2011届高考数学 必看之-知识点总结 数列

高中数学 第三章 数列

考试内容： 数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．

§03. 数 列 知识要点 数列的定义 项 数列的有关概念 项数 数列 通项 数列的通项 数列与函数的关系 等比数列的定义 等差数列的定义 等比数列的通项 等差数列的通项 等比数列 等差数列 等比数列的性质 等差数列的性质 等比数列的前n项和 等差数列的前n项和 定义 递推公式 通项公式 中项 等差数列 an?1?an?d等比数列 ；an?am?n?md an?1?q(q?0) anan?an?1qan?an?1?d；an?amqn?m an?a1?(n?1)dan?a1qn?1（a1,q?0） A?an?k?an?k2G??an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?k?0） 前n项和 Sn?n(a1?an) 2（n,k?N*,n?k?0） ?na1(q?1)?Sn??a11?qn a1?anq?(q?2)?1?q?1?qn(n?1)Sn?na1?d 2??重要性 质 *am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q) am?an?ap?aq(m,n,p,q?N, m?n?p?q)1. ⑴等差、等比数列： 等差数列 等比数列 定义 an?1 {an}为A?P?an?1?an?d(常数） {an}为G?P??q(常数）an通项公式 an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-d an?a1qn?1?akqn?k (q?1)?na1?sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q1?q?G2?ab。推广：an?an?m?an?m 2求和公式 n(a1?an)n(n?1)?na1?d22 d2d?n?(a1?)n22 a?b中项A= 推广：公式 2sn?2an=an?m?an?m 性质 1 2 若m+n=p+q则 am?an?ap?aq 若m+n=p+q，则aman?apaq。 若{kn}成A.P（其中kn?N）则若{kn}成等比数列 （其中{akn}也为A.P。 3 ．sn,s2n?sn,s3n?s2n 成等差数列。 4 a?a1am?and?n?(m?n) n?1m?n，则{akn}成等比数列。 kn?N）sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比数列。 qn?1?ana1 ， qn?m?an am(m?n) 5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an?an?1?d(n?2,d为常数) ②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)

① 2②an?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)

注①：i. b?ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b?acii. b?ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b??ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b??ac且ac?0→为a、b、c等比数列的充要.

a、b、c等比数列.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③an?cqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列.

?s1?a1(n?1)⑷数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an??

s?s(n?2)n?1?n[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.

d?2?d?d②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn????n??a1??n →可以为零也可不为零→为

?2??2?2等差的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数．．列）

2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍

Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...；

②若等差数列的项数为2n?n?N??，则S偶?S奇?nd，SS奇偶an?an?1；

③若等差数列的项数为2n?1?n?N??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇 ?代入n到2n?1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 ?+n =②12?22?32??n2?n?n?1? 2S偶?n n?1n?n?1??2n?1?

62n?n?1??③13?23?33?n3???2? ??[注]：熟悉常用通项：9，99，999，??an?10n?1； 5，55，555，??an??10n?1?.

594. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)2n?1a[a?(1?r)n]?. 1?(1?r)⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此，第二年年初可存款：

a(1?r)12?a(1?r)?a(1?r)1110a(1?r)[1?(1?r)12]. ?...?a(1?r)=

1?(1?r)⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a?1?r??x?1?r?mm?1?x?1?r?m?2?......x?1?r??x?a?1?r?mx?1?r?m?1ar?1?r?m??x?

r?1?r?m?15. 数列常见的几种形式：

⑴an?2?pan?1?qan（p、q为二阶常数）?用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程x2?Px?q（x2对应an?2，x对应an?1），并设二根x1,x2②

nn若x1?x2可设an.?c1xn1?c2x2，若x1?x2可设an?(c1?c2n)x1；③由初始值a1,a2确定

c1,c2.

⑵an?Pan?1?r（P、r为常数）?用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去

常数n转化为an?2?Pan?1?qan的形式，再用特征根方法求an；④an?c1?c2Pn?1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?x?②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1??Pn?1a1?Pn?2?r???Pr?r.

r. P?1rr)Pn?1??(a1?x)Pn?1?x P?1P?1③用特征方程求解：

an?1?Pan?r?（P?1）an?Pan?1. ?an?1?an?Pan?Pan?1?an?1??相减，an?Pan?1?r?④由选代法推导结果：c1?rrrr. ，c2?a1?，an?c2Pn?1?c1?（a1?）Pn?1?1?PP?1P?11?P6. 几种常见的数列的思想方法： ⑴等差数列的前n项和为Sn，在d值，有两种方法：

一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?n2?(a1?)n利用二次函数的性质求n的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：

1111?,3,...(2n?1)n,... 242d2d2?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验an?12证2an?1?an?an?2(an?1?anan?2)n?N都成立。

?a?03. 在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足?m?am?1?0?a?0的项数m使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足?m的项数m使得sm取

?am?1?0最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

?c? 2.裂项相消法:适用于?c为常?其中{ an}是各项不为0的等差数列，

?anan?1?数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于?anbn?其中{ an}是等差数列，?bn?是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

n(n?1)1）: 1+2+3+...+n =

22） 1+3+5+...+(2n-1) =n2

?1? 3）13?23???n3??n(n?1)?

?2? 4） 12?22?32???n2?5）

1n(n?1)(2n?1) 621111111???(?)

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?)(p?q) pqq?ppq6）

高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）

［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.

选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.

解：(1)当m=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=

? 2(2)当m≠2时，直线l的斜率k=∴α=arctan

1∵m＞2时，k＞0. m?21?,α∈（0，）， m?221?，α∈(,π). m?22∵当m＜2时，k＜0 ∴α＝π＋arctan

说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围.

［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（

1，m）共线，求m的值. 2选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A、B、C三点共线， ∴ｋAB＝ｋAC，

?2?3m?3?. 13?2?22解得m=

1. 2说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.

［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.

选题意图：强化斜率公式.

解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.

∵tan2α=ｋAB=

?2?(?5)3?.

3?(?1)4?2tan?3? 21?tan?41或tanα＝－3. 3即3tan2α+8tanα－3=0， 解得tanα＝∵tan2α＝

3＞0,∴0°＜2α＜90°, 40°＜α＜45°， ∴tanα＝

1. 31 3因此，直线l的斜率是

说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方. 命题否定的典型错误及制作

在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．

一、典型错误剖析

错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论

在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定

是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．

例1 写出下列命题的否定： ⑴ 对于任意实数x，使x＝1； ⑵ 存在一个实数x，使x＝1． 错解：它们的否定分别为 ⑴ 对于任意实数x，使x≠1； ⑵ 存在一个实数x，使x≠1．

剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x≠1．

正解：⑴存在一个实数x，使x≠1； ⑵对于任意实数x，使x≠1．

错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词

在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．

例2 写出下列命题的否定： ⑴ 线段AB与CD平行且相等； ⑵ 线段AB与CD平行或相等．

错解：⑴ 线段AB与CD不平行且不相等； ⑵ 线段AB与CD不平行或不相等．

剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．

正解：⑴ 线段AB与CD不平行或不相等； ⑵ 线段AB与CD不平行且不相等．

错误3——认为“都不是”是“都是”的否定

2

2

2

2

2222

例3 写出下列命题的否定： ⑴ a，b都是零；

⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员． 错解：⑴ a，b都不是零；

⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员．

剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．

正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．

⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．

错误4——认为“命题否定”就是“否命题”

根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．

例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定． 错解：不满足条件C的点不都在直线F上．

剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．

正解：满足条件C的点不都在直线F上．

二、几类命题否定的制作 1．简单的简单命题

命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．

例5 写出下列命题的否定： ⑴ 3＋4＞6； ⑵ 2是偶数．

解：所给命题的否定分别是： ⑴ 3＋4≤6；

⑵ 2不是偶数．

2．含有全称量词和存在量词的简单命题

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于 “存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．

全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题． 例6 写出下列命题的否定：

⑴ 不论m取什么实数，x＋x－m＝0必有实根． ⑵ 存在一个实数x，使得x＋x＋1≤0． ⑶ 至少有一个整数是自然数． ⑷ 至多有两个质数是奇数．

解：⑴ 原命题相当于“对所有的实数m，x＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数

2

22

m，使x＋x－m＝0没有实根”．

⑵ 原命题的否定是“对所有的实数x，x＋x＋1＞0”． ⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”． ⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．

3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定

“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；

例7 写出下列命题的否定：

⑴ 他是数学家或物理学家．⑵ 他是数学家又是物理学家． ⑶

2

2

1≥0．

x2?2x?3解：⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．

⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．

⑶若认为┐p：

11＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括＜0或

x2?2x?3x2?2x?31＝0． 2x?2x?3或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．

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