大学高等数学各章节练习题

第一章 极限与连续

一、填空 1、设f(x)???1???0x?1 ，则f?f(x)??___________. x?12、若数列?xn?收敛，则数列?xn?一定 。

3、若limf(x)?A，而limg(x)不存在，则lim(f(x)?g(x)) 。

x?x0x?x0x?x034、当x?0时，1?ax2?1与cosx?1为等价无穷小，则a?_______

5、设函数f(x)在点x?x0处连续，则f(x)在点x?x0处是否连续。 6、设f(x)?sinx,f(?(x))?1?x2，则?(x)的定义域为_________

?sin2x?e2ax?1?,x?0在(??,??)内连续，则a?__

7、如果f(x)??x?0,x?0?8、 曲线y?x2e?x的渐近方程为__________________

二、选择

9、如果f(x),g(x)都在x0点处间断，那么（ ）

（A）f(x)?g(x)在x0点处间断 （B）f(x)?g(x)在x0点处间断 （C）f(x)?g(x)在x0点处连续 （D）f(x)?g(x)在x0点处可能连续。 10、设数列xn与yn满足limxnyn?0，则下列断言正确的是（ ）

n??2（A）若xn发散，则yn必发散。 （B）若xn无界，则yn必有界 （C）若xn有界，则yn必为无穷小（D）若11、已知lim1为无穷小，则yn必为无穷小。 xnf(x)?0，且f(0)?1，那么（ ）

x?0x （A）f(x)在x?0处不连续。（B）f(x)在x?0处连续。 （C）limf(x)不存在。 （D）limf(x)?1

x?0x?0 12、设f(x)? （A）

2x?x4x?3x ，则limf(x)为（ ）

x?0111 (B) (C) (D)不存在 234(x?1)sinx 13、设f(x)?，那么x?0是函数的（ ）

(x2?1)x （A）无穷间断点。（B）第二类间断点。（C）跳跃间断点。（D）可去间断点 三、完成下列各题

12n5n?2???2) 15 、limn14、 lim(2

n??n?1n??8?5n?2n?narctanxa?x?a16、 lim (a?0) 17、 lim

x??x?0xx2(1?x?1)sinxx18 、lim 19、limln(1?2)ln(1?)

x???x?0x1?cosx

- 1 -

11??xtan()?xsin()?1?xx??sin20、 lim 21、 lim?cosx?x 2x??22 、limx?0e?11?cosx?1????x?x?0x(1?cosx)

23、 设f(x)?ax

?a?0,a?1?，求

lim1ln?f(1)f(2)?f(n)?

n??n2x2?ax?b?2，求a，b的值。 24、若lim2x?2x?x?21?x25、设f(x)?lim，讨论f(x)在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。

n??1?x2n126、设函数f(x)?在(??,??)内连续，且limf(x)?0

x???a?aebx（1）试确定a,b的正负号。 （2）求limf(x)的值

x????x2??x?a??27、已知lim??ax?b???9，求a。28、已知lim??0,求a,b。 x???x?1x??x?a????x第二章 导数与微分

一 、选择填空

231、函数f(x)?xx(x?3x?2)(x?2)有（ ）个不可导点。

（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

)，则f/(0)?（ ） 2、设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?2005（A） ?2005! （B）?2004! （C）2005! （D） 2004!

1?k?xsin,x?03、设f(x)??，在x?0点处，下面叙述错误的是（ ） x?,x?0?0（A）k?0时连续（B）k?1时连续不可导（C）k?1时可导（D）k?2时导函数连续

/4、设f(x)在x?1点处可导，且f(1)?0，下列等式不等于f(1)的是

?2f(cosx)f(cosx?tan2x)lim（A）lim （B） x?0x?0x2x2?f(1?x2)f(1?sinx)?f(1?3sinx)（C）lim （D）lim 2xx?0x?0x4(e?1)1/5、设f(x0)?，则?x?0时，该函数在x?x0处的微分dy( )

2（A）是 ?x的高阶无穷小 （B）是 ?x的低阶无穷小 （C）是 ?x的等价无穷小 （D）是 ?x的同阶阶无穷小

6、设f(x)在x?x0处可导，g(x)都在x?x0处不可导，则叙述错误的是（ ） （A）f(x)?g(x)在x?x0处不可导 （B）f(x)?g(x)在x?x0处不可导

（C）f(x)g(x)在x?x0处不可导 （D）f(x)g(x)在x?x0处不一定不可导 7、下面叙述错误的是（ ）。

（A）f(x)在x?x0处可导，则f(x)在x?x0处有切线。

- 2 -

（B）f(x)在x?x0处不可导，则f(x)在x?x0处就没有切线。 （C）f(x)在x?x0处导数为无穷大，则f(x)在x?x0处有切线。

（D）f(x)在x?x0处左右导数存在不相等，则f(x)在x?x0处就没有切线。

8、质点沿曲线y?f(x)运动，曲线在点M(x,y)处的切线斜率为1/3,在点M处质点的横坐标以5单位/秒的速率增加，则在M点处质点的纵坐标的变化速率是（ ）单位 / 秒 (A) ?3155 (B) (C) (D)

51533二 、填空

?x?1?t29、曲线?在t?2处的切线方程为___________ 3y?t?10、已知f(x)任意阶可导，且f/(x)?f2(x)，则f(n)(x)?______ 11、 设曲线f(x)?xn 在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(un,0)，则limf(un)?______

n??12、设f(x)?xex，则f(n)(0)?______________

______ 13、设tany?x?y，则dy?__________14、已知y?f?15、设x?dy?3x?2?/2?______ ?,f(x)?arctanx, 则

dxx?0?3x?2??2 ，则dsincosx?________________dcosx

??三、 完成下列各题： 16、设y?lnx2?23x?2 ，求y/ 17、设y?arctan18、设y?ln(x?x2?1)?x?1，求y/ x?1xarcsinx//，求y 19、设y?，求y x2?11?x2(lnx)x/xf(x)/20、设y?，求y。 21、设y?f(e)e，求y lnxx2x?1dy222、设y?x?(x?1)arctan2，求。

x?x?1dxx?1?x?tetdy23、设?t，求。 tydxt?0?ye?e?2?x2?ax?b,x?1?24、确定a,b使f(x)??处处可导。 12(x?1)sin,x?1?x?1?25、设f(x)，g(x)的定义域为R，?x,y恒有f(x?y)?f(x)g(y)? f(y)g(x)，f(0)?0,g(0)?1,f/(0)?1,g/(0)?0，求f/(x)。

/26、设设函数f(x)有连续的导函数，且在f(0)?0,f(0)?2，若

?f(x)?3sinx?,x?0F(x)??连续，求a。 x?,x?0?ad2y27、已知y?y(x)由y?xe?1所确定，求

dx2y

x?0 - 3 -

?xx?0?1?e1x28、讨论f(x)??，在x?0点处的可导性。

?x?0?029、求曲线x3?y3?(x?1)cos?y?9在x?1处的切线与法线。 30、已知y?sin4x?cos4x，求y(n).

31、設y?f(x2??(y))，其中f,?可微，求dy

第三章 中值定理与导数应用

一、填空：

135x?3?32x1、lim?________; 2、lim?2?cos3x?ln(1?x2)?__________

x?1x?0tan?xtanx?x?________ 4、函数y?x3?3x2在__________单减. 3、limx?0x?sinx5、函数f(x)?12x?3x2?2x3的极小值是_________________.

2二、选择：

6、设y?(x?1)2(x?2)3，则（ ）

(A) x=1是该函数的极小值点 (B)x=2是该函数的极大值点

7是该函数的极小值点 (D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标 57、设函数f(x)?x3?ax2?bx在x=1处有极小值-2，则必（ ）

(C)x?(A)a=-4,b=1 (B)a=4,b=-7 (C)a=0,b=-3 (D)a=b=1 8、设limx?af(x)?f(a)??1，则在点x?a处（ ）

(x?a)2/(A)f(x)可导，且f(x)?0 (B) f(x)取得极大值 (C) f(x)取得极大值 (D) f(x)不可导

9、不等式e?1?x成立的范围是（ ）

（A）(??,0) （B）(0,??) （C）(??,0)?(0,??) （D）(??,??) 10、在区间(??,??)内，方程x14x?x?cosx?0（ ）

12（A）无实根 （B）有且仅有一个实根 （C）有且仅有两个实根 （D）有无限多个实根 三、完成下列各题：

(2sinx?cosx) x 12、limx?0?2313、求f(x)?x?x在[1，3]上的最大值与最小值。

23214、求y?x?3x?4x?5的单调区间，凹凸区间与极值。

3/15、若f(x),g(x)在[a,b]可导且g(x)?0,试证存在??(a,b)使

11、lim(1?x)tanx?12?1xf(a)?f(?)f/(?). ?/g(?)?g(b)g(?)/16、设f(x)可导，求证f(x)的两个零点之间一定有f(x)?f(x)的零点.

- 4 -

il17、设f(x)在[0,1]连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0，又m使 f/(?)?0。

x?0f(x)?2，求证：存在??(0,1)x1?ax是x的三阶无穷小，求常数a,b。 1?bx12x??19、求证：当x?1时，arctanx?arccos

21?x2418、已知当x?0时，f(x)?e?x第四章 不定积分

一、选择与填空

1、下列等式错误的是 （A）（C）

?f/(x)dx?f(x)?C （B）?df(x)?f(x)

df(x)dx?f(x) （D）d?f(x)dx?f(x)dx ?dx2、若f(x)连续，则d(?f(x)dx)?（ ）

(A) f(x) (B) f(x)?C (C) f(x)dx (D) f?(x)dx 3、设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则

(A)当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 (B)当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数 (C)当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数 (D)单调增加函数时，F(x)必是单调增函数

x34、?dx?______ 100(x?1)xx,则?f(x)dx?_____ sinx1?xdx6 、已知?xf(x)dx?arcsinx?C，则??______________

f(x)5、设f(sin2x)?二、完成下列各题

(2?x)2sinxcos3xdx 8、?dx 7、?222?x1?cosx1229、?sin2xsin3xdx 10、?dx 22(x?1)(x?2)347511、tanxsecxdx 12、(tanx?tanx)dx

??cos3xdx 14、?e?xarctanexdx 13、?5sinxx?ln(1?x)2x?1dx 16、?15、?edx

2x317、若曲线y?f(x)上点（x,y）处的切线斜率与x成正比，并通过点A(1,6)和B(2,-9)，求

该曲线的方程。

218、设f(x)的原函数F(x)>0,且F(0)=1.当x?0时，有f(x)F(x)?sin2x，试求f(x)

x219、设f(x?1)?ln2，且f[g(x)]?lnx，求?g(x)dx

x?21?cos2xdx 20、?1?cos2x2 - 5 -

第五章 定积分

一 选择填空

bxdx，I?3?a1?x?aln(1?x)dx(b?a?0)，则（ ） ?a（A）I2?I3?I1 （B）I1?I3?I2 （C）I3?I1?I2 （D）I1?I2?I3

1已知I1?bxdx，I2?b2下列等式错误的是（ ） （A）（C）

?f/(x)dx?f(x)?C （B）?df(x)?f(x)

df(x)dx?f(x) （D）d?f(x)dx?f(x)dx dx?dbf(x?t)dt?() 3设f(x)为连续函数，那么?adx（A）f(x?b)?f(x?a) （B）f(x?b)?f(x?a) （C）f(x?b)?f(a) （D）f(b)?f(x?a)

1113?xf(x)dx,4已知f(x)?则?0?0f(x)dx?（ ） 1?x2????（A） （B） （C） ? （D） ?

23235设f(x)为连续函数，且x?（A） 6已知

?x30f(x)dx,则f(7)?（ ）

1111 （B） （C） ? （D） ? 123312x?0f(x)dx?ln(1?x2),则f(x)?（ ）

1x2x （B） （C） （D） 2x 1?x21?x21?x21（A）

二 填空

7、已知f(x)?x?2??0f(x)dx,则f(x)?___________；

8 I?23 ； (x?sinx)sinxdx?_________??2?29、设f(x)?10、 limx?0?x1lntdt1(x?0),则f(x)?f()＝____________；

1?txx3?x?___________；

0(1?cost)dt11、设x??1，求

?x?1(1?t)dt?________________；

11x,x?0，则?f(x)dx?__________12、已知f()?_；

0x1?x13、已知当x?0时，1?cosx与三 完成下列各题

?sinx0ln(1?at)dt为等价无穷小，则 a?____

- 6 -

[??14、已知limf(x)?2，求lim2x?2x?2x2tf(u)du]dt2(x?2)x0x

?15、设f(x)连续且f(0)?0，求limx?0(x?t)f(t)dt

0x?f(x?t)dt16、求F(x)??x20(t?1)e?tdt的极值

17、已知f(?)?2，且18、若函数f(x)???0[f(x)?f//(x)]sinx?5，求f(0)。

1113?1?xf(x)dx,求f(x)及f(x)dx 2??001?x1x19、设f(x)当x?0时可导，且f(x)?1??f(x)dx,求f(x).

x1211/20、已知 f(2)?，f(2)?0及?f(x)dx?1，求?x2f//(2x)dx,）

002?11sinx2x?12dx 23、?arctanxdx dx 22、?1e21、?0sinx?cosx02?ln(1?x)（1?x)arcsinxdx22 24、 25、 26、 dxcosx1?sinxdx?0(2?x)2?0??1221?x2n?x?41x??xedxdx?12??,x?dx 28、lim?dx 27 、 29 、 30、??2min???x2?010n??x1?x(1?e)??x(1?x)??21

第七章 空间解析几何与向量代数

一、填空与选择

1、已知点A(3,2,?1)和点B(7,?2,3)，取点M使AM?2MB，则向量OM=_____。 2 已知点A(0,1,2)和点B?(1,?1,0)，则AB0=______ 。 3、设向量a与三个坐标面的夹角分别为?,?,?，则cos4、设向量a的方向角??2??cos2??cos2?= ______ 。

,?为锐角，?????，且a?4，则a= ______ 。

35、向量a?(7,?2,5)在向量b?(2,2,1)上的投影等于_______。 6、过点P?1，2，?1?且与直线x??t?2，y?3t?4，z?t?1，

垂直的平面方程为_____________________________． 7、已知两直线方程是L1:?x?1y?2z?3x?2y?1z??L:??，则过L1且平行，221110?1L2的平面方程为____________________

x?1y?5z?8?x?y?6?0??，则L1与L2的夹角为（ ） L:?1?21,2?2y?z?3?0????（A）． （B）． （C）． （D）．

64329、平面Ax?By?Cz?D?0过x轴，则（ ）

（A）A?D?0 （B）B?0,C?0 （C）B?0,C?0 （D）B?C?0 10、平面3x?5z?1?0（ ）

8、设直线L1:

- 7 -

（A）平行于zox平面 （B）平行于y轴（C）垂直于y轴 （D）垂直于x轴 11、点M(1,2,1)到平面x?2y?2z?10?0的距离为（ ） （A）1 （B）?1 （C）－1 （D）

1 312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为______ 。

?????13、过点(1,2,1)与向量S1?i?2j?3k,S2??j?k平行的平面方程为_____ 。 14、平面19x?4y?8z?21?0和19x?4y?8z?42?0之间的距离等于?????? 。 15、过点(0,2,4)且与平面x?2z?1及y?3z?2都平行的直线方程为______。

?x?2y?4z?7?016、过点(2,0,?3)并与?垂直的平面的方程为???????????? 。

?3x?5y?2z?1?0二、完成下列各题

1、设OC?a?13b,OB?2a?8b,OC??(a?b)与b是不平行的非零向量，求?的值，使A、B、C三点在同一直线上。

2、已知不平行的两向量a和b，求它们的夹角平分线上的单位向量。 3、设点A(1,0,?1)为矢量AB的起点，AB?10,AB与

x轴、y轴的夹角分别为

??60?,??45?，试求： （1）AB与z轴的夹角v；（2）点B的坐标。

????????a?2i?j?2ka?x??18x4、求与向量共线且满足的向量。

5、若平面过x轴，且与xoy平面成30的角，求它的方程。

6、求过原点及点(6,?3,2)，且垂直于平面4x?y?2z?8的平面方程。

????M(?1,2,?3)7、过已知点0作一直线，并同时满足（1）与矢量a?6i?2j?3k垂直；（2）

x?1y?1z?3??相交，求此直线方程。 32?5x?1yz?1??8、求直线L:并求L0绕y轴在平面x?y?2z?1的投影直线L0的方程，11?1与直线L1:旋转一周所成曲面的方程。

第八章 多元函数微分法及其应用

一 选择填空

1、已知X={偏导数存在的函数类}, Y={偏导数存在且连续的函数类},Z={可微函数类},则 ( )

(A) X?Y?Z (B) Y?X?Z (C) X?Z?Y (D) Z?Y?X

?xy?2、 已知函数f(x)??x2?y2??023x2?y2?0x2?y2?0,在(0,0)点下列叙述正确的是( )

(A) 连续但偏导不存在 (B) 连续偏导也存在

(B) (C)不连续偏导也不存在 (D)不连续但偏导存在

3、曲线x?t,y??t,z?t的切线与平面x?2y?z?4平行的有( )条.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4、 曲面z?sinxsinysin(x?y)上点(??63,,3（ ） )处的法线与xoy面夹角的正弦值为

4 - 8 -

（A）

122632613 （B） （C） （D） 13261326?5、 函数f(x,y)在P(x,y)点沿向量e?()的方向导数为?fy。

（A）{0,－1} (B) {－1,0} (C) {1,0} (D) {0,1}

6、 z?f(x,y)在（x0,y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又(x0,y0)是驻点，令fxx(x0,y0)?A、fxy(x0,y0)?B、

处取得极值的条件为（ ） （x0,y0）fyy(x0,y0)?C,则f(x,y)在

（A）B?AC?0 (B) B?AC?0

(C) B?AC?0 (D) A、B、C任何关系。

7、 梯度的方向是方向导数取得（ ）的方向，梯度的模是方向导数的最大值. (A) 极大值 (B) 最小值 (C) 最大值 (D)极小值 8、二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是（ ）

(A) fx?0且fy?0 (B) fxy连续 (C) fyx连续 (D)fxy 与fyx都连续

9、设z?z(x,y)由方程F(x?az,y?bz)?0所确定，其中F(u,v)可微，a,b为常数，则必有（ ）

222?z?z?z?z?b?1 (B) b?a?1 ?x?y?x?y?z?z?z?z?b?1 (D) b?a?1 (C) a?x?y?x?y(A) a二 填空

210、 已知f(x?y,x?y)?xy?x，则f(x,y)?________

???11、已知A?(x?ay)i?yj为某一二元函数的梯度，则a?__ 2(x?y)x2?y2，则在点(2,1)处的全微分dz?____

z12、已知z?ln13、曲面z?e?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为___________________。

?2z14、设函数z?z(x,y)由方程xz?y?arctany?0所确定，则?____。

?x?y15、由方程xyz?x2?y2?z2?0所确定的隐函数z?z(x,y)在点M(1,0,?1)处的全微

分____________________________。

2216、若f(x)?2x?xy?ax?2y在点(1,?1)处取得极值，则a?______

17、设F(u,v,w)是可微函数，且Fu(2,2,2,)?Fw(2,2,2,)?3，Fv(2,2,2,)??6。曲面

F(x?y,y?z,z?x)?0通过?1,1,1?点，则过这点的法线方程是______

?4x2?9y2?7218、由曲线?绕y轴旋转一周而得到的旋转面在点(0,?2,3)处指向外侧的单

z?0?位法向量为____________________

三 完成下列各题

?xy2?19、证明函数f(x)??x2?y4?0?x2?y2?0x2?y2?0当(x,y)?(0,0)时极限不存在。

- 9 -

?z?zx?y，求dz , 21、设z?arctan?x?yx?y?z?z22、设z?f(ax?by),f可导,证明: b?a

?x?y20、设z?sin(x2?yeu),u?xy ,求

?2zy23、 设z?f(xy,)?xg(xy)，f具有二阶连续偏导数，g二阶可导，求。

x?x?y24、已知隐函数z?z(x,y)由方程G(xy,y?z,zx)?0所确定，且G(u,v,w)具有一阶连续

?z/偏导，G2?xG3/?0，求

?x25、求曲面x2y2?y2z2?z2x2?3在点(1,?1,?1)处的切平面方程。

226、函数u少？

?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处沿那个方向的方向导数最大？其值为多

27、已知f(x,y)?2?xy0x?2f?2fy?2f?x2y2 edt，求证?2???2e22y?x?x?yx?y?t228、求函数z?x?xy?y?x?y?1的极值.

22229、求球面x?y?z?25到平面3x?4y?5z?60的最长与最短距离。 22230、求由x?10y?z?6xy?2yz?18?0所确定隐函数z?z(x,y)的极值．

2

第九、十章 多元函数积分学

一 选择填空 1 、I1???(x?y)D23dxdy与I2???(x?y)2dxdy，其中

D2D：(x?2)?(y?1)?2的大小关系为:（ ）

(A) I1?I2 (B) I1?I2 (C) I1?I2 (D) 无法判断

2、已知f(u)为连续函数，则

??dx?01x2xf(x2?y2)dy＝（ ）

（A）（C）

?40d??tan?sec?0rf(r)dr （B）

22?8?tan2?se2c?0rf(r)dr

rf(r)dr

8?0?1?x?2?2?x?43 、区域D?D1?D2,D1：,按Y型区域应为（ ） ,D：?2??x?y?x?x?y?2rf(r)dr （D）

?4?0tan?sec??tan?sec??1?y?2?1?x?2?1?x?2?1?y?2(A) ? (B) (C) (D) ???22y?x?yx?y?xx?y?xy?x?y????4 、已知D:x?y?1,D1:x?0,y?0,x?y?1,I???(x?y)d?，

DJ???(x?y)d?，则（ ）

D1(A) I?J (B) I?2J (C) I?3J (D) I?4J

x2y2??1的周长为l，则?(3x?2y)2ds?（ ） 5、设椭圆L：

L43 (A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l

- 10 -

6、设f(x,y)连续,且f(x,y)?xy?则f(x,y)?(??Df(u,v)dudv,其中D由y?0,y?x2,x?1所围成,

1 8)

(A) xy (B) 2xy (C) xy?1 (D) xy?7、设G为一单连通开区域，P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导，命题

a:?Pdx?Qdy?0，其中L为G内任一条分段光滑闭曲线，命题b:在G内

L?P?Q处??y?y处成立 ，命题c:Pdx?Qdy某一二元函数的全微分。则命题a,b,c满足（ ） （A）a,b,c彼此等价 （B）a与b等价与c不等价 （C）a与c等价与b不等价 （D）a,b,c彼此不等价 二 填空

?dx?9、 将?dx?10、??xyf(x8、

12?x2022x?x2f(x,y)dy在Y型区域下的二次积分为___ f(x2?y2)dy转换为极坐标形式下的二次积分___

3xx2?y2)d??____，其中D由y?x3及x??1,y?1所围成，且f连续。

22?12D?dx?(x?y)dy?___________ 12、?edy?_________,其中L为3x2?5y2?30的逆时针方向。

11、

0x21x?x2L13、设L为x?y?9，则F?(2xy?2y)i?(x?4x)j按L的逆时针方向运动一周所

_. 作的功为__________14、

22??2??xdy?ydx?____，其中L:16xL2?25y2?100的顺时针方向。

15、存在u(x,y)使du?(5x4?3xy2?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy,则u(x,y)=__

三、完成下列各题

cosxdx ?0x0yx22218、 求??(x?y?1)dxdy,其中D为x?y?4

16、

2dx?e?ydy 17、?6dy?6D22???0?x?1?d?,其中D： ?0?y?1?D20、求由r?2sin?与r?4sin?所围均匀薄片的形心

1x2?y2cos(x?y)d?，其中D为:x2?y2?r2 21、求lim2??er?0?rD19、 计算二重积分

?max?x??e2,y222、交换积分次序（1）

?dx?（2）?dy?11022x?x22?x2yf(x,y)dy；

33?y100f(x,y)dy??dy?f(x,y)dy

23、求

?(eLxsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy，其中a,b为正常数，L为曲线

y?2ax?x2上从点（2a，0）到点（0，0）的一段弧。

2224、设曲线积分?ydx?xdy，其中L为曲线y?1?1?x上从原点经过点（1，1）到点

L - 11 -

（2，0）的一段。 25、设曲线积分及

?Lxy2dx?yf(x)dy与路径无关，f(x)具有连续导数，且f(0)?0，求f(x)

?(1,1)(0,0)xy2dx?yf(x)dy

26、计算积分

?Lx2?y2ds，L:x2?y2?2x

第十一章 无穷级数

一、 填充题

1、几何级数的公比为q，当q满足 时，该级数发散。 2、当

????un?1nn发散，不能肯定

?un?1n发散，但若能用 审敛法或 审敛法判定级

数

?un?1发散，则

?un?1?n发散一定发散

?an?13.如果lim??，则?anxn的收敛半径R=

n??an?1n(x?2)2n4、?的收敛区间为 n3nn?1?5、如果幂级数二、 6、级数

?Cxnn?0?n和

?nCxnn?1?n?1的收敛半径分别为R1,R2，则R1与R2的关系为___

选择题

?an?1?n收敛是liman?0的（ ）

n??（A）充分条件，非必要条件； （B）必要条件，非充分条件； （C）充要条件； (D)既非充分也非必要。

1111????。。。（ ） 100102104106(A)大于等于?1100 (B)小于等于?1100 (C)等于?1100 (D)不确定

7、?8、级数(A) (C)

?an?1?n?1??n发散，

?bn?1?n收敛，则（ ）

(B) (D)

?(an?1?n?bn)发散

发散

?(an?1?n?1?n?bn)可能发散，也可能收敛

2?bn)发散

?abn?1nn?(a2n9、级数

n在x??4处是收敛的，则此级数在x?1处（ ） C(x?2)?n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性不能确定

xx2x3xn??????的和函数是（ ） 10、当x?4时，幂级数?42?423?43n?4nxx1?x) (C) ?ln(1?) (D) ln(1?) (A)?ln(4?x) (B)?4ln(4411、级数

?(lgx)n?0?n的收敛区间是（ ）

- 12 -

(A) (-1,1)

? (B) (-10,10) (C)(?110,110) (D) (110,10)

an?bnn12、幂级数?nx (0?a?b)，则所给级数的收敛半径R等于（ ） na?bn?0(A) b (B) 1a (C) 1b (D) R的值与a,b无关 x?1(x?1)2(x?1)313、幂级数1??2?3??在其收敛区间的两个端点处（ ）

323334(A)全是发散的 （B）左端点收敛，右端点发散

(C)全是收敛的 (D) 右端点收敛，左端点发散 14、设

?nn?(?1)unn?1n（

un?0)条件收敛，那么lim?u2k?1n??k?1???uk?12k?()

（A）1 （B）－1 （C）? （D）?? 15、设a?0，而级数

?an?12n收敛，那么

?(?1)n?1nann?a2（ ）

（A）发散 （B条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性与a有关 三、完成下列各题 16、判别级数（1）17、若级数

?2n!?n??n?，（2），（3）??的敛散性。 ?????nn?1?n?1?n?1nn?1?n?100??2n?n?n2?an?1?n收敛，

?bn?1?n收敛，且an?cn?bn (n?1,2,3,?)，证明

n??cn?1?n收敛。

18、若

?(?1)n?1nan(an?0)条件收敛，且Sn??an，求?(Sn??11?Sn?1)。

n?1n?1n?1?3x?1?na19、讨论级数?(?1)的敛散性。 20、求??的收敛域。 ?pnn?13x?1??n?1n?1?n2n21、求幂级数?x的收敛区间及和函数。

n!n?1??(?1)n?1(x?1)n22、求幂级数?的收敛区间及和函数，并求级数?的和。 nnn(2n?1)3n(2n?1)3n?1n?1123、将函数f(x)?展开成关于x?1的幂级数。

(x?2)(x?4)?n24、将函数f(x)?ln(1?x?2x2)展成x的幂级数。 25将函数y? arctanx? ln

12141?x展成x的幂级数。 1?x第十二章 微分方程

一、选择与填空

１、已知y?C?x为y?P(x)y?Q(x)y?0微分方程的解，那么该是（ ）。 （A）通解 （B）特解 （C）既非通解也非特解 （D）无法确定

2、已知y1,y2,y3为微分方程y?p(x)y?q(x)y?f(x)的三个线性无关的解，该方程的通解为（ ）。

（A）y?C1y1?C2y2?y3 （B）y?C1y1?C2y2?(C1?C2)y3

- 13 -

///2///（C）y?C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3 （D）y?C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3

uf(?02)du?ln2，则f(x)?（ ）

x2xx2x（A） eln2 （B） eln2 （C） e?ln2 （D） e?ln2 4、微分方程y//?5y/?6y?e3x?2的特解应具有形式为（ ）

3、若连续函数y?f(x)满足f(x)?2x?b （B）axe3x?b （C）axe3x?b （D）axe3x?bx

y?x??，且当?x?0时，?是?x5、已知函数y?f(x)在任意点x处的增量为?y?21?x的高阶无穷小，y(0)??，则y(1)?（ ）

（A）ae（A） 2? （B） 6、设曲线积分

3x? （A） e （A） ?e4

?4??L(f(x)?ex)sinydx?f(x)cosydy与路径无关，且f(x)具有一阶连续导

数，f(0)?0，则f(x)?（ ）

（A）(e?x?ex)2 （B）(ex?e?x)2 （C）(e?x?ex?2)2 （D）(2?e?x?ex)2

7 、以y?C1excos2x?C2exsin2x为通解微分方程的为_________。

8 、设f(x)具有二阶连续导数，且[xy(x?y)?yf(x)]dx?[f/(x)?x2y]dy?0为全微分方程，那么f(x)所满足的微分方程为________________________。 9、微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的通解为________________。 二 完成下列各题 10、 求y?/1的通解。 x?y11、求连续函数f(x)使之满足f(x)?2?x0f(t)dx?x2

12、设f(x)在[0,??)上连续，且满足f(t)?2?x2?y2?4t2??f(12x?y2)dxdy?e4?2/t2，求

f(x)。

13、已知y1?3,y2?3?x2,y3?3?x2?ex是微分方程y?p(x)y?q(x)y?f(x)的三个解，求该方程所对应的齐次方程的通解。

///14、求满足微分方程y?4y?4y?0且在点(0,1)处与y?1?2x相切的曲线方程。 x/15、已知y?e为y?p(x)y?x的一个解，求p(x)。

//16、求（1）y?3y?2y?xe///?2x，（2）y???ay?e，（3）y???y?xe的通解。

2x/x17、求连续函数f(x)使之满足f(x)?sinx???(x?t)f(t)dt。

0xx2n18、设有幂级数2??和函数为y(x)。（1）求收敛区间；（2）证明：和函数y(x)满

(2n)!n?1//足y?y??1；（3）求y(x)。

2xx19、设f(u)二阶可导，且z?f(esiny)满足zxx?zyy?ez，求f(u)。

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