【南方新课堂】2019高考新课标数学(理科)二轮专题复习检测 专题五第3讲圆锥曲线的综合问题 含解析
更新时间:2023-09-02 17:42:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第3讲 圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1.(2016·韶关模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线x +3y +1=0垂直,则双曲线的离心率等于( ) A.6 B.233 C.10 D. 3 解析:由于双曲线的一条渐近线与直线x +3y +1=0垂直,则双曲
线的渐近线方程为y =±3x ,可得b a
=3,可得b 2=9a 2,即c 2-a 2=9a 2. ∴c 2=10a 2
,故离心率为e =c a =10. 答案:C
2.(2016·衡水模拟)已知椭圆x 225+y 2
16
=1内有两点A (1,3),B (3,0),P 为椭圆上一点,则|PA |+|PB |的最大值为( )
A .3
B .4
C .5
D .15
解析:在椭圆中,由a =5,b =4,得c =3,故焦点为(-3,0)和(3,0),点B 是右焦点,记左焦点为C (-3,0).
由椭圆的定义得|PB |+|PC |=10,
∴|PA |+|PB |=10+|PA |-|PC |,
∵||PA |-|PC ||≤|AC |=5,∴当点P ,A ,C 三点共线时,|PA |+|PB |取得最大值15.
答案:D
3.已知椭圆中心在原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,P (2,3)是椭圆上一点,且|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等差数列,则椭圆方程为( )
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百度文库,精选试题 A.x 28+y 26
=1 B.x 216+y 26=1 C.x 28+y 24=1 D.x 216+y 24
=1 解析:设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0). 由点(2,3)在椭圆上知4a 2+3b 2=1. 又|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等差数列,
则|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|,
即2a =2·2c ,c a =12
. 又c 2=a 2-b 2,所以综上可得a 2=8,b 2=6. 答案:A
4.(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与抛物线y 2=x 的一个交点的横坐标为x 0,若x 0>1,则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )
A.? ????1,62 B .(2,+∞)
C .(1,2)
D.? ????62,+∞ 解析:双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线为y =b a x , 联立???y 2=x ,
y =b a
x 消去y ,得b 2a 2x 2=x . 由x 0>1,知b 2
a
2<1,b 2<a 2. ∴e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2<2,因此1<e < 2. 答案:C
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百度文库,精选试题 5.已知椭圆x 24+y 2
b 2=1(0<b <2)与y 轴交于A ,B 两点,点F 为该椭圆的一个焦点,则△ABF 的面积的最大值为( )
(导学号 55460136)
A .1
B .2
C .4
D .8
解析:不妨设点F 的坐标为(4-b 2,0),而|AB |=2b ,
∴S △ABF =12×2b ×4-b 2=b 4-b 2=b 2(4-b 2)≤b 2+4-b 22
=2(当且仅当b 2=4-b 2,即b 2=2时取等号),故△ABF 面积的最大值为2.
答案:B
6.在直线y =-2上任取一点Q ,过Q 作抛物线x 2=4y 的切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 恒过的点的坐标为( )
(导学号 55460137)
A .(0,1)
B .(0,2)
C .(2,0)
D .(1,0)
解析:设Q (t ,-2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),抛物线方程变为y =14
x 2,则y ′=12x ,则在点A 处的切线方程为y -y 1=12
x 1(x -x 1),化简得y =-12x 1
x -y 1, 同理,在点B 处的切线方程为y =-12
x 2x -y 2, 又点Q (t ,-2)的坐标适合这两个方程,
代入得-2=-12x 1t -y 1,-2=-12
x 2t -y 2, 这说明A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都满足方程-2=-12
xt -y ,即直线AB 的方程为y -2=-12
tx ,因此直线AB 恒过点(0,2).
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百度文库,精选试题 答案:B
二、填空题
7.已知直线l 过椭圆8x 2+9y 2=72的一个焦点,斜率为2,l 与椭圆相交于M 、N 两点,则弦|MN |的长为________.
解析:由?
????y =2(x -1),8x 2+9y 2=72得11x 2-18x -9=0. 由根与系数的关系,得x M +x N =1811,x M ·x N =-911
. 由弦长公式|MN |=1+k 2|x M -x N |=
5× ? ????18112+4×911= 3 600112=6011
. 答案:6011
8.(2016·山东卷)已知双曲线E :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0).矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.
解析:由已知得|AB |=|CD |=2b 2
a
, |BC |=|AD |=|F 1F 2|=2c .
∵2|AB |=3|BC |,∴4b 2
a
=6c ,2b 2=3ac . ∴2b 2a
2=3c a ,则2(e 2-1)=3e . 又e >1,解得e =2? ??
??e =-12舍去. 答案:2
9.(2016·安徽安庆二模)已知抛物线C :x 2=8y 的焦点为F ,动点
Q 在C 上,圆Q 的半径为1,过点F 的直线与圆Q 切于点P ,则FP →·FQ
→的最小值为________.
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百度文库,精选试题 解析:如图,FP →·FQ →=|FP →|2=|FQ →|2-1.
由抛物线的定义知:|FQ →|=d (d 为点Q 到准线的距离),易知,抛物
线的顶点到准线的距离最短,∴|FQ →|min =2,
∴FP →·FQ →的最小值为3.
答案:3
三、解答题
10.(2016·珠海调研)如图,椭圆E :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0),经过点A (0,-1),且离心率为22
.
(导学号 55460138)
(1)求椭圆E 的方程;
(2)经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为定值.
(1)解:由题设知c a =22
,b =1, 结合a 2=b 2+c 2,解得a =2,
∴椭圆的方程为x 22
+y 2=1.
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百度文库,精选试题 (2)证明:由题设知,直线PQ 的方程为y =k (x -1)+1(k ≠2),代入x 22
+y 2=1,得(1+2k 2)x 2-4k (k -1)x +2k (k -2)=0, 由已知Δ>0,
设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1x 2≠0,
则x 1+x 2=4k (k -1)1+2k 2,x 1x 2=2k (k -2)1+2k 2
. 从而直线AP ,AQ 的斜率之和
k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-k x 2
=2k +(2-k )? ??
??1x 1+1x 2=2k +(2-k )x 1+x 2x 1x 2=2k +(2-k )4k (k -1)2k (k -2)=2k -2(k -1)=2.
因此,直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.
11.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y =x 24与直线l :y =kx +a (a >0)交于M ,N 两点.
(导学号 55460139)
(1)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;
(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由.
解:(1)由题设可得M (2a ,a ),N (-2a ,a ),
或M (-2a ,a ),N (2a ,a ).
又y ′=x 2,故y =x 24
在x =2a 处的导数值为a ,C 在点(2a ,a )处的切线方程为y -a =a (x -2a ), 即ax -y -a =0.
y =x 24
在x =-2a 处的导数值为-a ,C 在点(-2a ,a )处的切线方程为y -a =-a (x +2a ),
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故所求切线方程为ax -y -a =0和ax +y +a =0.
(2)存在符合题意的点.证明如下:
设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2.
将y =kx +a 代入C 的方程,得x 2-4kx -4a =0.
故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a .
从而k 1+k 2=y 1-b x 1+y 2-b x 2
= 2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2)x 1x 2
=k (a +b )a . 当b =-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,
故∠OPM =∠OPN ,∴点P (0,-a )符合题意.
12.(2016·佛山质检)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率为32
,左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.(导学号 55460140)
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设椭圆E :x 24a 2+y 24b
2=1,P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y =kx +m 交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .
①求|OQ ||OP |
的值; ②求△ABQ 面积的最大值.
解:(1)由题意知2a =4,则a =2. 又c a =32
,a 2-c 2=b 2,可得b =1,
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百度文库,精选试题 ∴椭圆C 的方程为x 24
+y 2=1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216+y 24
=1. ①设P (x 0,y 0),|OQ ||OP |
=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0). ∵x 204
+y 20=1, 又(-λx 0)216+(-λy 0)24=1,即λ24? ????x 204+y 20=1, ∴λ=2,即|OQ ||OP |
=2. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
将y =kx +m 代入椭圆E 的方程,
可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2.(*)
则有x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-161+4k 2
. ∴|x 1-x 2|=416k 2+4-m 2
1+4k 2
. ∵直线y =kx +m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), ∴△OAB 的面积
S =12|m ||x 1-x 2|=216k 2+4-m 2|m |1+4k 2
= 2(16k 2+4-m 2)m 2
1+4k 2
=2? ????4-m 21+4k 2m 21+4k 2. 设m 2
1+4k 2
=t . 将y =kx +m 代入椭圆C 的方程,
可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2.(**)
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由(*)(**)可知0<t≤1,
因此S=2(4-t)t=2-t2+4t,故S≤2 3.当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2 3.由①知,△ABQ的面积为3S,
∴△ABQ面积的最大值为6 3.
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