8年级奥数专题资料

更新时间：2023-10-26 23:53:01 阅读量：综合文库文档下载

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本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。注：有(*) 标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：

第一讲第二讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲

如何做几何证明题平行四边形（一）平行四边形（二）梯形

中位线及其应用一元二次方程的解法一元二次方程的判别式

一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的应用

专题复习一：因式分解、二次根式、分式专题复习二：代数式的恒等变形专题复习三：相似三角形结业考试（未装订在内，另发）

第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲第十三讲

第十四讲试卷讲评

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第一讲：如何做几何证明题

【知识梳理】

1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【例题精讲】

【专题一】证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。【例1】已知：如图所示，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。 ABC 求证：DE＝DF

CFBAED第 2 页共 91 页

【巩固】如图所示，已知?为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连ABC结CE、DE。求证：EC＝ED

【例2】已知：如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F

【专题二】证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

【例3】如图所示，设BP、CQ是?的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 ABC 求证：KH∥BC

BCQKAPHBCDAEEABFCD第 3 页共 91 页

【例4】已知：如图所示，AB＝AC，∠。 A?90?，AE?BF，BD?DC 求证：FD⊥ED

【专题三】证明线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）【例5】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°；求证：BC＝AD＋AE

【巩固】已知：如图，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 ABCB?60? 求证：AC＝AE＋CD

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AEFBDCADEBCBEAODC

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

【例6】已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，?。 EAF??45 求证：EF＝BE＋DF

【专题四】证明几何不等式：

【例7】已知：如图所示，在?中，AD平分∠BAC，AB?AC。 ABC 求证：B D?DC

BDCAADFBECD??AB?AC?BC【拓展】?中，?于D，求证：A BAC??90，AD?BCABC?

BDCA14

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第二讲：平行四边形（一）

【知识梳理】 1、平行四边形：

平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：（1）平行四边形对角相等；（2）平行四边形对边相等；（3）平行四边形对角线互相平分。

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、特殊平行四边形：一、矩形

（1）有一角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形

（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）定理1:菱形的四条边都相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. （4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2 （5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形

（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。三、正方形

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等

②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形

【例题精讲】

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②有一个角是直角的菱形是正方形

【例1】填空题：

在下列特征中，（1）四条边都相等（2）对角线互相平分（3）对角线相等（4）对角线互相垂直（5）四个角都是直角（6）每一条对角线平分一组对角（7）对边相等且平行（8）邻角互补平行四边形具有的是：矩形具有的是：菱形具有的是：正方形具有的是：

【巩固】

1、下列说法中错误的是（）．．

A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形

2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形 3、下面结论中，正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法： ①四边形AEDF是平行四边形；

②如果?BAC?90，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分?BAC，那么四边形AEDF是菱形；

④如果AD?BC且AB?AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）

Ｅ

ＢＤ

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形.

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ＡＦ

Ｃ

F C A E D

【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

【例3】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．

求证：四边形AECD是菱形．

【例4】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

FEADEA

CFBDCBAE

【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

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（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．

【例5】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形； ②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.

D A B

F E

BOCEAD第三讲：平行四边形（二）

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【知识梳理】

由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。

另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。【例题精讲】

【例1】四边形四条边的长分别为m、n、p、q，且满足m2?n2?p2?q2?2mn?2pq，则这个四边形是（）

A.平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形 C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

【例2】如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(1) 求证：DE－BF ＝ EF．

(2) 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．

(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

DC边上的点，F分别是BC、【巩固】如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、且AE?EF，

BE?2.

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【巩固】1、已知

ABCD???，求证：Ax?By?Cz?Dt?xyzt?A?B?C?D??x?y?z?t?

2、设

aa1a2a3?????n?a1，a2，?，an，b1，b2，?，an都是整数?。 b1b2b3bna2b2?a3b3???anbn?a1?a2???an?b1?b2???bn

求证：a1b1?

【拓展】设2005x3?2006y3?2007z3，xyz?0，

222且32005x?2006y?2007z?32005?32006?32007，求证：

111???1。 xyz

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【例5】已知正数a，b满足a1?b?b1?a?1，求证：a2?b2?1。

思路点拨：本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理，一步一步地推到我们所要证明

的结论，就是我们平时说的“正面突破”。

第十二讲：专题复习：相似三角形

【知识梳理】

1、比例线段的有关概念：

ac在比例式??(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，

bdb、d叫后项，d叫第四比例项，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中项。 2、平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

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ABDEABDEBCEF

则?，?，?，… BCEFACDFACDF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

4、相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：

（1）如图1，当时，?ABC∽?ADE （2）如图2，当时，?ABC∽ ?AED。（3）如图3，当时，?ABC∽ ?ACD。

B图1CB图2CDAAAEDDEBC图3

（4）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△ ∽△ 。（5）如图5，当时，则△ ∽△ 。

ACBA'C'E'EDD'AB'图4 图5

（6）如右图，特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC＝90° AD?BC∴ ? ADC ∽ ? BDA ∽ ? BAC

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BDC

【例题精讲】

【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，交BC于点E，求证：BE=2EC。

【巩固】如图，△ABC是一个等腰三角形，其中AB=AC，若∠B的角平分线交AC于D且BC=BD+AD，设∠A=c°，求c的值。

【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD

【巩固】1、如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连结AE、BE、BD，且AE、BD

BCADBCADBEC6S梯形ABCD，25O第 49 页共 91 页

交于点F，则S?DEF:S?EBF:S?ABF?（）

A.4:10:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.2:5:25

2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S?D0E:S?COB?9:16，则AD:DB=____________。

【例3】已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E为AC中点，求证：AB?AF?AC?DF。

AADFBECADOBEC

【巩固】已知如图，AE为△ABC的角平分线，D为AB上一点，并且∠ACD=∠B，CD交AE于F，求证：CE?CF?FD?BE。

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BDFCCEFBDA

111?1?； a??1?a?0?，a??1?a?0?；若a??1，则an????1（a?0，n是整数）aaa?a?na?1?2?a?0?。 a3、分式的运算分式的运算法则有：

aba?bacad?bc； ??，??cccbdbdnacacacad?a?an。 ??，??，???n（n是正整数）

bdbdbdbc?b?b4、分式的变形

分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。三、二次根式：

1、当a?0时，称a为二次根式，显然a?0。 2、二次根式具有如下性质：（1）

?a?2?a?a?0?；（2）a2?a???a，当a?0时，

??a，当a?0时；（3）ab?a?b?a?0，b?0?；（4）

aa?a?0，b?0?。 ?bb3、二次根式的运算法则如下：（1）ac?bc??a?b?c?c?0?；（2）

?a?n?an?a?0?。

4、设a，b，c，d，m?Q，且m不是完全平方数，则当且仅当a?c，b?d时，

a?bm?c?dm。

【例题精讲】

【例1】分解因式：x?xy?6y?x?13y?6

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【巩固】分解因式：

1、x2?xy?2y2?x?5y?2； 2、3x2?5xy?2y2?x?9y?4；

【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4?b4?c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2的值是（）

A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负

3、k为何值时，多项式x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积？

【例3】已知a、b是实数，且

【专题训练】

1、已知ab?a?b?1?13，求a?b的值为_____________；

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?1?a?a??1?b?b??1，问a、b之间有怎样的关系？请推导。

2、多项式x2?axy?by2?5x?y?6的一个因式是x?y?2，试确定a?b的值为_____________；

3、设3b?a?2c，求a2?9b2?4c2?4ac的值。

4、若abc?0，且设

5、已知1?

2226、已知a?x?1991，b?x?1992，c?x?1993，且abc?24，则

?a?b??b?c??c?a??___________ a?bb?cc?a??，则cababczxxyyz，2?，3?，则x?_______________；

z?xx?yy?zabc111??????______________________ bccaababc

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3x2?6x?57、当x变化时，分式的最小值为______________

12x?x?12

x3x8、设2?1，则6?____________________； 33x?mx?1x?mx?1

9、已知实数a满足1992?a?a?1993?a，则a?1992?__________________； 10、化简 11、已知

262?3?5?____________________；

x?1a?a，则4x?x2?__________________

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12、设39?

432的整数部分为a，小数部分为b，则

1111??_____________； a?ba?4?b13、设等式a?x?a??a?y?a??其中a，x，y两两不同，x?a?a?y在实数范围内成立，

3x2?xy?y2则2?__________________； 2x?xy?y

14、使等式

15、设正整数a，m，n满足a?42?

2x?y?99成立的整数对?x，y?的个数为__________________；

m?n，则这样的a，m，n的取值有______组；

12222n?????16、求和：S? 1?x1?x21?x41?x2n

17、已知a?b?c?0，化简

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111??。 222222222b?c?ac?a?ba?b?c

【例2】已知关于x的方程x2??k?2?x?2k?0。（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a?1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求?ABC的周长。

【巩固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x?10x?m?0的两根，则m?___________。

2、在等腰三角形ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，已知a?3，b和c是关于x的方程x?mx?2?

【拓展】已知对于正数a、b、c，方程c2x2?a2?b2?c2x?b2?0没有实数根，求证：以长

221m?0的两个实数根，求三角形ABC的周长。 2??a、b、c的线段为边能组成一个三角形。

2【例3】设方程x?ax?4有三个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根。

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【巩固】已知关于x的方程x3??1?a?x2?2ax?a2?0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是___________________。

【例4】设a，b，c，d?0，证明在方程

12x212x212x212x2?2a?bx?cd?0；?2b?cx?ad?0；

?2c?dx?ab?0；?2d?ax?bc?0，中，至少有两个方程有不相等的实数根。

第八讲：一元二次方程根与系数的关系

【知识梳理】

一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根与系数的关系（韦达定理）

2第 27 页共 91 页

设方程的两个根x1，x2，则x1?x2??，x1x2?bac。 a韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：（1）x1?x2??x1?x2??2x1x2；

222?x?x2??2x1x2； xxx?x2（2）2?1?1?1x1x2x1x2x1x2222（3）x1?x2??x1?x2??x1?x2??3x1x2；

332??（4）?x1?x2???x1?x2??4x1x2；

22（5）x1?x2【例题精讲】

?x1?x2?2??x1?x2?2?4x1x2。

【例1】求下列方程的两根之和，两根之积。 22

（1）x－2x＋1＝0；（2）x－9x＋10＝0；

解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ （3）2x2－9x＋5＝0；（4）4x2－7x＋1＝0；

解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ （5）2x2－5x＝0；（6）x2－1＝0

解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ 【例2】设x1，x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）=_______；（2）x12x2+x1x22=_______；（3）

（4）（x1+x2）2=_______；（5）（x1－x2）2=_______；（6）x13+x23=_______．

【例3】解答下列问题：

（1）设关于x的一元二次方程x?4x?2?k?1??0有两个实数根x1、x2，问是否存在

2x2x1?=_______ x1x2x1?x2?x1?x2的情况？

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（2）已知：两个实数根，且?x1?2??x2?2??11，x1、x2是关于x的方程x2??2a?1?x?a2?0的；求a的值。

【巩固】

1、已知关于x的方程x2?4x?a?0有两个实数根，且2x1?x2?7，则a?_____________。

2、已知?、?是方程x?x?1?0的两个实数根，则代数式?2??

2??2?2的值为_________。

?m2?0。【例4】已知关于x的方程：x??m?2?x?42（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；

（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足x2?x1?2，求m的值及相应的x1、x2。