2007-2012年广东高考文科数学试题及答案集锦 - 图文

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．

用最小二乘法求线性同归方程系数公式

一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={x|1?x?0}，N={x| A．{x|-1≤x＜0} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜0} D．{x |x≥-1}

2．若复数(1?bi)(2?i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b? A．-2 B．?1?0}，则M∩N= 1?x1 C. D．2 233．若函数f(x)?x(x?R)，则函数y?f(?x)在其定义域上是

A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C．单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数

4．若向量a、b满足|a|=|b|=1，a与b的夹角为60?，则a?a+a?b? A．

133 B． C. 1? D．2 2225．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是

6若l、m、n是互不相同的空间直线，n、口是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A．若?//?,l??,n??，则l//n B．若???,l??，则l?? C. 若l?n,m?n，则l//m D．若l??,l//?，则?//?

7．图l是某县参加2007年高考的 学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为A1、A2、?、Am(如A2 表示身高(单位：cm)在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180cm(含 160cm，不含180cm)的学生人

数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A．i?9 B．i?8 C．i?7 D．i?6

8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是

A．

9．已知简谐运动f(x)?2sin(3111 B． C． D． 1051012?3x??)(???2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期

T和初相?分别为

A．T?6,??

10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在 相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 A．18 B．17 C．16 D．15

?6 B．T?6,???3 C．T?6?,???6 D．T?6?,???3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

11．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．

12．函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是 ．

13．已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，则其通项an? ；若它的第k项满足5?ak?8，则k? ．

14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为?sin??3，则点(2,距离为 ．

15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周 上一点，BC?3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分14分)

已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)． (1)若AB·AC=0，求c的值； (2)若c?5，求sin∠A的值．

17．(本小题满分12分)

已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S 18(本小题满分12分)

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生 产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据

?6)到直线l的

x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y?bx?a； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性 同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3?2.5?4?3?5?4?6?4.5?66.5) 19(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆C与直线y?x相切于

x2y2?1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． 坐标原点O．椭圆2?a9 (1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20．(本小题满分14分)

已知函数f(x)?x2?x?1，?、?是方程f(x)?0的两个根(???)，f?(x)是f(x)的导数 设a1?1，an?1?an?(1)求?、?的值；

(2)已知对任意的正整数n有an??,记bn?ln前n项和Sn． 21．(本小题满分l4分)

2 已知a是实数，函数f(x)?2ax?2x?3?a．如果函数y?f(x)在区间[?1,1]上有

f(an)，(n?1,2,?). ?f(an)an??,(n?1,2,?).求数列{bn}的

an??零点，求a的取值范围．

2007年普通高考广东(文科数学)试卷(A卷)参考答案

一选择题: 1-10 CDBBC DBAAC

二填空题: 11. y2?8x 12. ?,??? 13. 2n-10 ; 8 14. 2 15. 30

?e?三解答题:

?1??????????16.解: (1) AB?(?3,?4) AC?(c?3,?4 )????????25 由 AB 得 c? ?AC??3(c?3)?16?25?c3?3???????? (2) AB?(?3,?4) AC?(2,?4)

????????AB?AC?6?161 cos?A???? ???????5205AB?ACsin?A?1?cos2?A?25 517解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的

四棱锥V-ABCD ;

(1) V?1??8?6??4?64 32(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为

?8? h1?4????42, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,

?2?2?6?AB边上的高为 h2?4????5

?2?22因此 S?2(?6?42?18解: (1) 散点图略 (2)

121?8?5)?40?242 2?XY?66.5 ?Xiii?1i?1442i 6 X?4.5 Y?3.5 ?32?42?52?62?8??66.5?4?4.5?3.5?66.5?63?0.7 ; a??3.5?0.7?4.5?0.35 ??Y?bXb286?4?4.586?81x?0.3 所求的回归方程为 y?0.7 5 (3) x?100, y?100?0.35

预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90?70.35?19.65(吨)

19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)

??m??2?m??n 则 ? 解得?

n?2n?2?22???

所求的圆的方程为 (x?2)2?(y?2)2?8

(2) 由已知可得 2a?10 a?5

x2y2??1 , 右焦点为 F( 4, 0) ; 椭圆的方程为

259 假设存在Q点?2?22cos?,2?22sin?使QF?OF,

????2?222cos??4?2?22sin???2?2?4

22 整理得 sin??3cos??22 代入 sin??cos??1 得: 10cos??122cos??7?0 , cos???122?8?122?22???1

1010 因此不存在符合题意的Q点. 20解:(1) 由 x?x?1?0 得x?2?1?5 2 ????1?5?1?5 ?? 2222an?an?1an?1 (2) f??x??2x?1 an?1?an? ?2an?12an?1

an2?11?53?5?an2?1?5an?an?1??2an?122?2?an?1??an?11?53?5?an2?1?5an?2an?122?????1?5??an???a???22??n????1?5??an?????an???2? ? bn?1?2bn 又 b1?ln2

a1??3?5?ln?a1??3?51?5 4ln2?数列?bn?是一个首项为 4ln1?5,公比为2的等比数列; 24ln? Sn?1?51?2n??1?52?4?2n?1?ln 1?2221解: 若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在上没有零点, 所以 a?0

令 ??4?8a?3?a??8a2?24a?4?0 得 a??3?7 2 当 a??3?7时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上; 2 当 f??1??f?1???a?1??a?5??0 即 1?a?5 时, y?f?x?也恰有一个零点在

??1,1?上;

当 y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则

a?0a?0?????8a2?24???8a2?24a?4?0a?4?0????11?1???1?1???1 ? 或?

2a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a??3?5 2?3?5 2因此a的取值范围是 a?1 或 a?

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）

A、A?B B、B?C C、B?C?A D、A?B?C

2、已知0?a?2，复数z?a?i(i是虚数单位），则|z|的取值范围是（ ）

A、（1，5） B、（1，3） C、（1，5） D、（1，3）

?????3、已知平面向量，b?(?2,m)，且a//b，则2a?3b＝（ ）

A、(?5,?10) B、(?4,?8) C、(?3,?6) D、(?2,?4)

4、记等差数列的前n项和为Sn，若S2?4,S4?20，则该数列的公差d?（ ）

A、2 B、3 C、6 D、7

5、已知函数f(x)?(1?cos2x)sin2x,x?R，则f(x)是（ ）

A、最小正周期为?的奇函数 B、最小正周期为C、最小正周期为?的偶函数 D、最小正周期为

?的奇函数 2?的偶函数 26、经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是（ ）

A、x?y?1?0 B、x?y?1?0 C、x?y?1?0 D、x?y?1?0

7、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是?GHI三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为

8、命题“若函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数，则loga2?0”的逆否命题是（ ）

A、若loga2?0，则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内不是减函数 B、若loga2?0，则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内不是减函数 C、若loga2?0，则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数 D、若loga2?0，则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数 9、设a?R，若函数y?ex?ax，x?R，有大于零的极值点，则（ ）

A、a??1 B、a??1 C、a?? D、a??

10、设a,b?R，若a?|b|?0，则下列不等式中正确的是（ ） A、b?a?0 B、a?b?0 C、a?b?0 D、b?a?0 二、填空题 （一）必做题

11、为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45,55)，

33221e1e[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)，

由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是 。

?2x?y?40?12、若变量x,y满足?x?2y?50，则z?3x?2y的最大值

?x?0?是 。

13、阅读图4的程序框图，若输入m?4,n?3,则输出（注：框图中的赋值符号“＝”也可以写a? ，i? 。成“?”或“:?”

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为?cos??3,??4cos?(??0,0????2)，则曲线C1

C2交点的极坐标为 。

15、（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R＝ 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16、已知函数f(x)?Asin(x??)(a?0,0????),x?R的最大值是1，其图像经过点

?1M(,)。

32（1）求f(x)的解析式； （2）已知?,??(0,

17、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x?10)层，则每平方米的平均建筑费用为560?48x（单位：元），为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝

18、如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，

?312)，且f(?)?,f(?)?,求f(???)的值。 2513购地总费用）

建筑总面积?ABD?60?,?BDC?45?,?ADP~?BAD。

（1）求线段PD的长；

（2）若PC?11R，求三棱锥P-ABC的体积。

19、某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 女生 初一年级 373 初二年级 初三年级 （3）已知

x y y?245,z?245，求初三年级中女生比男生多的概率。

男生 377 370 z

x2y220.设b?0，椭圆方程为2?2?1，抛物线方程为x2?8(y?b),如图6所示，过点F(0,b?2)2bb作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使得?ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。

21、设数列{an}满足a1?1，a2?2，an?1(an?1?2an?2) (n?3,4,?)。数列{bn}满足3b1?1,bn(n?2,3,?)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有?1?bm?bm?1???bm?k?1。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn?nanbn(n?1,2,?)，求数列{cn}的前n项和Sn。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）参考答案

一、选择题：

A卷： B卷：

DBCCD CCBBD

AABAC CAAAD

??二、填空题： 11、13

12、70

3 13、12、14、?23,?

??6?15、3 三、解答题：

16、解：（1）依题意知 A?1，f?∵0???? ∴

??????1?sin?????? ?3??3?24??5??，∴???，即?? 3362?3??3???因此f?x??sin?x???????cosx. 2?（2）?f????cos??312???,f????cos??，且?,???0,? 513?2?45?sin??,sin??

5133124556?f??????cos??????cos?cos??sin?sin??????.

5135136517、解：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得

2160?1000010800y?(560?48x)??560?48x?(x?10,x?N*)

2000xx1080010800?48??0，解得x?15 y?0则y??48?，令，即

x2x2当x?15时，y??0；当0?x?15时，y??0， 因此，当x?15时，y取得最小值，ymin?2000元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

18、解：（1）?BD是圆的直径，∴?BAD?90?， 又△ADP∽△BAD，

∴

ADDP?,BAAD3AD(BDsin60?)4?3R. DP???1BABDsin30?2R?2224R2?（2）在Rt?BCD中，CD?BDcos45??2R.

∵PD?CD?9R?2R11R?PC ∴PD?CD 又?PDA?90?,即PD?DA，而CD?DA?D ∴PD?底面ABCD

22222211AB?BC?sin?ABC?AB?BC?sin(60??45?)22

?31212?3?12?R?2R??2?2?2?2???4R2??故三棱锥P?ABC的体积为 S△ABC?113?123?13VP?ABC??S△ABC?PD??R?3R?R.

334419、解：（1）∵

x?0.19 ∴x?380 2000（2）初三年级人数为y?z?2000?(373?377?380?370)?500. 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：名；

（3）设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生和男生数记为数对(y,z)， 由（2）知y?z?500,(y,z?N,y?245,z?245)，则基本事件总数有：

48?500?122000(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250), (251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共11个，

而事件A包含的基本事件有：

(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共5个，

∴P(A)?

20解：（1）由x?8(y?b)得y?25 1112x?b 8当y?b?2时，x??4，∴G点的坐标为(4,b?2) 则y??1x,4y?|x?4?1

∴过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4,即y?x?b?2

令y?0得x?2?b，∴F1点的坐标为(2?b,0)，而由椭圆方程的F1点的坐标为(b,0)

x2?y2?1和x2?8(y?1) ∴2?b?b，得b?1，因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为2（2）∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，

∴以?PAB为直角的Rt△ABP只有一个； 同理以?PBA为直角的Rt△ABP只有一个；

12x?1)，则A、B的坐标分别为(?2,0),(2,0)， 8????????12145222x?x?1?0，因为关于x2的方程只有一解， 由AP?BP?x?2?(x?1)?0，得

8644∴所以x有两个解，即以?APB为直角的Rt△ABP有二个； 因此，抛物线上共存在4个点使△ABP为直角三角形。

若以?APB为直角，设P点的坐标为(x,

12(an?1?2an?2)得an?an?1??(an?1?an?2)(n?3) 332又a2?a1?1?0，所以数列{an?1?an}是以1为首项，公比为?的等比数列，

321解：（1）由an??2?∴an?1?an?????3?n?1，

而an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)???(an?an?1)

?2??2??2??1?1???????????????3??3??3?2n?2?2?1????3??1??21?3n?183?2??????55?3?n?1；

??1?b1?b2?1??1?b2?b3?1??由??1?b2?1 得b2??1,由??1?b3?1，得b3?1,?， ?b?Z,b?0?b?Z,b?023?2?3同理可得当n为偶数时，bn??1；当n为奇数时，bn?1，因此bn???1,??1,当n为奇数时当n为偶数时

?83?2?n?1??????55?3?（2）cn?nanbn??n?1?83?2?????5?5??3??当n为奇数时，

当n为奇数时，则Sn?c1?c2???cn，

当n为偶数时012n?1888883??2??2??2??2??Sn?(?2??3??4????n)??1????2????3??????n????555555??3??3??3????3??4(n?1)3??2??2??2??2????1????2????3??????n???55??3??3??3???3?当n为偶数时，

012n?1????

012n?1888883??2??2??2??2??Sn?(?2??3??4????n)??1????2????3??????n????555555??3??3??3????3??4n3??2??2??2??2?????1????2????3??????n???55??3??3??3???3?012n?1????

?2??2??2??2?令Tn?1????2????3??????n????3??3??3??3?123012n?1??????????①

n22?2??2??2??2?①?得Tn?1????2????3??????n??????????②

33?3??3??3??3?①?②，得

n?2?1?123n?1nnn??13??2??2??2??2??2??2??2??Tn?1???????????????n????n???3?(3?n)??

23?3??3??3??3??3??3??3?1?3?4n?239(n?3)?2?n??n??55?3???2?∴Tn?9?(9?3n)??，因此Sn??n?3?4n?279(n?3)2????????55?3??当n为奇数时

当n为偶数时

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 参考公式：

锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛xx2?1?0｝关系的韦恩（Venn）图是

13

2．下列n的取值中，使in =1(I是虚数单位)的是

A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5 3．已知平面向量a =(x，1)，b =(—x，x2 )，则向量a+b

A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 4．若函数y＝f(x)是函数y＝a A．log2x B．

x?a＞0，且a?1?的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝

1x?2 C． log1x D．2 x2225．已知等比数列?an?的公比为正数，且a3?a9?2a5，a2＝1，则a1＝

A．

12 B． C． 222 D．2

6．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。 其中，为真命题的是

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④

7．已知?ABC中，?A，?B，?C的对边分别为a，b，c。若a＝c＝6＋2，且 ?A＝75，则b＝

A．2 B．4＋23 C． 4－23 D．6－2

?8．函数f(x)?(x?3)ex的单调递增区间是

A．???,2? B．（0，3） C．（1，4） D．?2,??? 9．函数y?2cos2?x???????1是 4? A．最小正周期为?的奇函数 B．最小正周期为?的偶函数 C．最小正周期为

??的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2210．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是

A．20.6 B．21 C．22 D．23

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 (一)必做题(11~13题)

11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：

图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s= 。

(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“?”或“：=”)

12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号，?，196~200号)。若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。

13．以点（2，－1）为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是_______________________。 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）

x?1?2t,{14．（坐标系与参数方程选做题）若直线y?2?3t.（t为参数）与直线

k=________。

w.w.w..s.5.u.c.o.m 4x?ky?1垂直，则常数

o15．(几何证明选讲选做题)如图3，点A，B，C是圆O上的点，且AB?4，?ACB?30，则圆O的面积等于__________________。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分12分）

已知向量a＝?sin?,－2?与b＝?1，cos??互相垂直，其中?＝?0，?.

????2?（1） 求sin?和cos?的值；

（2） 若5cos（θ-φ）=35 cosφ ,0<φ< ,求cosφ的值。 17．（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥P?EFGH，下半部分是长方体ABCD?EFGH。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线BD?平面PEG.

w.w.w..s.5.u.c.o.m π

2

18．（本小题满分13分）

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差；

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。

w.w.w.ks.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

19．（本小题满分14分）

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3，两个焦点分别为F1和F2，椭2圆G上一点到F1和F2的距离之和为12。圆Ck：x2?y2?2ky?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak。 （1）求椭圆G的方程； （2）求?AkF1F2面积； （3）问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由。20．（本小题满分14分）

已知点(1,)是函数f(x)?ax(a?0,且a?1)的图像上一点。等比数列?an?的前n项和为

w.w.w..s.5.u.c.o.m

13f(n)?c。数列?bn?(bn?0)的首项为c，且前n项和sn满足sn?sn?1?sn?sn?1(n≥2)

（1）求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）若数列?w.w.w.s.5.u.c.o.m

?1?1000的前项和为，问满足＞的最小正整数n是多少？ TTn?nn2009?bnbn?1?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21．（本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导

小值m?1(m?0)。设函数f(x)?y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极

g(x)。xw.w.w.s.5.u.c.o.m

（1）若曲线y?f(x)上的点p到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点。

2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

文科数学参考答案

一、选择题

1-10

BCCAB DADAB

21、【解析】由N= { x |x+x=0}{?1,0}得N?M,选B.

2、【解析】因为i?1,故选C.

3、【解析】a?b?(0,1?x2),由1?x?0及向量的性质可知,C正确.

x4、【解析】函数y?a的反函数是f(x)?logax,又f(2)?1,即loga2?1, （a>0，且a?1）24所以,a?2,故f(x)?log2x,选A.

5、【解析】设公比为q,由已知得a1q?a1q?2a1q所以q?28?42?,即q2?2,因为等比数列{an}的公比为正数，

2,故a1?a212,选B ??q226、【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D

7、【解析】sinA?sin75?sin(30?45)?sin30cos45?sin45cos30?由a=c=6?2可知,?C?75,所以?B?30,sinB?0000000002?6 41 2由正弦定理得b?a?sinB?sinA2?61??2,故选A

2?624?8、【解析】f?(x)?(x?3)?ex?(x?3)ex?(x?2)ex,令f?(x)?0,解得x?2,故选D

??9、【解析】因为y?2cos(x?2?2??????,所以选A. )?1?cos?2x???sin2x为奇函数,T?242??10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:

①A?B?C?D?E,②A?B?D?C?E,③A?C?B?D?E,④

A?C?D?B?E,⑤A?D?B?C?E,⑥A?D?C?B?E,

其中, 路线③A?C?B?D?E的距离最短, 最短路线距离等于4?9?6?2?21, 故选B. 二、填空题

11、【答案】i?6,a1?a2???a6

【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填i?6，输出的s=a1?a2???a6. 12、【答案】37, 20

【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.

40岁以下年龄段的职工数为200?0.5?100,则应抽取的人数为13、【解析】将直线x?y?6化为x?y?6?0,圆的半径r?40?100?20人. 200|2?1?6|5,所以圆的方程为?1?12(x?2)2?(y?1)2?14、【答案】?6 【解析】将?252w.w.w..s.5.u.c.o.m

?x?1?2t373化为普通方程为y??x?,斜率k1??,

222?y?2?3t4?3??4?,由k1k2??????????1得k??6; k?2??k?当k?0时,直线4x?ky?1的斜率k2??当k?0时,直线y??综上可知,k??6. 15、【答案】16?

37x?与直线4x?1不垂直. 22【解析】连结AO,OB,因为 ?ACB?30,所以?AOB?60,?AOB为等边三角形,故圆O的半径

oor?OA?AB?4,圆O的面积S??r2?16?.

三、解答题

b?sin??2cos??0,即sin??2cos? 16、【解析】（１）Qa?b,?ag222又∵sin??cos??1, ∴4cos??cos??1,即cos?2vvvv142,∴sin?? 55又

?255??(0,)?sin??,cos??

255(2) ∵5cos(???)?5(cos?cos??sin?sin?)?5cos??25sin??35cos?

222 ?cos??sin? ,?cos??sin??1?cos? ,即cos??21 2 又 0????2 , ∴cos??22w.w.w..s.5.u.c.o.m

17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

（２）该安全标识墩的体积为：V?VP?EFGH?VABCD?EFGH ?1?402?60?402?20?32000?32000?64000 ?cm2? 3 （３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO?平面EFGH , ?PO?HF 又EG?HF ?HF?平面PEG 又BDPHF ?BD?平面PEG；

w.w.w..s.5.u.c.o.m

18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160:179之间，而乙班身高集中于170:180 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

158?162?163?168?168?170?171?179?179?182?170

10122222 甲班的样本方差为[(158?170)??162?170???163?170???168?170???168?170?

10 (2) x? ??170?17?0??217?1?17??021?7?9270?1???179157 82??170??＝

22170] （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件； ?P?A??42? ； 105x2y219、【解析】（1）设椭圆G的方程为：2?2?1 （a?b?0）半焦距为c;

ab?2a?12??a?6?222?b?a?c?36?27?9 则?c , 解得 , ?3??c?33??2?ax2y2??1. 所求椭圆G的方程为：

369(2 )点AK的坐标为??K,2? SVAKF1F2?

w.w.w..s.5.u.c.o.m 11?F1F2?2??63?2?63 2222（3）若k?0，由6?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（6，0）在圆Ck外，

若k?0，由(?6)2?02?12k?0?21?5?12kf0可知点（-6，0）在圆Ck外； ?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.

1?1?20、【解析】（1）Qf?1??a?,?f?x????3?3? a1?f?1??c?xw.w.w.s.5.u.c.o.m

12f2?c?f1?c????c ,a2????, ????????392f3?c?f2?c????? a3?? . ????????2742a21又数列?an?成等比数列，a1?2?81????c ，所以 c?1；

a3?23327a12?1?又公比q?2?，所以an????a133?3?QSn?Sn?1?n?1?1???2?? n?N* ；

?3?n?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2?

?又bn?0,Sn?0, ?Sn?Sn?1?1； 数列

?S?构成一个首相为1公差为1的等差数列，n2Sn?1??n?1??1?n ， Sn?n2

2当n?2， bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ；

?bn?2n?1(n?N*)；

（2）Tn?11111111????K????L?

b1b2b2b3b3b4bnbn?11?33?55?7(2n?1)??2n?1?1???3?11?1?1?11?1?1????K???????2n?2n1??3?5?25?7?21?n?11? ；?1?????2122n?12n?1??? ?w.w.w..s.5.u.c.o.m 1??1?2?

由Tn?n100010001000?得n?，满足Tn?的最小正整数为112. 2n?120099200921、【解析】（1）设g?x??ax2?bx?c，则g??x??2ax?b； 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 又g?x?在x??1取极小值， ? ?g??1??a?b?c1?2? f?x??b??1 ， b?2 2 c?m； ?c?m，1?g?x?m?x??2， 设P?xo,yo? xx22 则PQ?x0??y0?2?2?m?m222?x0??x0???2x0?2?2?22m2?2

x0?x0?2 ?22 m??m2?2?4 （2）由y?f?x??kx??1?k?x?22；2w.w.w..s.5.u.c.o.m

m?2?0， x 得 ?1?k?x?2x?m?0 ?*?

mm，函数y?f?x??kx有一零点x??； 221 当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1?，

m 当k?1时，方程?*?有一解x?? 函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m?1?k?2?1?k??1?1?m?1?k?k?1；若m?0，

k?1?1?2?4?4m?1?k?1?1?m?1?k?，函数y?f?x??kx有两个零点x?； ?m2?1?k?k?1 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0, k?1?一零点x?1, 函数y?f?x??kx有m1k?1w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V=

1sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合A?B=

A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝ 2．函数，f(x)=lg(x-1)的定义域是

A．(2，+∞) B．(1,+∞) C．[1，+∞) D．[2，+∞) 3．若函数f(x)=3+3与g(x)=3?3的定义域均为R，则 A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数

4．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2*a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为则s5=

A．35 B．33 C．31 D．29

x?xx?x5，4??????c=30，则x= 5．若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条件(8a—b)·

A．6 B．5 C．4 D．3

6．若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是 A．(x?5)2?y2?5 B．(x?5)2?y2?5 C．(x?5)?y?5 D．(x?5)?y?5

2222

7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A．

4321 B． C． D． 55558．“x>0”是“3x2>0”成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件

'''9．如图1，VABC为正三角形，AA//BB//CC，CC?平面ABC且3AA?''3BB'?CC'?AB，2则多面体ABC?ABC的正视图(也称主视图)是

'''

10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算?和?如下：

那么d? (a?c)?

A．a B．b C．c D．d

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题(11～13题)

11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法， 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4 (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若x1，x2，x3x4，分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为 .

12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有

[来源学。科。网]线性相关关系.

13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sinA= .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=EF= .

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0??＜2?）中，曲线??cos??sin???1与

a，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则2??sin??cos???1的交点的极坐标为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分l4分） 设函数f?x??3sin??x?（1）求f?0?； （2）求f?x?的解析式； （3）已知f?????6??，?＞0，x????,???，且以

?为最小正周期． 2????9???，求sin?的值． ?412?517．（本小题满分12分）

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

[来源学科网]

（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?

（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名? （3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．

18.(本小题满分14分)

如图4，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC?平面BED，FB=5a. （1）证明：EB?FD； （2）求点B到平面FED的距离.

19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20.（本小题满分14分）

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间?0,2?上有表达式f(x)?x(x?2). （1）求f(?1)，f(2.5)的值；

（2）写出f(x)在??3,3?上的表达式，并讨论函数f(x)在??3,3?上的单调性； （3）求出f(x)在??3,3?上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

21.（本小题满分14分）

已知曲线Cn：y?nx2，点P,2…). n(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点(n?1（1）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；

（2）若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求试点Pn的坐标(xn,yn)； （3）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（2）中条件的点Pn的坐标， 证明：

?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）答案

一、1-10：ABDCC,DBADA;

31a?；12.13,正；13.；14.；15.(1,) 2222?3三、16．（1）f(0)?3sin?；

622????，???4，f(x)?3sin(4x?)； （2）T??26二、11.（3）f(?4??12)?3sin[4(?4??12)??6]?3sin(???2)?3cos??9， 534?cos??,sin???1?cos2???。

555?3； 17．（1）有关； （2）27?（3）设5名观众中，20至40岁的2名观众为a2，45大于40岁的3名观众为b1,b2,b3，则任取2名有（a1,a2），（a1, b1），（a1, b2），（a1, b3），（a2, b1），（a2, b2），（a2, b3），（b1,b2），（b1,b3），（b2,b3）共10个基本事件，“恰有1名观众的年龄在20至40岁”包含6个基本事件，其概率为

63?。 10518．（1）?FC?平面BED，?FC?BE，又易知BC?BE，

?BE?平面FBC，又?FD?平面FBC，?EB?FD.

(2)设点B到平面FED的距离为h，由VF?BED?V?B，FED则

11S?BED?FC?S?FED?h，33S?BED?11BE?BD??a?2a?a2，FC?FB2?BC2?2a， 22FD?FC2?CD2?5a，ED?EB2?BD2?5a，

易知EB?FB，FE?FB2?BE2?6a，得等腰三角形DEF的面积

S?FED?1FE17212FE?FD2?()2??6a?a?a， 22222S?BED?FC2a2?2a421。 ?h???2S?FED2121?a19．设预订x个单位午餐，y个单位晚餐，满足

?12x?8y?64??6x?6y?42①，且x,y为正整数， ?6x?10y?54?该儿童一天的费用z?2.5x?4y，作x?0,y?0时①式的可行域，可知当直线z?2.5x?4y即

1zzy???2.5x?经过点A(4,3)，即直线6x?6y?42与6x?10y?54的交点时，截距最少，

444即费用z最少，（为2.5?4?4?3?22）所以应当为该儿童预订4个单位午餐，3个单位晚餐。

20．（1）f(?1)?kf(?1?2)?kf(1)?k(?1)??k，

f(2.5)?1133f(0.5)??(?)??； kk44k（2）当x?[2,3]时，x?2?[0,1]，f(x)?11f(x?2)?(x?2)(x?4)， kk当x?[?2,0]时，x?2?[0,2]，f(x)?kf(x?2)?k(x?2)x，

当x?[?3,?2]时，x?4?[1,2]，f(x)?kf(x?2)?k2f(x?4)?k2(x?4)(x?2)，

?k2(x?4)(x?2),x?[?3,?2)?k(x?2)x,x?[?2,0)???f(x)??x(x?2),x?[0,2]，

??1(x?2)(x?4),x?(2,3]??k由k<0知二次函数f(x)在[?3,?2]上递增，在[?2,?1]上递增，在[?1,0]上递减，在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，在[2,3]上递增，又函数在点(?2,f(?2)),(0,f(0)),(2,f(2))处是连续的，所以f(x)在[?3,?1]上单调递增，在[?1,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增； （3）由（2）知，对x?[?3,3]，f(x)的最大值在f(?1)??k和f(3)??在f(?3)??k和f(1)??1中取，

2①若k<-1，则?k??1，?k?1??1中取，f(x)的最小值k21?0， k?f(x)min??k2?f(?3),f(x)max??k?f(?1)；

2②若-1

21．（1）y'?2nx，ln的切线斜率kn?2nxn，ln的方程为y?yn?2nxn(x?xn)， 当x=0时，y??nxn2??yn，?Q(0,?yn)； （2）原点O到ln的距离d?|?nxn2|4nxn?122?yn4nyn?1，

|PnQn|?xn2?4yn2?yn?4yn2， n

ynd??|PnQn|4nyn?11yn?4yn2n?8yn2?ynyn?16nyn3n

?8?11?16nynnyn?18?216?1， 4此时

1111112,x?P(,)； ，xn?，?16nyn,yn?nn2n2n4n4n2nyn4n（3）

?|n?1s(m?1)xn?(k?1)yn|?|ms?ks| 2??|n?1s|m?1?k?1|s1??|ms?ks|?2nn?1?|m?1?k?1|?n?1sm?1k?1?|?|ms?ks|4n4n 12n?|ms?ks|??n?1s12n?|m?k|s|m?1?k?1|

而|m?k|s|m?1?k?1|?|m?k|(m?1?k?1)s|m?1?k?1|(m?1?k?1)?11|m?k|(m?k)s??n?n?1， ?s，∵|m?k|2nn?n?1∴ ?2n?1s1n?(1?0)?(2?1)?(3?2)???(s?s?1)?s，得证。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写

在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多

涂。答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体体积公式V=

1Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。 3^

线性回归方程y?bx?a中系数计算公式b?^^^?(x1?x)(y1?y)i?1n?(x1?x)i?1n,a?y?b

^^2 样本数据x1,x2,……，xa的标准差，其中x,y表示样本均值。

21?(x1?x)2?(x2?x)?(xn?x) n

N是正整数，则an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?……abn?2?bn?1)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则 A．-i B．i C．-1 D．1 2．已知集合A=(x,y)x,y为实数，且x2?y2?1，B=(x,y)x,y为实数，且x?y?1则A?B的

元素个数为

A．4

B．3 C．2 D．1

3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若?为实数，（(a??b)∥c），则?=

A．

1 4B．

1 2C．1 D．2

4．函数f(x)?

1?lg(1?x)的定义域是 1?x

B．（1，+?）

A．(??,?1)

C．（-1，1）∪（1，+∞） 5．不等式2x2-x-1>0的解集是

A．(?D．（-?，+?） B．（1， +?） D．(??,?)?(1,??)

1,1) 2

C．（-?，1）∪（2，+?）

12?0?x?2?6．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式?x?2 给定，若M（x，y）为D上的动

??x?2y点，点A的坐标为(2,1)，则z=OM·OA的最大值为

A．3

B．4

C．32

D．42 7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A．20 B．15 C．12 D．10 8．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，

则该几何体体积为

A．43

B．4

C．23

D．2

10．设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(f?g)(x)和(f?x)(x)；

对任意x ∈R，（f·g）（x）=f(g(x))；（f·g）（x）=f(x)g(x)．则下列恒等式成立的是

A．((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x) B．((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x) C．((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x) D．((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x)

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 11．已知{an}是同等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q= 12．设函数f(x)?x3cosx?1,若f(a)?11,则f（-a）=

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5

号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系： 时间x 命中率

1 0．4 2 0．5 3 0．6 4 0．6 5 0．4 小李这5天的平均投篮命中率为 ;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为 ．

（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）

52????5cos??x?t14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为?（0??

15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E,F分别为AD，

BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分为12分）

已知函数f(x)?2sin(x?（1）求f(0)的值；

13?6)，??R。

（2）设?,??0,6?10??????，f（3）=,f（3+2）=．求sin（? ?）的值 ??5213?2?17．（本小题满分13分）

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得

成绩，且前5位同学的成绩如下： 1 2 3 4 5 编号n 成绩xn 70 76 72 70 72 （1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s; （2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。 18．（本小题满分13分） 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切

?,D'E'的中点，O,O',OO'分?,C'D',DE面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为CD112,2别为CD,C'D',DE,D'E'的中点． （1）证明：O1',A',O2,B四点共面；

''''''''''（2）设G为A A′中点，延长\\AO1到H′，使得O1H?AO1．证明：BO2?平面HBG

??

19．（本小题满分14分） 设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的单调性。 20．（本小题满分14分）

设b>0，数列?an}满足a1=b,an?（1）求数列?an

nban?1(n≥2)

an?1?n?1?的通项公式；

n?1

（2）证明：对于一切正整数n，2an?b 21．（本小题满分14分）

+1

在平面直角坐标系xOy中，直线l:x??2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求HO+HT的最小值，并给出此时点H的坐标； （3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的

斜率k的取值范围。

参考答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。 A卷：1—5DBCBA 6—10CADCB

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共5小题，每小题5分，满分20分，

其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。 11．2 12．-9 13．0.5，0.53 14．?1,?25? 15．7：5 ???5??三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

解：（1）f(0)?2sin?????? 6??

??2sin?6??1；

（2）?10???1???????f?3????2sin???3??????2sin?, 132?2?6???3?

6?????1??f(3??2?)?2sin??(3??2?)???2sin?????2cos?, 56?2??3??sin??53,cos??, 13522

12?5??cos??1?sin??1????,

13?13?4?3?sin??1?cos2??1????,

5?5?故sin(???)?sin?cos??cos?sin??2

5312463????. 1351356517．（本小题满分13分）

16解：（1）?x??xn?75

6n?1?x6?6x??xn?6?75?70?76?72?70?72?90,

n?15

161s??(xn?x)2?(52?12?32?52?32?152)?49，

6n?162?s?7.

（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，

故所求概率为.

2518．（本小题满分13分）

?,C??D?中点， 证明：（1）?A,A?分别为CD?O1?A?//O1A

连接BO2

?直线BO2是由直线AO1平移得到

?AO1//BO2

?O1?A?//BO2 ?O1?,A?,O2,B共面。

（2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，

连接HO1?,HB,H?H

// ?由平移性质得O1?O2?=HB

?BO2?//HO1?

??A?G?H?O1?,H?H?A?H?,?O1?H?H??GA?H??

2??GA?H???O1?H?H

???H?O1?H?GH?A?

2?O1?H?H?G ?BO2??H?G

?O1?O2??B?O2?,O1?O2??O2?O2,B?O2??O2?O2?O2? ?O1?O2??平面B?BO2O2?

?O1?O2??BO2? ?BO2??H?B? ?H?B??H?G?H?

?BO2??平面H?B?G.

19．（本小题满分14分）

解：函数f(x)的定义域为(0,??).

2

f?(x)?2a(1?a)x?2(1?a)x?1x,

当a?1时,方程2a(1-a)x2?2(1?a)x?1?0的判别式

??12(a?1)??1??a?3??.

①当0?a?13时,??0,f?(x)有两个零点， x1(a?1)(3a?1)1(a?1)(3a?1)1?2a?2a(1?a)?0,x2?2a?2a(1?a) 且当0?x?x1或x?x2时,f?(x)?0,f(x)在(0,x1)与(x2,??)内为增函数； 当x1?x?x2时,f?(x)?0,f(x)在(x1,x2)内为减函数；

②当

13?a?1时,??0,f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)内为增函数；

③当a?1时,f?(x)?1x?0(x?0),f(x)在(0,??)内为增函数；

④当a?1时,??0,x1(a?1)(3a?1)1?2a?2a(1?a)?0, x1(a?1)(3a2?2a??1)2a(1?a)?0,所以f?(x)在定义域内有唯一零点x1，

且当

0?x?x1时,f?(x)?0,f(x)在(0,x1)内为增函数；当f?(x?)0f,在x1(?)内为减函数。x?(, )f(x)的单调区间如下表：

0?a?11

3 ?a?1a?13 (0,x1)

(x1,x2)

(x2,??)

(0,??)

(0,x1)

（其中x1(a?1)(3a?1)1(a?1)(3a?1)1?2a?2a(1?a),x2?2a?2a(1?a)）

20．（本小题满分14分）

解：（1）由anban?11?b?0,知an?a?0

n?1?n?1

na?1?1n?1ba nbn?1x?x1时(x1,??)

，

令An?n1,A1?, anb

当n?2时,An?11?An?1 bb111????n?1?n?1A1 bbb111????n?1?n. bbb

1?1?1???bn?1b?bn??n①当b?1时,An? 1b(b?1)1?b②当b?1时，An?n.

?nbn(b?1),b?1? ?an??bn?1?1,b?1?2nbn(b?1)?bn?1?1, （2）当b?1时,(欲证2an?nb?1

只需2nb?(bnn?1bn?1?1))

b?1

?(bn?1bn?1?1)?b2n?b2n?1???bn?1?bn?1?bn?2???1

b?1

111???bn?bn?n?bn?1?n?1???b??

b?bb?

?bn(2?2???2) ?2nbn,

2nbn(b?1)?2an??1?bn?1. nb?1综上所述2an?bn?1?1.

21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

??MPQ??AOP,?MP?l,且|MO|?|MP|.

22因此x?y?|x?2|,即

y2?4(x?1)(x??1).

①

另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

?MQ为线段OP的垂直平分线，

??MPQ??MOQ.

又??MPQ??AOP,??MOQ??AOP. 因此M在x轴上，此时，记M的坐标为(x,0).

为分析M(x,0)中x的变化范围，设P(?2,a)为l上任意点(a?R). 由|MO|?|MP|

（即|x|?

(x?2)2?a2）得，

1x??1?a2??1.

4故M(x,0)的轨迹方程为

y?0,x??1

②

综合①和②得，点M轨迹E的方程为

?4(x?1),x??1, y??0,x??1.?2（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：

E1:y2?4(x?1)(x??1)； E2:y?0,x??1.

当H?E1时，过Ｔ作垂直于l的直线，垂足为T?，交E1于D??再过H作垂直于l的直线，交l于H?. 因此，|HO|?|HH?|（抛物线的性质）。

?3?,?1?。 ?4?

?|HO|?|HT|?|HH?|?|HT|?|TT?|?3（该等号仅当H?与T?重合（或H与D重合）时取

得）。

当H?E2时，则|HO|?|HT|?|BO|?|BT|?1?5?3. 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为??

?3?,?1?. ?4? （3）由图3知，直线l1的斜率k不可能为零。

设l1:y?1?k(x?1)(k?0). 故x?

14?4?(y?1)?1,代入E1的方程得：y2?y???8??0. kk?k?2

16?4??4?因判别式??2?4??8????2??28?0.

k?k??k?所以l1与E中的E1有且仅有两个不同的交点。 又由E2和l1的方程可知，若l1与E2有交点，

则此交点的坐标为?k?11?k?1?,0?,且??1.即当??k?0时,l1与E2有唯一交点

k2?k??k?1?,0?，从而l1表三个不同的交点。 ?k??

因此，直线l1斜率k的取值范围是(??,?]?(0,??).

122012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

1. 设i为虚数单位，则复数

3?4i? iA. ?4?3i B. ?4?3i C. 4?3i D. 4?3i

y 2. 设集合U?{1,2,3,4,5,6}，M?{1,3,5}，则eUM?

A. {2,4,6} B. {1,3,5} C. {1,2,4} D. U

x?y?1 xO A x?1?0 ????????????3. 若向量AB?(1,2)，BC?(3,4)，则AC?

A. (4,6) B. (?4,?6) C. (?2,?2) D. (2,2) 4. 下列函数为偶函数的是

A. y?sinx B. y?x3 C. y?ex D. y?lnx2?1 ?x?y?1?5. 已知变量x，y满足约束条件?x?y?1，则z?x?2y的最小值为

?x?1?0 ?A. 3 B. 1 C. ?5 D. ?6

??6. 在△ABC中，若?A?60，?B?45，BC?32，则AC?

6 3 5 5 5 6 5A. 43 B. 23 C.

3 3 D. 2正视图 侧视图

.7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72? B. 48? C. 30? D. 24?

.8. 在平面直角坐标系xOy中，直线3x?4y?5?0与圆x?y?4相交于A、B两点，则弦AB的长等于

A. 33 B. 23 C.

22俯视图

图1

3 D . 1

10. 对任意两个非零的平面向量?和?，定义???????b满足a与. 若两个非零的平面向量a，

???开始 输入n ????b的夹角???,?，

?42??n?n?Z　且a?b和b?a都在集合?　?中，则a?b? 2??i?1,s?1 i?n 是 否 输出s s?s?i i?i?2 结束 A.

531 B. C. 1 D. 2229. 执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为

A. 105 B. 16 C. 15 D. 1 11. 函数y?x?1的定义域为 x12，则a1a3a5? . 212. 若等比数列?an?满足a2a4?13. 由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .

14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为

?2x?1?t????x?5cos??2（为参数）

（?为参数，0???）和?，则曲线C1和C2的交点坐标t?2??y??2t?y?5sin?A ??2为 .

15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O相切于点B，

P D

D是弦AC上的点，?PBA??DBA. 若AD?m，AC?n，则

? O

B 图3

AB? .

C

?x??16.已知函数f(x)?Acos???，x?R，且

?46?（1）求A的值；（2）设?????0,的值. 17.

???f???2 ?3?2?8?4?????，求cos(???)?3?5?4?30????，，ff4????????3?17??2?频率组距 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中 成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]. （1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数 段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段 0.04 0.030.02 a 0 50 60 70 80 90 100图4

[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 1:1 2:1 x　:y 3:4 4:5

18.如图5所示，在四棱锥P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD，PD?AD，E是PB的

P 1中点，F是CD上的点且DF?AB，PH为△PAD中AD边上的高.

2（1）证明：PH?平面ABCD；（3）证明：EF?平面PAB （2）若PH?1，AD?2，FC?1，求三棱锥E?BCF的体积； 19. 设数列?an?前n项和为Sn，数列?Sn?的前n项和为Tn，满足 （2）求数列?an?的通项公式. Tn?2Sn?n，n?N.（1）求a1的值；

2*E D F

H

A B

图5

x2y220.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1（a?b?0）的左焦点为F1(?1,0)，且

ab点P(0,1)在C1上.

（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y?4x相切，求直线l的方程.

21.（本小题满分14分）

设0?a?1，集合A?{x?R|x?0}，B?{x?R|2x2?3(1?a)x?6a?0}，D?A?B. （1）求集合D（用区间表示）

（2）求函数f(x)?2x3?3(1?a)x2?6ax在D内的极值点.

2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）参考答案

3?4i(3?4i)?(?i)??4?3iii?(?i)1. D. .

2. A.

eUM?{2,4,6}.

????????????3. A. AC?AB?BC?(4,6).

4. D. 选项A 、B为奇函数，选项C为非奇非偶函数.

5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，z?x?2y

11y??x?z22，则当该直线过点A(?1,?2)时， 可化为直线

z取得最小值，zmin??1?2?(?2)??5.

BC?sinB?sinA32?3222?23.

BCAC?6. B. 根据正弦定理，sinAsinB，则

AC?7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积

114V?V圆锥?V半球体???32?4????33?30?323.

8. B. 圆心(0,0)到直线3x?4y?5?0的距离

d?0?0?532?42?1AB2)?r2?d2?3，则2，即

(AB?23. 9. C. s?1?3?5?15

a?b?a?b?b?b10. D.

a?bcos?b2acos??bb?a?，同理有

bcos?a

?n2acos?2bcos??n?Z　?　?ba?中，即a?b和b?a都在集合?2和是整数，

??取

?aba3，则b和a是整数，则b?ba?11，则a?b?2.

?x?1?0?x??1且x?0?y??1,0???0,????x?0?11. . ，即函数

x?1x的定义域为

??1,0???0,???.

111224a2a4?a?aaa?a?31353424 12. . ，则

*x?x2?x3?x4?8， x?x?x?xx,x,x,x?N1,1,3,31234123413. . 不妨设，，依题意得1s?1[(x1?2)2?(x2?2)2?(x3?2)2?(x4?2)2]?14，

2222(x?2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)?4，所以x4?3 1234即

则只能

x1?x2?1，x3?x4?3，则这组数据为1,1,3,3

22CC(2,1)x?y?5（0?x?5）114. . 曲线的方程为，曲线2的方程为y?x?1

?x2?y2?5??CCy?x?1x?2或x??1（舍去） ?，则曲线1和2的交点坐标为(2,1).

15.

mn. 由弦切角定理得?PBA??C??DBA，则△ABD∽△ACB，

ABAD?ACAB，则AB2?AC?AD?mn，即AB?mn.

?2???????f???Acos????Acos?A?242?126?16. 解：（1）?3?，解得A?2

4??????30???15f?4?????2cos??????2cos??????2sin???sin??3?36?2?17，即??17 （2）?2????8??4f?4?????2cos??????2cos??cos??3?66?5，即??5

????????0,??2?cos??1?sin2??，所以

因为

83sin??1?cos2??17，5

cos(???)?cos?cos??sin?sin?? 所以

8415313?????17517585

17. 解：（1）依题意得，10(2a?0.02?0.03?0.04)?1，解得a?0.005

（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55?0.05?65?0.4?75?0.3?85?0.2?95?0.05?73（分）

（3）数学成绩在[50,60)的人数为：100?0.05?5

数学成绩在[60,70)的人数为：

100?0.4?1?202 4?403 5?254

数学成绩在[70,80)的人数为：

100?0.3?数学成绩在[80,90)的人数为：

100?0.2? 所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100?5?20?40?25?10 18. 解：（1）证明：因为AB?平面PAD，所以PH?AB 因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH?AD 因为AB?AD?A，所以PH?平面ABCD （2）连结BH，取BH中点G，连结EG 因为E是PB的中点，所以EG//PH

因为PH?平面ABCD，所以EG?平面ABCD

P M E D F C

H 111112EG?PH?VE?BCF?S?BCF?EG???FC?ADA?EG?G B 22，33212 则

（3）证明：取PA中点M，连结MD，ME

因为E是PB的中点，所以

ME?//1AB2

因为

DF?//1ABME?//DF2，所以

所以四边形MEDF是平行四边形，所以EF//MD 因为PD?AD，所以MD?PA 因为AB?平面PAD，所以MD?AB

因为PA?AB?A，所以MD?平面PAB，所以EF?平面PAB 19. 解：（1）当n?1时，因为

T1?2S1?1

T1?S1?a1，所以a1?2a1?1，求得a1?1

22S?T?T?2S?n?[2S?(n?1)]?2Sn?2Sn?1?2n?1 n?2nnn?1nn?1（2）当时，

所以 所以

Sn?2Sn?1?2n?1 ① Sn?1?2Sn?2n?1 ②

an?1?2an?2

②?①得

an?1?2?2a?2?2(an?2)，即an?2(n?2) 所以n?1a2?2?2a?2?3a?2?6a?2 求得1，2，则1

所以

?an?2?是以3为首项，2为公比的等比数列

n?1a?2?3?2n 所以

n?1*a?3?2?2n?Nn 所以，

20. 解：（1）因为椭圆

C1的左焦点为F1(?1,0)，所以c?1，

1x2y2?1??1222P(0,1)bb点代入椭圆a，得，即b?1，

所以a?b?c?2

222x2?y2?1C所以椭圆1的方程为2.

（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y?kx?m，

?x2??y2?1?2222?y?kx?my(1?2k)x?4kmx?2m?2?0 ?，消去并整理得

2222C??16km?4(1?2k)(2m?2)?0 l1因为直线与椭圆相切，所以

整理得2k?m?1?0 ①

22?y2?4x?222?y?kx?m，消去y并整理得kx?(2km?4)x?m?0

222C??(2km?4)?4km?0 l2因为直线与抛物线相切，所以

整理得km?1 ②

综合①②，解得

?2?k?2??m?2?或?2?k??2??m??2?

所以直线l的方程为

y?22x?2y??x?222或 2g(x)?2x?3(1?a)x?6a 21. 解：（1）令

??9(1?a)2?48a?9a2?30a?9?3(3a?1)(a?3)

0?a?① 当

13时，??0，

3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9x1?x2?g(x)?044方程的两个根分别为， 3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9(??,)?(,??)g(x)?044所以的解集为

3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9(0,)?(,??)x,x?0D?A?B?1244因为，所以

1?a?1② 当3时，??0，则g(x)?0恒成立，所以D?A?B?(0,??)

13a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?90?a?(0,)?(,??)344D?综上所述，当时，； 1?a?13当时，D?(0,??)

2?f(x)?6x?6(1?a)x?6a?6(x?a)(x?1)， （2）

? 令f(x)?0，得x?a或x?1

0?a?① 当

13时，由（1）知D?(0,x1)?(x2,??)

2g(a)?2a?3(1?a)a?6a?a(3?a)?0，g(1)?2?3(1?a)?6a?3a?1?0 因为

所以

0?a?x1?1?x2，

?所以f(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x (0,a) a (a,x1) (x2,??)

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