高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3 数学归纳法与贝努利不等式 2.3.2 数学归纳法的应用学

3.2 数学归纳法的应用

【学习目标】

1．进一步掌握利用数学归纳法证明不等式的方法和技巧． 2．了解贝努利不等式，并能利用它证明简单的不等式． 【基础知识】

1．用数学归纳法证明不等式

运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式．尤其是第二步：一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利”，另一方面还需要结合运用比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法．

2

【做一做1－1】设f(k)是定义在正整数集上的函数，且f(k)满足：当“f(k)≥k成立

2

时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)成立．”那么下列命题总成立的是( )．

2

A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k成立

2

B．若f(5)≥25成立，则当k＜5时，均有f(k)≥k成立

2

C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k成立

2

D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f (k)≥k成立

n＋21111

【做一做1－2】证明＜1＋＋＋＋…＋n＜n＋1(n＞1)．当n＝2时，中间式子

22342

等于________．

2．贝努利不等式

n对任何实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)≥________．

当指数n推广到任意实数且x＞－1时，

α

①若0＜α＜1，则(1＋x)≤1＋αx；

α

②若α＜0或α＞1，则(1＋x)≥1＋αx． 当且仅当x＝0时等号成立．

n【做一做2】设n∈N＋，求证：3＞2n． 答案：

2

【做一做1－1】D 由题意，设f(k)满足：“当f(k)≥k成立时，总可推出f(k＋1)≥(k2

＋1)成立．”因此对于选项A，不一定有k＝1,2时成立．对于选项B，C显然错误，对于

22

选项D，∵f(4)＝25＞4，因此对于任意的k≥4，总有f(k)≥k成立．

11111111

【做一做1－2】1＋＋＋ 当n＝2时，2＝，∴中间式子为1＋＋＋．

23424234

2．1＋nx

【做一做2】分析：利用贝努利不等式来证明．

nnn证明：∵3＝(1＋2)，根据贝努利不等式，有(1＋2)≥1＋n×2＝1＋2n．

n上式右边舍去1，得(1＋2)＞2n． n∴3＞2n成立．

1．观察、归纳、猜想、证明的方法 剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立或不成立都需要预先归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是由归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确地归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．

在观察与归纳时，n的取值不能太少，因为前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．

2．从“n＝k”到“n＝k＋1”的方法与技巧

剖析：在用数学归纳法证明不等式的问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要

的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．

题型一 用数学归纳法证明不等式

12

【例1】已知数列{an}满足：a1＝－，an＋(an＋1＋2)·an＋2an＋1＋1＝0．求证：－1＜an2

＜0．

分析：利用数学归纳法证明．

反思：在利用数学归纳法证明不等式时，要注意式子的变形，通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式．

题型二 利用贝努利不等式证明不等式

?1?n＋1

【例2】设n为正整数，记an＝?1＋?，n＝1,2,3，…．

?n?

求证：an＋1＜an．

分析：用求商比较法证明an＋1＜an，其中要用贝努利不等式．

反思：本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立．

题型三 易错辨析

111

【例3】求证：＋＋…＋＞1．

n＋1n＋23n＋1

11113

错解：证明：(1)当n＝1时，左边＝＋＋＝＞1成立．

1＋11＋21＋312111

(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，＋＋…＋＞1成立，

k＋1k＋23k＋1

11111

则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＞1＋＞1成立．

k＋2k＋33k＋1k＋＋1k＋

由(1)，(2)知，原不等式成立．

错因分析：上述证明中，从k到k＋1，只添加了一项是错误的．分母是相邻的自然数，

111

故应有＋＋．

3k＋2k＋k＋＋1

反思：在利用数学归纳法证明的过程中，第(2)步由n＝k到n＝k＋1时，注意项数的增加和减少，往往会有减项也有增项，这些一定要弄清楚．

答案：

1

【例1】证明：(1)当n＝1时，a1＝－∈(－1,0)，结论成立．

2

(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，－1＜ak＜0成立．

1

当n＝k＋1时，ak＋1＝－(ak＋2)－＋2，

ak＋2

1

∵－1＜ak＜0，∴1＜ak＋2＜2，又y＝t＋在t∈(1,2)内为增函数，

t1?5?∈?2，?． ak＋2?2??1?∴ak＋1∈?－，0?，则－1＜ak＋1＜0， ?2?

∴当n＝k＋1时，－1＜ak＋1＜0成立．

综合(1)，(2)知，对一切n∈N＋，－1＜an＜0成立． ∴ak＋2＋

【例2】证明：由an的定义，知对一切n＝1,2,3，…，an为正数，所以只需证

an＞1，an＋1

n＝1,2,3，…．

?1＋1?n＋1?n?an??由于＝ an＋1?1?n＋2

?1＋n＋1???

?1＋1n?＝?1??1＋n＋1?＝?

n＋1

×?1＋

??

1?－1

n＋1??

n＋?n＋1n＋1?n＋

?×n＋2 nn＋??

?1＋nn＋?n＋1×n＋1 ＝??n＋2?nn＋?

1??n＋1×n＋1，

＝?1＋?n＋2?nn＋?

因此，根据贝努利不等式，

1an??×n＋1 有＞?1＋n＋

nn＋?an＋1??n＋2

n＋1?n＋1?＞?1＋2 ?×

?n＋2n＋1?n＋2

1?n＋1?＝?1＋＝1． ?×?n＋1?n＋2

∴an＞an＋1对于一切正整数n都成立．

11113

【例3】正解：证明：(1)当n＝1时，左边＝＋＋＝＞1成立．

1＋11＋21＋312111

(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，＋＋…＋＞1成立，

k＋1k＋23k＋1则当n＝k＋1时，＋…＋

111111?1

＋＋…＋＋＋＋＝?k＋2k＋33k＋13k＋23k＋33k＋4?k＋1

＋

1

k＋2

1??1111??1＋＋－＋?＞1＋???3k＋1??3k＋23k＋33k＋4k＋1??3k＋2

＋

1

－3k＋4

2k＋

???

6k＋66k＋66k＋66k＋6

＝1＋2－－2＞1， 2＝1＋29k＋18k＋8k＋9k＋18k＋89k＋18k＋9∴当n＝k＋1时，等式成立， 由(1)(2)知原不等式成立．

111

1用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，且n＞1)时，第一步即证下述哪

232n－1

个不等式成立( )．

1111

A．1＜2 B．1＋＜2 C．1＋＋＜2 D．1＋＜2

2233

11135

2f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，

23n22

7

f(32)＞．推测：当n≥2时，有( )．

2

n＋1n＋2nnn－1nnn－1

A．f(2)＞ B．f(2)＞ C．f(2)＞ D．f(2)＞ 2222

111111

3用数学归纳法证明2＋2＋2＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，

234n＋22n＋2

则当n＝k＋1时，应推证的目标是( )．

11111A．2＋2＋…＋ 2＞－23k＋2k＋311111B．2＋2＋…＋ 2＞－23k＋2k＋211111C．2＋2＋…＋2＞－ 23k2k＋111111D．2＋2＋…＋2＞－ 23k－2knnnn4已知a＞c＞d＞b＞0，a＋b＝c＋d，n为大于1的正整数，求证：a＋b＞c＋d． 答案：

1111

1．C n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，所以应证1＋＋＜2成立．

2323

32＋253＋223

2．B ∵f(2)＝；f(4)＞2，即f(2)＞；f(8)＞，即f(2)＞；f(16)＞3，

2222

4＋275＋2n＋245n即f(2)＞；f(32)＞，即f(2)＞．故猜想f(2)＞(n≥2)．

2222

3．A 注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当n＝k＋1时，应该是含“n”的式子

111111

发生变化，所以n＝k＋1时，应为2＋2＋…＋． 2＋2＞－

23k＋k＋2k＋＋2

4．证明：设a＝c＋m，b＝d－m，且m＞0，

于是(a＋b)－(c＋d)＝(c＋m)＋(d－m)－(c＋d)＝c?1＋?＋d?1－?－(c＋

cdnnnnnnnnn??

m?nn?

??

m?nn?

d)．①

根据贝努利不等式，有?1＋?≥1＋n·，②

cn??

m?n?

mc?1－m?n≥1－n·m．③ ?d?d??

由①②③，可得(a＋b)－(c＋d)≥c?1＋n·?＋d?1－n·?－(c＋d)＝(ccdnnnnn?

?

m?

n?

??

m?nnn－1

?

－dn－

1

)nm＞0，

nnnn∴a＋b＞c＋d．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ekqx.html