O的直径，弦BD?AC于点P， PC=2，PA=8，则cos?ACB的值为 。 11．正三棱柱的底面边长为23cm，高为2cm，则它

的外接球的表面积为 cm2.（结果保留?）

??x?a?2cos?(?为参数，a为常数，a?0）有12．若曲线C1:??(??R)与曲线C2:?6??y?2sin?两个交点A、B，且|AB|=2，则实数a的值为 。

?y2x213．设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x2?1相切，则该双曲线的离心

ab率等于 。 14．已知M是

，且AB?AC?23,?BAC?30°，若?ABC内的一点（不含边界）

?MBC,?MCA和?MAB的面积分别为x,y,z.

（1）x?y?z? ； （2）定义

f(x,y,z)?149??，则f(x,y,z)的最小值是 。 xyz15．设代数方程a02?a1x2?a2x4???(?1)nanx2n?0有2n个不同的根?x1,?x2,?,?xn，则

4n2nx2x2a0?a1x?a2x???(?1)anx?a0(1?2)(1?2)?

x1x2

x2；若已知展开式??(1?2)，比较两边x2的系数得a1? （用a0?x1?x2???xn表示）

xn

sinxx2x4x6sinx?0有无穷多个根：?1?????对x?R,x?0成立，则由于xx3!5!7!x2x4x6x2x2??,?2?,?,??n?,?,于是1??????(1?2)(1?22)

3!5!7!?2??

???(1?x2n2?)??，利用上述结论可得1?2111??????? 。 22223n三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知向量a?(sinx,23sinx),b?(2cosx,sinx)，定义f(x)?a?b?3.

（1）求函数

f(x)的单调递减区间；

f(x??)(0????)为偶函数，求?的值。

（2）若函数y? 17．（本小题满分12分）

“上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行，世博会“中国馆·贵宾厅”作

为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄，海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局举办“中国2010年上海世博会”中国馆·贵宾厅艺术品方案征集活动，某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应证，

假设代表中有中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”的概率均为馆·贵宾厅”的概率为

1，陶艺入选“中国41。 3 （1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率； （2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量?，

求?的数学期望。

18．（本小题满分12分）

下图分别为三棱锥S—ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA?SC，M、N分别为AB、

SB的中点。

（1）求证：AC?SB；

（2）求二面角M—NC—B的余弦值。 19．（本小题满分13分）

张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加

值，经过市场调查，旅游增加值

y万元与投入x(x?10)万元之间满足：

y?f(x)?ax2?101xx?bln,a,b为常数。当x?10万元时，y?19.2万元；当5010（参考数据：ln2?0.7,ln3?1.1,ln5?1.6） x?20万元时，y?35.7万元。 （1）求

f(x)的解析式；

（2）求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值。（利润=旅游增加值-投入）

20．（本小题满分13分）

已知数列

{an}满足a1?1，点(an?an?1)在直线y?2x?1上，数列{bn}满足

b1?a1,bn111?????(n?2). ana1a2an?1 （1）求bn?1an?(bn?1)an?1的值；

10b1b2???bn(n?Nh*). 3 （2）求证：(1?b1)(1?b2)???(1?bn)? 21．（本小题满分13分）

x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1、F2，点P是

ab2坐标平面内一点，且|OP|?73。 ,PF1?PF2?（O为坐标原点）

24 （1）求椭圆C的方程； （2）过点S(0,?1)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，3使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和?MAB面积的最大值；若

不存在，说明理由。

参考答案

一、选择题 ADBC BDCB 二、填空题 9．882 10．

55 11．20? 12．2 13．

52 14．（1）1 （2）36

15．a111?20(x2?x2???2)

12xn6三、解答题 16．解：（1）f(x)?2sinxcosx?23sin2x?3

?sin2x?23?1?cos2x2?3 ?sin2x?3cos2x?2sin(2x??3) ????4分 令2k???2?2x??2?2k??3?2

得单调递减区间是[k??5?12,k??11?12],k?Z. （2）f(x??)?2sin(2x?2???3)，

由f(x??)为偶函数，

则

f(x??)在x?0处取最大值或最小值。

?sin(2???3)??1

?2????k???,??k?5?322?12,k?Z.

又0????，得??5?12或??11?12.????12分

注：少写一解扣1分

6分

??

17．解：记“该地美术馆选送的中国画、书法、油画中恰有i件作品入选‘中国馆·贵宾厅’”为

事件Ai(i?0,1,2,3),记“代表作中陶艺入选‘中国馆·贵宾厅’”为事件B。 （1）P1

?P(A1)?P(B)?P(A0)?P(B)

??4分

12711320331?C3()()?(1?)?C3()??

44343641189033P(??0)?C3()?(1?)??

43643227P(??1)?

641311511321P(??2)?C3()()??C32()2()(1?)?

44344364131111313P(??3)?C32()2()??C3()(1?)?

4434319213131P(??4)?C3()??

43192 （2）?的取值为0，1，2，3，4????5分

??的分布列是为

? P

????10分

0 1 2 3 4 9 3227 6415 6411 1921 192?E??271511113??2??3??4???612分 64641921921218．解：（1）由题意知：SA?SC?2

3，

侧面SAC?底面ABC，度面?ABC为正三角形， 取AC的中点O，连结OS，OB。

?SA?SC,AB?AC,?AC?SO,AC?OB ?AC?平面OSB，?AC?SB。????4分

（2）如图所示建立空间直角坐标系O?xyz，则

A(2,0,0),B(0,23,0),C(?2,0,0),S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2)

?AC?(?4,0,0),SB?(0,23,?22) CM?(3,3,0),MN?(?1,0,2)

设n?(x,yz)为平面CMN的一个法向量，

??n?CM?3x?3y?0则? ??n?MN??x?2z?0取z?1得x?所以n?(

2,y??6

2,?6,1)????8分

又由上可得CB?(2,23,0),CN?(2,3,2)

设m?(a,b,c)为平面NBC的法向量

??m?CB?2a?23b?0则? ??m?CN?2a?3b?2c?0得a?

2c?0

取c?1，则m?(?2,6,1)????10分 3

所以cos?n,m??m?n?2?2?133???

|m|?|n|11333?3

所以二面角M—NC—B的余弦值为注：有其他方法相应记分。

33????（12分） 11101?2a?10??10?bln1?19.2??5019．解：（1）由条件?????2分

101?a?202??20?bln2?35.7?50?

解得a??1,b?1????4分 100

x2101x?x?ln(x?10).????6分 则f(x)??1005010x251x?x?ln(x?10) （2）由T(x)?f(x)?x??1005010

则T?(x)??x511(x?1)(x?50)????????10分 5050x50x令T?(x)?0,则x?1（舍）或x?50 当x?(10,50)时，T?(x)?0， 因此T(x)在（10，50）上是增函数； 当x?(50,??)时，T?(x)?0， 因此T(x)在（0，+∞）上是减函数，

?x?50为T(x)的极大值点????12分

即该景点改造升级后旅游利润

T(x）的最大值为T(50)?24.4万元。????13分

20．解：（1）?点(an,an?1)在直线y?2x?1上，

?an?1?2an?1

?an?1?1?2(an?1)，即(an?1)是以2为首项，2为公比的等比数列 ?an?2n?1????2分

又

bn111?????(n?2) ana1a2an?1bn?11111?????? an?1a1a2an?1anbn?1bn1?? an?1anan

?

?

?bn?1an?(bn?1)an?1?0(n?2)????5分

当n?1时，b1?a1?1,b2?a2?3

??3.????6分

则b2a1?(b1?1)a2 （2）由（1）知

bn?1an?(n?2),b2?a2 bn?1an?1

?(1?1)(1?1)???(1?1)?b1?1?b2?1???bn?11b? 1b2bnb1b2bnb1

?b1?1b?b2?1???bn?1?bn?1?b1b?1aan?1??1?2?3? 2b3bnbn?1b1b2a3a4

??an?1a?an?bb111n?1?2?n?1?2(????).???9分 nan?1an?1a1a2an

112k?1?12k?1?k?2时，a?k?kk?11)?(2k?1)(2k?1?1) k2?1(2?1)(2? ?2(12k?1?12k?1?1)

?1a?1???1?1?1???111n?1?2[(2?3)? 1a2an32?12?12?1 ??(12n?1?12n?1?1)]?1?2(1153?2n?1?1)?3??612分

?(1?1b)(1?1)???(1?b10n)?b1b2???bn.????13分 1b23 另证：当n?2时2n?2?1（仅当n?2取等号）

?2n?1?3?2n?2，即

1a?11?1n?2n?2(n?2) n2?13

?当n?2时，

1?1

1a?1???1a?1?1(1?1???112n?1515n?2)?1????n?2?

1a2n32231?13232 而n?1显然成立????12分

?(1?1b)(1?1)???(1?1)?10 1b2bn3

即(1?b101)(1?b2)???(1?bn)?3b1b2???bn.????13分 21．解：（1）设P(x0,y0),F1(?c,0),F2(c,0)(c?0),则由OP?72得x2y270?0?4,

由PF?332231?PF24得(?c?x0,?y0)?(c?x0,?y0)?4,即x0?y0?c2?4. ②

①

由①②得c?1. 又

2分

c2，所以a2?2,b2?1 ?a2

4分

x2?椭圆C的方程：?y2?1.

21x2?y2?1, （2）动直线l:y?kx?代入32

有(2k2416?1)x2?kx??0.

39设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?4k16,xx??. 12223(2k?1)9(2k?1)6分

设存在y轴上定点M（0，m）满足题设，则MA?(x1?y1?m)?MB?(x2,y2?m),

MA?MB?x1x2?(y1?m)(y2?m)?x1x2?y1y2?m(y1?y2)?m2

121?(k2?1)x1x2?k(?m)(x1?x2)?m2?m?339 22218(m?1)k?(9m?6m?15)?.29(2k?1)

由假设对任意k?R,MA?MB?0恒成立， 即 8分

m2?1?09m?6m?15?0,2解得m?1

10分

?存在y轴上定点M（0，1）满足题设。

此时点M到AB距离d?43k2?1,又AB?(k2?1)(x1?x2)2,

?S?MAB设2k212289k2?422?AB?d?(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?. 2339(2k2?1)2t?11且t?[1,??),?(0,1], 2t

?1?t，则k2?

?S?MAB?当且仅当

891112818119216()?()?[?(?)]?. 92t2t924t2913分

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116?1,即t?1,k?0时?MAB面积最大，且最大值为. t9

由①②得c?1. 又

2分

c2，所以a2?2,b2?1 ?a2

4分

x2?椭圆C的方程：?y2?1.

21x2?y2?1, （2）动直线l:y?kx?代入32

有(2k2416?1)x2?kx??0.

39设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?4k16,xx??. 12223(2k?1)9(2k?1)6分

设存在y轴上定点M（0，m）满足题设，则MA?(x1?y1?m)?MB?(x2,y2?m),

MA?MB?x1x2?(y1?m)(y2?m)?x1x2?y1y2?m(y1?y2)?m2

121?(k2?1)x1x2?k(?m)(x1?x2)?m2?m?339 22218(m?1)k?(9m?6m?15)?.29(2k?1)

由假设对任意k?R,MA?MB?0恒成立， 即 8分

m2?1?09m?6m?15?0,2解得m?1

10分

?存在y轴上定点M（0，1）满足题设。

此时点M到AB距离d?43k2?1,又AB?(k2?1)(x1?x2)2,

?S?MAB设2k212289k2?422?AB?d?(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?. 2339(2k2?1)2t?11且t?[1,??),?(0,1], 2t

?1?t，则k2?

?S?MAB?当且仅当

891112818119216()?()?[?(?)]?. 92t2t924t2913分

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116?1,即t?1,k?0时?MAB面积最大，且最大值为. t9

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