第一课时 并集和交集

1.3集合的基本运算

第一课时并集和交集

课标要求素养要求

理解两个集合之间的并集和交集的含

义，能求两个集合的并集与交集.

能用三种语言(自然语言、图形语言、符

号语言)表达集合的并集和交集运算，发

展学生的数学抽象和数学运算素养.

新知探究

某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，现有

a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍

数的读过新书b.

问题(1)问至少读过一本书的有哪些同学？

(2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？

提示(1)至少读过一本书的有学号为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20的同学.

(2)同时读了a，b两本书的有学号为6，12，18的同学.

1.并集学习概念时要注意“三种语言”之间的转化

(1)自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.

(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.

(3)图形语言：如图所示

.

(4)运算性质：A∪B＝B∪A，A?A∪B，B?A∪B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A. 如果A?B，则A∪B＝B，反之也成立.

2.交集概念中的“且”即“同时”的意思

(1)自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B 的交集.

(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.

(3)图形语言：如图所示.

(4)运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?.如果A?B，则A∩B＝A，反之也成立.

拓展深化

[微判断]

1.若A＝{1，2}，B＝{3，4}，则A与B没有交集.(×)

提示交集为?.

2.若A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，则A∪B＝{1，2，1，3，4}.(×)

提示A∪B＝{1，2，3，4}.

3.若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B).(√)

4.若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B).(×)

提示不一定成立，x不一定是A，B的公共元素.

[微训练]

1.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于________.

解析A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}.

答案{x|x≥－1}

2.若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1<x<4}，则P∩Q＝________.

解析如图所示，P∩Q＝{x|1≤x<4}.

答案{x|1≤x<4}

[微思考]

1.并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况，你知道有哪三种情况吗？

提示“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪

B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.可用图表示.

2.某次校运动会上，高一(一)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛.已知两项都报的有3人，你能算出高一(一)班参赛人数吗？

提示19人. 参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19(人).

题型一并集的概念及简单应用

【例1】(1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝()

A.{1，2，3，4}

B.{1，2，3}

C.{2，3，4}

D.{1，3，4}

(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝()

A.{x|－1≤x＜3}

B.{x|－1≤x≤4}

C.{x|x≤4}

D.{x|x≥－1}

解析(1)由定义知A∪B＝{1，2，3，4}.

(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}.

答案(1)A(2)C

规律方法求集合并集的两种方法

(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到.

【训练1】(1)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝() A.{0} B.{0，3}

C.{1，3，9}

D.{0，1，3，9}

(2)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.

解析(1)易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}.

(2)A∪B＝{x|x>1}∪{x|x>0}＝{x|x>0}.

答案(1)D(2){x|x>0}

题型二交集的概念及简单应用

【例2】(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，

则图中阴影部分表示的集合为()

A.{2}

B.{3}

C.{－3，2}

D.{－2，3}

(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝()

A.{x|0≤x≤2}

B.{x|1≤x≤2}

C.{x|0≤x≤4}

D.{x|1≤x≤4}

解析(1)易知A＝{1，2，3，4

，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.

(2)在数轴上表示出集合A 与B ，如图所示.

则由交集的定义知，A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}.

答案 (1)A (2)A

规律方法 求集合A ∩B 的常见类型

(1)若A ，B 的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.

(2)若A ，B 的元素是有序数对，则A ∩B 是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.

(3)若A ，B 是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.

【训练2】 (1)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )

A.5

B.4

C.3

D.2

(2)已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则M ∩N ＝( )

A.x ＝3，y ＝－1

B.(3，－1)

C.{3，－1}

D.{(3，－1)}

解析 (1)分别令3n ＋2＝6，8，10，12，14，只有3n ＋2＝8，3n ＋2＝14有自然数解，故A ∩B ＝{8，14}，故选D.

(2)由?????x ＋y ＝2，x －y ＝4，得?????x ＝3，y ＝－1，

故M ∩N ＝{(3，－1)}. 答案 (1)D (2)D

题型三 并集、交集的运算性质及应用

【例3】 设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋(a 2－5)＝0}.

(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；

(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.

解 (1)由题可知：A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，将x ＝2代入方程x 2＋2(a －1)x ＋(a 2－5)＝0得：4＋4(a －1)＋(a 2－5)＝0，解得：a ＝－5或a ＝1.

当a ＝－5时，集合B ＝{2，10}，符合题意； 当a ＝1时，集合B ＝{2，－2}，符合题意. 综上所述：a ＝－5或a ＝1.

(2)若A ∪B ＝A ，则B ?A ，

∵A ＝{1，2}，∴B ＝?或B ＝{1}或{2}或{1，2}. 若B ＝?，则Δ＝4(a －1)2－4(a 2－5)＝24－8a <0， 解得a >3；

若B ＝{1}，则?????Δ＝24－8a ＝0，

x ＝－2（a －1）2＝1－a ＝1， 即?????a ＝3，a ＝0，

不成立； 若B ＝{2}，则?????Δ＝24－8a ＝0，

x ＝－2（a －1）2＝1－a ＝2， 即?????a ＝3，a ＝－1，

不成立； 若B ＝{1，2}，则?????Δ＝24－8a >0，1＋2＝－2（a －1），1×2＝a 2－5，

即

?

?

?

??a<3，

a＝－

1

2

，

a＝±7，

此时不成立.

综上，a的取值范围是{a|a>3}.

规律方法利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点

(1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.

(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解.

【训练3】已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围.

解由A∩B＝?，

(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.

(2)若A≠?，如下图：

∴

??

?

??2a≥－1，

a＋3≤5，

2a≤a＋3，

解得－1

2≤a≤2.

综上所述，a的取值范围是

?

?

?

a??

?

?

?

?

－1

2≤a≤2或a＞3.

一、素养落地

1.通过对并集、交集概念的理解，培养数学抽象素养，通过进行集合间的并集、交集的运算提升数学运算素养.

2.对并集、交集概念的理解

(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.

(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B ＝?.

3.集合的交、并运算中的注意事项

(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.

(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.

二、素养训练

1.设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝()

A.{2}

B.{1，2，4}

C.{1，2，4，6}

D.{1，2，3，4，6}

解析由题意可得：A∪B＝{1，2，4，6}，∴(A∪B)∩C＝{1，2，4}.故选B.

答案 B

2.已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q＝()

A.{x|－1＜x＜2}

B.{x|0＜x＜1}

C.{x|－1＜x＜0}

D.{x|1＜x＜2}

解析结合数轴可得P∪Q＝{x|－1＜x＜2}.故选A.

答案 A

3.已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分

所表示的集合是()

A.{0，1}

B.{0}

C.{－1，2，3}

D.{－1，0，1，2，3}

解析由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，

P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}.故选D.

答案 D

4.设集合A＝{(x

，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝

x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则() A.a＝3，b＝

2 B.a＝2，b＝3

C.a＝－3，b＝－2

D.a＝－2，b＝－3

解析∵A∩B＝{(2，5)}，

∴

??

?

??5＝2a＋1，

5＝2＋b，

解得

??

?

??a＝2，

b＝3，

故选B.

答案 B

5.已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<3或x≥7}，求：

(1)A∪B；(2)C∩B.

解(1)由集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，把两集合表示在数轴上如图所示：

得到A∪B＝{x|2<x<10}；

(2)由集合B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<3或x≥7}，把两集合表示在数轴上如图所示：则C∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}.

基础达标

一、选择题

1.A，B是两个集合，则集合{x|x∈A，且x∈B}可用阴影表示为()

解析集合{x|x∈A，且x∈B}＝A∩B，故D正确.

答案 D

2.设集合A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于()

A.{－2}

B.{－2，3}

C.{－1，0，－2}

D.{－1，0，－2，3}

解析因为A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2，3}，所以A∪B＝{－1，0，－2，3}.故选D.

答案 D

3.若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝()

A.{x|－2<x<－1}

B.{x|－2<x<3}

C.{x|－1<x<1}

D.{x|1<x<3}

解析∵A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，

∴A∩B＝{x|－2<x<－1}，故选A.

答案 A

4.设集合A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1，4，x}，则满足条件的实数x 的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析∵A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4，∵A∪B＝{1，4，x}，∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2，故满足条件的实数x有0，2，－2，共3个，故选C.

答案 C

5.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于()

A.{x|1≤x<3}

B.{x|1≤x≤3}

C.{x|0≤x<1或x>3}

D.{x|0≤x≤1或x≥3}

解析由题意知A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴A*B＝{x|0≤x<1或x>3}.

答案 C

二、填空题

6.满足{1}∪B＝{1，2}的集合B的个数是________.

解析由{1}∪B＝{1，2}，故B＝{2}，{1，2}，共2个.

答案 2

7.若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是________.

解析A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠?，得a≥－1.

答案{a|a≥－1}

8.集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a＝________. 解析∵A∪B＝{0，1，2，a，a2}，又A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.

答案 4

三、解答题

9.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.

解因为A∩B＝{3}，所以3∈A.

从而可得p＝8，所以A＝{3，5}.

又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}，所以B＝{2，3}.

所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.

由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.

综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.

10.已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围.

解(1)当B＝?，即k＋1>2k－1时，k<2，

满足A∪B＝A.

(2)当B ≠?时，要使A ∪B ＝A ，

只需?????－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，

解得2≤k ≤52.

综合(1)(2)可知k 的取值范围是??????k ?

??k ≤52. 能力提升

11.(多空题)某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有________人，同时参加数学和化学小组的有________人.

解析 由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一

名同学同时参加数学、物理、化学小组.

因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小

组的有4人，

所以只参加物理小组的有15－6－4＝5(人).

设同时参加数学和化学小组的人数为x ，

则只参加数学小组的人数为26－6－x ＝20－x ，

只参加化学小组的人数为13－4－x ＝9－x .

又总人数为36，

即20－x ＋x ＋6＋4＋5＋9－x ＝36，

所以44－x ＝36，解得x ＝8，

即同时参加数学和化学小组的有8人.

答案 5 8

12.设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x <－1或x >2}.

(1)若A ∩B ＝?，求实数a 的取值范围；

(2)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围.

解 集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x <－1或x >2}，

(1)若A ∩B ＝?，则?????

a －1≥－1，a ＋1≤2，即?????a ≥0，

a ≤1.

故实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}.

(2)若A ∪B ＝B ，则A ?B .

所以a ＋1≤－1或a －1≥2，解得a ≤－2或a ≥3.

则实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥3}.

创新猜想

13.(多选题)若P ＝{1，2，3，m }，Q ＝{m 2，3}，且满足P ∩Q ＝Q ，则m 的值为(

) A.－1 B. 2

C.－ 2

D. 3

解析 由P ∩Q ＝Q ，可知Q ?P ，

∴m 2＝1或m 2＝2或m 2＝m .

解得m ＝±1或m ＝±2或m ＝0.

经检验m ＝1时不满足集合中元素的互异性，舍去.

∴m ＝－1或m ＝±2或m ＝0.

答案 ABC

14.(多空题)设集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |－5<x <32}，C ＝{x |1－2a <x <2a }.

(1)若C ＝?，则实数a 的取值范围为________；

(2)若C ≠?且C ?(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________.

解析 (1)∵C ＝{x |1－2a <x <2a }＝?，∴1－2a ≥2a ，

∴a ≤14.

(2)∵C ＝{x |1－2a <x <2a }≠?，

∴1－2a <2a ，即a >14.

∵A ＝{x |－1<x <4}，B ＝???x ????

??－5<x <32， ∴A ∩B ＝???x ?

?????－1<x <32. ∵C ?(A ∩B )，∴?????1－2a ≥－1，2a ≤32

，a >14，

解得14<a ≤34. 答案 (1)???a ??????a ≤14 (2)???a ????

??14<a ≤34

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ekc1.html