快速傅里叶变换FFT41填空题如果序列是一长度为64点

第一章 快速傅里叶变换（FFT）

4.1 填空题

（1）如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0?n?63)，序列h(n)是一长度为128点的有限长序列(0?n?127)，记y(n)?x(n)?h(n)（线性卷积），则y(n)为 点的序列，如果采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT的点数至少为 点。 解：64+128-1＝191点; 256

(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100?s，每次复加需20?s，今用来计算N=1024点的DFT[x(n)]。问直接运算需（ ）时间，用FFT运算需要（ ）时间。

解：①直接运算：需复数乘法N2次，复数加法N（N?1）次。 直接运算所用计算时间T1为

T1?N2?100?N（N?1）?20?125808640?s?125.80864s

② 基2FFT运算：需复数乘法

Nlog2N次，复数加法Nlog2N次。 2用FFT计算1024点DTF所需计算时间T2为

T2?2?kNNlog2N?100?Nlog2N?20?716800?s?0.7168s。 2的

(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子e?j来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。 解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N点的FFT的运算量为复乘 、复加 。

NN解：mF?L?log2N；aF?NL?Nlog2N

224.2 选择题

1．在基2DIT—FFT运算中通过不断地将长序列的DFT分解成短序列的DFT，最后达到2点DFT来降低运算量。若有一个64点的序列进行基2DIT—FFT运算，需要分解 次，方能完成运算。 A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B

2．在基2 DIT—FFT运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列

点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。 A. 8 B. 16 C. 1 D. 4 解：C

3．在时域抽取FFT运算中，要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。在16点FFT中，原来x(9)的位置扰乱后信号为： 。 A． x(7) B. x(9) C. x(1) D. x(15) 解：B

4.用按时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。 A.N B.N2 C.N3 D.Nlog2N 解：D

5.直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。 A.N B.N2 C.N3 D.Nlog2N 解：B

6.N点FFT所需的复数乘法次数为( )。 A.N C.N3 解：D

7.下列关于FFT的说法中错误的是( )。 A.FFT是一种新的变换 B.FFT是DFT的快速算法

C.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 D.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数) 解：A

8.不考虑某些旋转因子的特殊性，一般一个基2 FFT算法的蝶形运算所需的复数乘法

及复数加法次数分别为( )。 A.1和2 C.2和1 解：A

9．计算N=2L（L为整数）点的按时间抽取基-2FFT需要( )级蝶形运算。 A．L 解：A

10.基-2 FFT算法的基本运算单元为( )

B.L/2

C.N

D.N/2

B.1和1 D.2和2

B.N2 D.(N/2)log2N

A.蝶形运算 C.相关运算 解：A

B.卷积运算 D.延时运算

11.计算256点的按时间抽取基-2 FFT，在每一级有______个蝶形。( ) A.256 C.128 解：C

12.如图所示的运算流图符号是_______基 2FFT算法的蝶形运算流图符号。( ) A.按频率抽取 B.按时间抽取 C.A、B项都是 D.A、B项都不是 解：B

13.求序列x(n)的1024点基2—FFT，需要_____次复数乘法。( ) A.1024 C.512×10 解：C

B.1024×1024 D.1024×10 B.1024 D.64

4.3 问答题

1.简述频域抽选法和时域抽选法的异同。

答：相同点：（1）进行原位运算（2）运算量相同，均为次

复加；不同点：（1）时域抽选法输入为倒位序，输出为自然顺序。频域抽选法正好与此相反，但时域抽选法也有输入为自然顺序、输出为倒位序的情况（2）蝶形运算不同 2.回答以下问题：

（1） （2） （3）

解：（1）

画出按时域抽取N?4点基2FFT的信号流图。

FT利用流图计算4点序列x(n)?(2,1,3,4)（n?0,1,2,3）的DNlog2N次复乘、Nlog2N2。

试写出利用FFT计算IFFT的步骤。

x(0)x(2)x(1)x(3)Q0(0)Q0(1)?1Q(0)Q1(1)?11X(0)?j?1jX(1)X(2)X(3)rk010W20W2011W20W2lk010W40W4011W40W42W40W42

4点按时间抽取FFT流图 加权系数

3W40W43

?Q(0)?x(0)?x(2)?2?3?5 （2） ?0

?Q0(1)?x(0)?x(2)?2?1??1?Q1(0)?x(1)?x(3)?1?4?5 ??Q1(1)?x(1)?x(3)?1?4??3X(0)?Q0(0)?Q1(0)?5?5?10

X(1)?Q0(1)?W41Q1(1)??1?j?3

X(2)?Q0(0)?W42Q1(0)?5?5?0 X(3)?Q0(1)?W43Q1(1)??1?3j

即： X(k)?(10,?1?3j,0,?1?3j),k?0,1,2,3 1）对X(k)取共轭，得X*(k)；

2）对X?(k)做N点FFT； 3）对2）中结果取共轭并除以N。

3.已知两个N点实序列x(n)和y(n)得DFT分别为X(k)和Y(k)，现在需要求出序列x(n)和y(n)，试用一次N点IFFT运算来实现。 解：依据题意 （3）具体步骤如下：

x(n)?X(k),y(n)?Y(k)

取序列 Z(k)?X(k)?jY(k) 对Z(k)作N点IFFT可得序列z(n)。 又根据DFT性质

IDFT[X(k)?jY(k)]?IDFT[X(k)?jIDFT[Y(k)]?x(n)?jy(n)

由原题可知，x(n),y(n)都是实序列。再根据z(n)?x(n)?jy(n)，可得

x(n)?Re[z(n)]

y(n)?Im[z(n)]

4.4 计算题

1. 对于长度为8点的实序列x(n)，试问如何利用长度为4点的FFT计算x(n)的8点DFT？写出其表达式，并画出简略流程图。 解：X(k)??x(n)W8nk

n?07??x(2r)Wr?0332rk8??x(2r?1)W8(2r?1)kr?0k83 ??g(r)Wr?0rk4?W?h(r)Wr?03rk4 ①

?G(k)?W8kH(k),k?0,1,2,3X(k?1)??g(r)Wr?03r(k?4)4?Wk?48r(k?4) h(r)W?4r?03 ②

??g(r)Wr?03rk4?Wk8?h(r)Wr?03rk4

?G(k)?W8kH(k),k?0,1,2按照式①和式②可画出如下图所示的流程图。

G(0)x(0)G(1)x(2)4点G(2)DFTx(4)G(3)x(6)x(1)x(3)x(5)H(0)W80H(1)W81X(0)X(1)X(2)X(3)?1?14点H(2)W82DFT3H(3)W8x(7)?1?1X(4)X(5)X(6)X(7)

2.X[k]是N点序列x(n)的DFT，N为偶数。两个 x1[n]? x2[n]?1(x[2n]?x[2n?1]) 2N点序列定义为 21N(x[2n]?x[2n?1]),0?n??1 22NX1[k]和X2[k]分别表示序列x1[n]和x2[n]的点DFT，试由X1[k]和X2[k]确定

2x[n]N

点DFT。

解：DFT?x[2k]???x[2k]Wk?0N?12mkN2??x[l]Wl?0N?1ml2N2 （l为偶数）

??x[l]L?0N?11?W1NmlWN?(X[m]?X[m?]) 222lN2N

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