2015年高考数学模拟改编卷（新课标卷）理科数学试题

2015年高考数学模拟改编卷（新课标卷Ⅱ）

理科数学

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（原创）已知集合M??y|y?|x|?1,x?R?，N??x|y?log2(1?x)?，则M?N?（ ） A．??1,1?

B．(??,1)

C．??1,2?

D．[?1,1)

2．（改编）设z?(2?i)2（i为虚数单位），则复数z的模为（ ） A．5

B．3

C．2

D．6

3．（2015·江南十校高三二诊）下列结论正确的是（ ）

A．若直线l//平面?,直线l//平面?,则?//? B．若直线l?平面?,直线l?平面?,则?//? C．若两条直线l1,l2与平面?所成的角相等,则l1//l2

D．若直线l上两个不同的点A,B到平面?的距离相等,则l//? 4．根据如图所示的流程图，则输出的结果i的值为（ ） A．3

B．5

C．7

D．9

5．（原创）设抛物线y??x2?1的顶点为A，与x轴正半轴交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一粒豆子，则点P落在阴影部分的概率为（ ） A．

B．

13C．

1 4D．

2 36．（改编）已知角?的终边经过点P?x,?6?,且tan???A．15

B．10

C．12

23,则x的值为（ ） 5D．8

）

7．（2015·辽宁沈阳高三一模）抛物线y?4axA．?0,a?

B．?a,0?

?a?0?的焦点坐标是（

1??C．?0,?

?16a??1?,0? D．??16a?8．（原创）木球越来越成为人们喜爱的体育项目，现有一块木料表示的几何体的三视图如图所示（其中侧视图为边长为2的等边三角形），将该木料刨削、打磨、着色等工序加工成合格的木球，则能得到的最大木球的半径等于（ ）

113正视图侧视图33俯视图

C．2

D．A．3 2B．3 33 49．（2015·安徽江南十校高三二模·6）已知点A(?2,0),点M(x,y)为平面区域

?2x?y?2?0??x?2y?4?0上的一个动点,则|AM|的最小值是（ ） ?3x?y?3?0?A．5

B．3

C．22 D．65 5

????????????????AB?AC?AB?AC,AB?2,AC?1,E,F为10．（2015·辽宁盘锦高三3月调研）在△ABC中，

BC的三等分点，则AE?AF?（ ）

A．

????????8 9B．

10 92C．

25 9D．

26 911． （2015·湖北武昌高三一模）若(ax?最小值为（ ）

A．1

B．2

b6)的展开式中x3项的系数为20，则a2?b2的xC．3 D．4

12．（改编）若定义在R上的函数f(x)满足f(x)?f?(x)?1,f(0)?4,则不等式

f(x)?3?1（e为自然对数的底数）的解集为（ ） xe

B．???,0???3,??? D．?3,???

第Ⅱ卷（共90分）

A．?0,???

C．???,0???0,???

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（原创）某市业余“飞人摩托队”表演，参与表演共有5辆摩托车．它们“一字”排开，并排前行，如果甲、乙两辆必须相邻行驶，且甲、丁两辆不能相邻行驶，那么不同的行驶方法有 种．

14．（原创）已知数列?an?的前n项和Sn??2n?1，则其通项公式为 ．

ì?1,x￡115．（原创）设函数f(x)=?,则f?f?2??? ． í?????sinx,x>14216．（改编）已知函数f(x)?xcosx?mx?x(m?R),若导函数f'(x)在区间[?2,2]上有

最大值10,则导函数f'(x)在区间[?2,2]上的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）（原创）为迎接2015年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，用于网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件

与促销费用x万元满足：p?3?2（其中0?x?a，a为正常数）．已知生产该产品还需投

x?1入成本10?2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为(4?20)元／件，假定厂家的生

p产能力完全能满足市场的销售需求．

（I）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（II）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．

18．（改编）（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD中，AB?2,AD?1,M为CD的中点．将?ADM沿AM折起，使得平面ADM?平面ABCM．

（Ⅰ）求证：AD?BM；

A

（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E?AM?D的余弦值为

5． 5

19．（2015·山东滕州高三4月模拟·19） （本小题满分12分）已知单调递增的等比数列?an?满足：a2?a3?a4?28,且a3?2是a2,a4的等差中项．

（I）求数列?an?的通项公式；

（II）若bn?an?log1an，sn?b1?b2???bn，求sn?n?22n?1?50成立的正整数n

的最小值．

x2y2??1的上顶20．（2015·江苏扬中高三4月模拟）（本小题满分12分） 已知椭圆C:42、Q两点，设直线AP、AQ的斜率分别为k1、点为A，直线l:y?kx?m交椭圆于Pk2．

（1）若m?0时，求k1?k2的值；

（2）若k1?k2??1时，证明直线l:y?kx?m过定点．

21．（2015·四川绵阳高三三模·21）(本小题满分12分）设函数f(x)?xlnx，

g(x)??a?xlnb(a?0,b?0)，

（1）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求h(x)的单调区间； （2）若存在x0，使x0?[

a?b3a?bb,]，且f(x0)?g(x0)成立，求的取值范围．

a45

请从下面所给的22,23,24三题中选定一题作答．并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

（改编）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C．若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

（2015·江苏无锡高三一模）已知半圆C的参数方程为??x?cos???y?1?sin?为参数，

????????,?．

?22?（1）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；

（2）在（1）的条件下，设T是半圆C上的一点，且OT＝3，试写出T点的极坐标．

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 （改编）已知函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－a｜． （1）当a＝2时，解不等式f（x）≥4；

（2）若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

2015年高考数学模拟改编卷（新课标卷Ⅱ）

理科数学参考答案及解析

1．D

【命题立意】考查集合的基本运算、函数的定义域和值域的求解，考查不等式的求解能力。 【解析】根据集合M，得y??1，根据集合N，得1?x?0,解得x?1，故，故选D． M?N?{x|?1?x?1}2．A

【命题立意】本题重点考查了复数的乘除法运算法则、复数的模的计算等知识． 【解析】根据复数的运算法则，z??2?i???2?i???2?i??3?4i，所以复数z的模为

2z?32???4??53．C

2

【命题立意】考查了两直线的位置关系等知识．

【解析】A选项中两直线也可能相交或异面，B选项中直线与平面也可能相交，D中选项也可能相交． 4．C

【命题立意】本题旨在考查算法的流程图及其应用．

【解析】由算法的流程图，开始时i=0，s=0，此时满足s≤20；接下来有s=0+0=0，i=0+1=1，此时满足s≤20；接下来有s=0+1=1，i=1+1=2，此时满足s≤20；接下来有s=1+2=3，i=2+1=3，此时满足s≤20；接下来有s=3+3=6，i=3+1=4，此时满足s≤20；接下来有s=6+4=10，i=4+1=5，此时满足s≤20；接下来有s=10+5=15，i=5+1=6，此时满足s≤20；接下来有s=15+6=21，i=6+1=7，此时不满足s≤20，结束循环，输出i=7． 5．C

【命题立意】定积分的计算、几何概型公式，运算求解能力，等价转化思想。 【解析】令y?0，得x??1，故B?1,0?，因为A?0,1?，所以S△AOB??1?1?121， 2S阴影????x2?1?dx?S△AOB01111111?(?x3?x)|??，根据几何概型公式，得P?6?。

24026336．B

【命题立意】本题旨在考查三角函数的定义． 【解析】由题可得tan??7．C

【命题立意】本题主要考查抛物线的焦点坐标问题，首先应该转化成为抛物线的标准方程，

y63????，解得x=10． xx5p，并要注意焦点在y轴上． 2111p122y,?2p?,p?,?, 【解析】Qy?4ax,?x?4a4a8a216a然后求出

又Q焦点在y轴上，?选B．

8．B

【命题立意】三视图的概念、三棱柱的结构特征、三棱柱的内切球，考查空间想象力、分析问题和求解问题能力．

【解析】根据三视图可以知道该木料是一个正三棱柱（如图示），该正三棱柱的底面边长为2的等边三角形，高为3，要得到最大半径的球，则球需与三个侧面相切，从而球的半径就是底面三角形的内切圆的半径即可，故半径r满足3??2?r??3?2，解得r?故选B．

12123，3CBA9．D

C1B1A1

【命题立意】本题重点考查了不等式组表示的平面区域问题、线性规划问题．

?2x?y?2?0?【解析】不等式组?x?2y?4?0表示的平面区域如图,结合图像可知AM的最小值为点A

?3x?y?3?0?到直线2x?y?2?0的距离，

即

AMmin?2???2??0?25?655．

10．B

【命题立意】本题主要考查了向量的运算法则．

【解析】 由题知|AB?AC|?|AB?AC|,两边平方得，AB?AC=0。由向量的减法得：uuuvuuuuvuuuvuuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuvuuuv1uuuv1uuuv2uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv又因为AE?AB?BE?AB?BC?AC?AB，AF?AC?CF?BC?AC?AB,333uuuv1uuuv2uuuv1uuuvuuuvuuuv2uuuv25uuuvuuuv2uuuv2AC?BC?AC?AB，所以，AE?AF?|AC|?AB?AC?|AB|

33399925210??1??0??4?． 999911．B

【命题立意】本题考查二项式定理．

r【解析】由二项式定理的展开公式可得：Tr?1?C6ax??26?r?b?r6?rr12?3r，x3项.???C6a.bx?x?r2为12?3r?3?r?3,，因为(ax?b6)的展开式中x3项的系数为20，所以x333C6ab?20?a3b3?1?ab?1由基本不等式可得a2?b2?2ab?2，当且仅当a?b，

时等号成立．所以选B． 12．A

【命题立意】本题主要考查了学生如何利用题目中的条件正确构造出需要的函数，并进一步考查了学生对函数单调性的理解．

【解析】构造新函数F(x)?exf(x)?ex?3,所以F(x)??exf(x)?exf(x)??ex?

ex(f(x)?f(x)??1)?0,所以F(x)在R上单调递增函数，又因为F(0)=f(0)-1-3=0，F(x)?0,即f(x)?所以当x?0时，13．36

3?1． xe【命题立意】排列组合公式和应用、计数原理，考查分类讨论思想和实际问题应用能力．

3【解析】先考虑甲、乙，若甲、乙是“左1左2”号位置，则其余3辆有A3?6种方法； 甲、

112乙是“左3左4号”位置，则丁有C2?2种排法，其余2辆有C2A2?4种方法，同理，甲、

乙是“左3左4、左4左5”位置，均分别有4种方法，甲、乙位置交换，同样有以上各种情况，故方法种数为：2（6+4+4+4）=36． 14． an???-1 (n?1)?-2n?2 (n?2)

【命题立意】本题重点考查了数列的通项公式的求解方法，考查公式法在确定数列通项公式中的应用．主要考查数列的通项公式求解能力．

【解析】当n?1时，a1??1；当n?2时，an?Sn?Sn?1??2n?1?(?2n?2)??2n?2， 所以an??15．1

【命题立意】考查分段函数的概念、性质等知识． 【解析】因为f(2)?sin2?1，故f??f?2????1． 16．-8

【命题立意】本题重点考查了导数的计算、函数的单调性与导数等知识．

【解析】f(x)?4xcosx?xsinx?2mx?1，令g(x)?4xcosx?xsinx?2mx是奇函数，由f(x)的最大值为10知：g(x)的最大值为9，最小值为?9，从而f(x)的最小值为?8． 17．（I）y?16?''?-1 (n?1)?-2n?2 (n?2)．

'34344?x（0?x?a）； x?1（II）当a?1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大； 当a?1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．

【命题立意】本题重点考查了函数的应用、函数模型的构建、基本不等式的应用、分类讨论思想及其应用等知识． 【解析】（I）由题意知，y?(4?20)p?x?(10?2p)，………………3分 p

将p?3?24?x（0?x?a）代入化简得：y?16?．………………5分

x?1x?1（II）y?17?(当且仅当

44?x?1)?17?2?(x?1)?13， x?1x?14?x?1,即x?1时，上式取等号．………………8分 x?14?x?1)在?0,a?上单调递增， x?1当a?1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；………………9分 当a?1时，y?17?(所以x?a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大…11分 综上，当a?1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；

当a?1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．………………12分 18．（Ⅰ）略 ；（Ⅱ）5 5【命题立意】空间中线面垂直的性质定理、空间直角坐标系的建立、空间向量的基本运算，空间想象力和逻辑推理能力．

【解析】（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM=2，所以AM?BM 又因为面ADM?平面ABCM，面ADM?面ABCM=AM

所以，BM?面ADM?BM?AD．????????????????4分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系M?xyz

??由（I）可知，平面ADM的法向量m?(0,1,0)

设平面ABCM的法向量n?(x,y,z)，

?所以，A(2,0,0),B(0,2,0),D(22,0,),M(0,0,0) 22????????22????22DB?(?,2,?),DE??DB?E((1??),2?,(1??))2222

????????22MA?(2,0,0),ME?((1??),2?,(1??))

22?????n?MA?0??????????n?(0,1??,?2?) ????????????????10分 n?ME?0??

二面角E?AM?D的余弦值为19．（I）an?2n；（II）5

51

得，??，即：E为DB的中点．??????12分 52

【命题立意】本题重点考查等比数列的概念、性质、通项公式、数列求和等知识，属于中档题．

【解析】（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 依题意，有2（a3+2）=a2+a4, 代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,∴a2+a4=20

1?3?aq?aq?20q?2q????11∴?解之得或2 ??2a?a?aq?8??1?1?3?a1?32又{an}单调递增，∴q=2,a1=2, ∴an?2n． ……………… 6分

nnnb?2?log2??n?2n1, （II）

223n?s?1?2?2?2?3?2?...?n?2n∴ ① 234nn?1?2s?1?2?2?2?3?2?...?(n?1)?2?n2n∴ ②

∴①-②得sn?2?2?2?...?2?n?223nn?12(1?2n)??n?2n?1＝2n?1?n?2n?1?2 1?2∴sn?n?2n?1?50,即2n?1?2?50,?2n?1?52

?50,成立的正整数n的最小值为5 ．………………

12分

故使sn?n?220．（1）－

n?11；（2）略． 2【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆的位置关系，函数与方程，直线的斜率公式，直线的性质与应用，考查函数与方程思维，数形结合思维与运算能力．

x2y2??1的方程， 【解析】（1）当m?0时，直线l:y?kx?m代入椭圆C:42得到x?2kx?4， ????????????2分 解得P??222??21?2k2,???22k,Q,??21?2k??1?2k21?2k22k?? ???????????4分 ?

?所以k1?2k21?2k2?1?2k2?2?22k?2?1?2k2?，

22kk2?1?2k222k?2?1?2k2?． ????????????5分

21?2k2所以k1?k2?4k2?2?1?2k2?41?????????????????????6分??．2x2y2?1的方程，并整（2）设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，将直线l:y?kx?m代入椭圆C:?42222理得到1?2kx?4kmx?2m?4?0， ????????????8分

??4km2m2?4,x1?x2?则??0且x1?x2??． 221?2k1?2k由k1?k2??1知，

y1?2y2?2???1， ????????????10分 x1x2即y1y2?2?y1?y2??2?x1x2?0，

?kx1?m??kx2?m??2?kx1?m?kx2?m??x1x2?2?0

k2x1x2?mk?k1?k2??m2?2k?x1?x2??22m?x1x2?2?0，

2m2?4?4km?2k?1?km?2?m?22m?2?0， ??1?2k2???2?1?2k?2???k2?1??2m2?4??km?2??4km??m2?22m?2?1?2k2??0

2????所以，3m?22m?2?0，所以m?2（舍）或m??2，????????11分 3?2?所以直线l过定点?0,????． ???????????????????????12分 3??21(Ⅰ） 单增区间是(117) ，??)，函数h(x)的单减区间是(0，)；(Ⅱ） [e，bebe【命题立意】本题重点考查了导数的计算、函数的单调性与导数、函数极值与导数、函数最

值与导数等知识，考查转化思想和分类讨论思想的应用，属于中高档题目． 【解析】(Ⅰ）h(x)?f(x)?g(x)=xlnx?xlnb?a(a?0，b?0)，

∴ h?(x)?lnx?1?lnb， 由h?(x)?0解得x?11，由h?(x)?0解得0?x?， bebe11，??)，函数h(x)的单减区间是(0，)．

bebe∴ 函数h(x)的单增区间是( ?????????????????????4分 (Ⅱ）由f(x0)≤g(x0)可变为x0ln令p(x)?xln?a，x?[由p?(x)?0可得x?x0?a≤0． bxba?b3a?bx，]，则p?(x)?ln?1． 45bbb，由p?(x)?0可得0?x?， ee所以p(x)在(0，)单调递减，在(，??)单调递增．?????????5分 根据题设知：①若

bebea?b3a?bb，可解得?(0，?7)． ??????????6分

a453a?bbb3e≤，即?[，7)时， e5a5?e∵ p(x)在[a?b3a?b，]单调递减， 453a?b3a?b3a?b)?ln?a≤0， 555b∴ p(x)min?p(ba?5≤0对b?[3e，即ln7)恒成立． bba5?e5?3?aa3?令t?b3e3?t5≤0， ?[，7)，q(t)?ln?a5?e5t3?t8t?93eq(t)?0，即在[，7)上是减函数； 2t(t?3)5?e则q?(t)??则q(t)max?q(3e2?e)??0， 5?e53?bb3ea?5≤0成立．????????8分 所以对任意?[，7)，lnbba5?e53?aa

②当

a?bb3a?bbe3e，即?(，)时， ??a4?e5?e4e5当且仅当p(x)min?p()?bebb3eb1)． ln?a≤0，即≥e，此时?[e，aa5?eee ????????????????????10分 ③当

a?bbbe≥时， 即?(0，)时， e4a4?e∵ p(x)在[a?b3a?b，]上单调递减， 45∴ p(x)min?p(令t?a?ba?ba?b)?ln?a≤0， 4441?t4be≤0恒成立． ??(0，)，即?(t)?ln4t1?ta4?e5t?1e?(t)?0，所以在(0，)上是减函数， 2t(t?1)4?e因为??(t)??故存在无数个t0?(0，e)，使得?(t0)?0， 4?e如取t0?1，?(1)?ln?2?0与?(t)≤0恒成立矛盾，此时不成立． 综上所述，22．4

【命题立意】本题考查圆的切线的判定定理的应用．

∴?PAB∽?PCA，【解析】由题意?PAB??C，?APB??CPA，∴

12b7)．????????…………………12分 的取值范围是[e，aPAPBAB＝?∵PCPACAPA?6，AC?8，BC?9，∴

23．（1）ρ=2sinθ，θ∈[0，

6PBAB??,∴PB?3，AB?4，．

PB?968??]；（Ⅱ）（3，）． 23【命题立意】本题旨在考查参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化与应用，极坐标的计算．

?x?cos?????C【解析】（1）根据半圆的参数方程??为参数，????,?，得圆的普通

?22??y?1?sin?2方程：x??y?1??1?0?x?1?， ????????????3分

2所以，半圆C的极坐标方程为??2sin?,???0,

???． ????????????5分 ?2??

（2）依题意可知半圆C的直径为2，设半圆C的直径为OA， 所以sin?TAO?3， ????????????8分 2因为?TAO??0,??????TAO??TAX?TAO??TAX?，所以，因为，所以，所以?332????点T的极坐标为?3,24．（1）{x|x≤－

???． ??????????????????10分

3?171或x≥}；（2）（－∞，]． 223【命题立意】本题旨在考查含有绝对值不等式的求解，不等式性质与应用． 【解析】（1）当a?2时，由f?x??4得，x?1?x?2?4，

?x?1?1?x?2?x?2或或? ??????????????????2分 ???3?2x?4?1?4?2x?3?4解得：x??17，或x?． 22原不等式的解集为?xx??,或x???127??． ??????????????????5分 2?（2）由不等式的性质得：f?x??a?1，

要使不等式f?x??2a恒成立，则只要a?1?2a，???????????????8分 解得：a??1或a?1， 3所以实数a的取值范围为???,?． ??????????????????10分

3??1??

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