不确定条件下交通网络中的行驶时间估计

第一届“中国矿业大学”研究生

数学建模竞赛

学 院 信电学院 参赛队号 1. 队员姓名 2.

3.

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第一届“中国矿业大学”研究生

数学建模竞赛

题 目 不确定条件下交通网络中的行驶时间估计

摘 要：

本文通过利用交通网络中测量行驶时间的设备来估算测量交通网络中路段上的行驶时间，掌握交通网络中每一条路段的行驶时间及其波动情况。

问题一，化整为零，将两交叉口之间的弧段与其相邻的下游交叉口合称为一个城市道路路段。在路段上的运行时间包括车辆行驶的时间和在路段中延误的时间,路段的行驶时间包括车辆在路段中的运行时间和通过交叉口的时间；路段中事故等待时间和过交叉口的排队等待时间利用排队论计算。通过估算时间表达式的输入量，去确定测量设备A、B、C的数量和位子。通过模型验证，得出模型准确率较高，均方差为？？

问题二，分析A、B、C三种测量设备的市场占有率，得出模型一在实际交通中设备数量很难满足要求，同时三种仪器也都分别存在着一定程度的测量误差，因此对于问题一中所建的模型参数值造成影响，从而使得利用所建模型求得的估计道路行驶估计时间与实际行驶时间之间的误差变大，均方差为？？。

问题三，测量设备A、B、C不满足问题一的条件，包括存在设备测量误差和设备数量不满足两种情况。设备测量误差问题，用阈值法法将故障数据找出，再修复故障数据，从而改进数据质量，提高路段行程时间估计的精度和稳定性。测量设备数量不足问题，在有限的条件下，对设备进行二次开发，找出流量、占有率及平均车长等与速度的关系来推导速度，估计路段运行时间。

问题四，通过最优的放置设备使得在资源有限的条件下估计出可信度高的行驶时间。此问当成多目标函数，目标1是估算的运行时间可信度最高，目标2是测量成本最低。采取多元线性规划模型求解，最后采用Lingo软件求解。

问题五，假设问题一中建立的模型测量出的行驶时间准确率较高。化整为零，将总的行驶路程划分为N个路段，预测下一个10分钟后的行驶时间。第K段路段t时刻的入口车流量受与子相连的三个路段的出口出流量的影响，路段k入口的车流量等于路段a的左转车流量、路段b的直行车流量和路段c的右转车流量之和。通过上游相连路段对本路段下一时刻产生的影响，环环相扣，从而得出10分钟以后路段的行驶时间。通过模型验证，得出模型准确率较高，均方差为？？

关键词：排队论、通行能力、多目标优化

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一.问题重述

由于交通网络中不确定性因素的存在，车辆的行驶时间具有不确定性。在此情况下，无论是对于驾驶员还是对于交通管理者，都希望准确的掌握交通网络中每一条路段的行驶时间及其波动情况，随着科技的发展，有很多种设备都能测量交通网络中路段上的行驶时间，假设交通网络中有A、B、C三种测量行驶时间的设备。

1. 单点测量设备A，例如：摄像头。设备A可以测量出其所在位置所有经过该点车辆的行驶速度(可以反推行驶时间)，但是这种测量设备误差大，精度不高。

2. 两点或者多点测量设备B，例如无线电子收费设备。设备B可以记录车辆的牌号以及该车辆经过两点或者多个点的时间，计算时间差就可以得到该车辆的行驶时间，优点：精度较高。缺点：市场占有率低，即：这种设备仅能测得安装该设备的车辆，不能测得所有车辆的行驶时间。

3. 移动测量设备C，例如：出租车的GPS或者车辆使用者的手机信号。该设备可以记录下车辆的行驶轨迹。优点：设备C可以测量出车辆在整个网络中路线的时间，缺点：误差较大，市场占有率也不高。

由于现实交通网络的限制A、B、C三种设备不能全部覆盖整个网络。所以，交通管理者通常仅能得到部分的交通网络的数据。假设车辆在交通网络中的行驶时间包括路段上的行驶时间和通过路口(包括左转、右转或直行)的行驶时间。由于不确定性因素的影响，这些行驶时间可以用随机变量表示，例如在早上8:00-8:05之间，某路段上行驶时间的均值是3.6分钟，标准差是1分钟，交通管理部门欲获取交通网络中每一条路段和通过每个路口的行驶时间(注：这里的行驶时间包括其统计特征，例如均值、标准差、协方差等信息)。

问题1：请建立数学模型，说明当A、B、C三种设备的数量以及位置满足什么条件时，可以计算(或者估计)出交通网络中每一条路段的行驶时间以及通过每个路口的时间，尤其是测量设备没有覆盖的路段或者区域，相关的行驶时间如何估计。备注：由于信号灯、交通堵塞等因素的影响，一般情况下车辆通过路口时左转、右转、直行的行驶时间都不相同。

问题2：考虑A、B、C三种设备的测量误差和市场占有率，分析问题1中你的模型所测量出的行驶时间的准确率。

问题3：如果A、B、C三种设备的不能满足问题1中的条件，请建立数学模型，如何估计可信度较高的整个网络每一条路段的行驶时间和路口通过时间。 问题4：假设A、B、C三种设备用于测量的成本各不相同（注：这里的成本包括仪器本身的价格和采集到数据花费等），请建立数学模型，如何最优的放置设备使得在资源有限的条件下估计出可信度高的行驶时间。

问题5：当A、B、C三种设备的数量以及位置满足问题1的条件时，建立模型，通过已经获得的行驶时间数据预测下一时间段(例如下一个5分钟或者10分钟)的行驶时间及其准确性。

二.模型的假设

1、假设从网络查找的数据都是真实可靠地；

2、假设红绿灯周期都为50s(红19s,黄3s,绿28s)； 3、假设不考虑行人的影响；

4、假设事故发生的时，交警1小时内能恢复道路通畅。

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三．符号说明 主要符号 符号意义 总的行驶路程 整个路程行驶的总时间 第k段路段交叉口之间行驶时间 第k段路段通过交叉路口行驶时间 第k段路段等待时间 环形路口车辆通行时间 十字路口车辆通行时间 红绿灯路口排队等待时间 路段中故障点排队等待时间 第k段路段道路长度(X路段) 第k段路段平均行驶速度 路段某地点车速 路段某地点车速观测方差 车辆经过第k路段十字交叉路口的车速 十字交叉路口道路宽度 到达交叉口排队n辆车 示(0,t?时间内到达的车辆数 第k条时段道路时间占有率 第k时段通过A的全部车辆数 单点测量设备测得的j车的行驶速度 第k时段，测量的车辆的平均车速 k段平均有效车长 S总 T总 Tr(k) Tg(k) Td(k) th(k) ts(k) td1 td2 L(k) ?L(k) ?t ?t2 vts(k) d Cn(1,2,?) Q(t) Ok Nk vLj vL(k) lk

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四、问题的分析

4.1问题一的分析

整段路程较为复杂，化整为零，将两交叉口之间的弧段与其相邻的下游交叉口合称为一个城市道路路段。在路段上的运行时间包括车辆行驶的时间和在路段中延误的时间,路段的行驶时间包括车辆在路段中的运行时间和通过交叉口的时间；路段中延误的时间，包括车辆在路段中遇事故等待时间时间和过交叉口的排队等待时间。通过要求的估计时间表达式的输入量，去确定测量设备A、B、C的数量和位子。 4.2问题二的分析

通过调查发现A、B、C三种测量设备的市场占有率对模型一的建立有一定的影响，同时三种仪器也都分别存在着一定程度的测量误差，因此对于问题一中所建的模型参数值造成影响，从而使得利用所建模型求得的估计道路行驶估计时间与实际行驶时间之间的误差变大。 4.3问题三的分析

测量设备A、B、C不满足问题1的条件，包括存在设备测量误差和设备数量不满足两种情况。设备测量误差问题，用阈值法法将故障数据找出，再修复故障数据，从而改进数据质量，提高路段行程时间估计的精度和稳定性。测量设备数量不足问题，在有限的条件下，对设备进行二次开发，找出流量、占有率及平均车长等与速度的关系来推导速度，估计路段运行时间。 4.4问题四的分析

根据题意，需要通过最优的放置设备使得在资源有限的条件下估计出可信度高的行驶时间，主要要求有两个，一是资源有限，一是行驶时间可信度高。于是本文在解决这个问题时将其分为两个最值求解的问题，分别是可信度最高问题和测量成本最低问题，可采取多元线性规划模型求解。另外由题意，测量成本应包含两个部分：设备成本和采集数据成本，本文在处理采集数据成本时，设每辆车的数据采集成本为b，再根据车流量Qt计算，即采集数据成本?b?Qt，最后采用Lingo软件求解。 4.5问题五的分析

假设问题1中建立的模型测量出的行驶时间准确率较高。同问题1，将总的行驶路程划分为N个路段，预测下一个10分钟后的行驶时间。第K段路段t时刻的入口车流量受与子相连的三个路段的出口出流量的影响，路段k入口的车流量等于路段a的左转车流量、路段b的直行车流量和路段c的右转车流量之和。通过上游相连路段对本路段下一时刻产生的影响，环环相扣，从而得出10分钟以后路段的行驶时间。

五．模型的建立与解析

5.1问题一建模 5.1．1 路段划分

将总的行驶路程（S总）分成一个个路段分析处理，路段如图2.5所示。整个路程行驶的总时间(T总)等于各路段行驶时间的叠加。

在进行路段行程时间估计之前，应对路段进行明确定义。不同道路由于其功能性质的不同，各自的结构特点不同。城市道路与公路相比，无论从结构还是功能上都要复杂得多，其功能多样，组成复杂，行人交通量大，车辆多、类型杂、车速差异大，交叉口多，沿路量测建筑物密集，道路交通量分布不均衡，政策性强等特点。由于城市用地紧凑，居民集中，建筑物鳞次栉比，造成交叉路段繁多，

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两交叉口之间路段较短，车流受信号控制影响明显。由于车辆在受到信号控制影响时，车辆滞留在道路上，所以在计算车辆运行时间时，很难将交叉口和两交叉口之间弧段分开来考虑，因此，在定义城市路段时，将两交叉口之间的弧段与其相邻的下游交叉口合称为一个城市道路路段。

城市中交叉口（这里单指平面交叉口）按照不同划分标准，有不同的类型。如按照交叉口的几何形式分，交叉口可分为十字交叉口、X 形交叉口、T 形交叉口、Y 形交叉口以及多路交叉口等。本文基于研究的需要，将交叉口按照交通组织形式分为有车流交错的信号控制交叉口和无车流交错的环形交叉口，如下图1所示。

图 1（a）信号控制交叉口 图 1（b）环形交叉口 本文在对含有信号控制交叉口路段进行研究的时候，以十字信号控制交叉口为例进行研究，X 形、T 形、Y 形信号控制交叉口与十字信号控制交叉口在本文的估计路段行程时间的研究中没有本质区别。 车辆在进入交叉口时，由于不同行车方向的绿灯时长，以及直行车辆、左转车辆、右转车辆各自的运行特点不同，加之不同方向车辆之间的相互影响，导致不同方向的路段行程时间不同。路段的具体定义如下图 2（a），路段的起点为此路段上游交叉口停车线的反向延长线到下游交叉口出口5.2处停车线的反向延长线。不同行车方向的路度划分如图 2（a）、2（b）、2（c）所示。

XX1图2（a）直行车辆路段示意图

X2图2（b）左转车辆路段示意图

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图2 （c）右转车辆路段示意图

如上图 2（a）所示，一个路段（直行方向），它包括两交叉口之间的距离（X）,同时包括其下游一个交叉口。由此明确了路段的定义，也就明确了本文路段行程时间的定义。在路段上的运行时间包括车辆行驶的时间(T1)和在路段中延误的时间(T2),路段的行驶时间包括车辆在路段中的运行时间（t1）和通过交叉口的时间（t2），路段中延误的时间(T2)包括车辆在路段中遇事故等待时间时间（t1）和过交叉口的排队等待时间时间（t2）。不同行车方向的交通流都要经过 X 段，这其中需要说明的是，右转车辆在很多情况下不受信号控制影响，因此其行程时间中不包括信号延误时间。 对于图 3 所示环形交叉口而言，当车辆进入环形交叉口时，车辆沿环形交叉口逆时针行驶，因此将包含环形交叉口的路段行程时间定义为车辆从驶入当前弧段到环形交叉口下一连接路段的入口处（停车线反向延长线处）所使用的时间，如中粗实线所标示的轨迹 1、2、3 即为三个不同路段。

321图3环形交叉路段示意图

车辆在含有环形交叉口的路段运行相对于信号含有信号交叉口的运行相对平稳，没有信号控制影响，不会因为信号控制而停车，在进入环形交叉口后车速受到影响相对较小，车辆运行时间损失相对较少，假定环形路匀速行驶。 5.1 .2交叉口之间行驶时间建模

通常情况下，路段行驶时间是指车辆驶入路段到下游交叉口排队队尾的时间，如图 2（a）所示 X1 段路程。考虑到排队车辆在绿灯期间，以饱和流率驶离路口，这其中包含车辆在交叉口的延误时间，在本文的估计方法中，将延误时间分离出来，单独处理，因此，在本文的路段行程时间估计中，车辆行驶时间是从驶入路段至停车线的路程（如图 2（a）X 段路程）除以平均行驶速度，而路段中排队和其他延误时间全部归算到排队延误时间中。无论车辆行驶方向，其路段行程时间都包含这部分路段行驶时间。经以上分析得，路段平均行驶时间计算公式如下：

L(k) (式1) Tr(k)??L(k)式中：Tr(k) 表示第k段路段平均行驶时间；

L(k) 表示第k段路段道路长度(X路段)；

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?L(k) 表示第k段路段平均行驶速度。

通过A、B、C三种设备均不能直接测得平均行驶速度。单点测量设备A虽然无法提供路段行驶速度，但可以获取测量点附近的地点车速，因此路段行驶速度只能通过一定方法估计得到，最常用的方法就是通过对单点测量设备获得的地点车速修正从而估计出路段行驶车速，其计算方法如下式：

?t2?L??t? (式2)

?t式中：?L 表示路段平均行驶速度; ?t 表示路段某地点车速；

?t2 表示路段某地点车速观测方差（实际多次测量求得）。

公式（2）受距离的影响，平均每2公里有一个单点测量设备才能保证测得的某路段平均行驶速度最准确，从而算的的某路段的行驶时间更加准确。

两交叉路口之间的单点测量设备A1的需求量表达式：

L(k)A1?(个)

2000其中：L(k)表示第k个路段力X段的路程，单位（米）。

把道路故障放在时间延误里面，在后面对事故多发路段再外加测量设备。 5.1 .3交叉口行驶时间建模 1、环形交叉路口行驶时间

车辆通过环形交叉路口，没有信号影响，车辆将以路段行驶速度通过交叉口。行驶路线如图（4）所示：

A132

图4 车辆经过环形交叉路口行驶路线

考虑到经过环形交叉路口平均行驶时间受车流量的影响，经过环形交叉路口的速度?th 。设车辆经过环形交叉口的环形半径为R，则车辆经过环形交叉路口的平均行驶时间表达如下：

??(R?1),环形交叉路口右转??2?th(k)???(R?1)th(k)??，环形交叉路口直行 (式3)

??th(k)?3?(R?1)，环形交叉路口左转???2?th(k)在环形交叉路口，行驶时间th只受环形交叉路口的速度?th的影响，所以在

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图示位子放置4个单点测量设备，用来检测当前环形交叉路口的行驶速度。即：

A2?4(个)

2、十字交叉路口行驶时间

受信号控制的影响，车辆在绿灯起亮后从停驶起步，车辆需要一定的时间启动和加速，称为启动延误。另外，同路段由于不同的行驶方向，车辆在交叉口内的轨迹不同，通过时间也会有差别。

AAAAd

图5 车辆经过十字交叉路口行驶路线

车辆进入交叉口时，绿灯信号起亮时，车辆从停驶启动需要一个 3s 左右的加速过程，当车辆到达交叉口处没有停车，也会因为其他车辆影响以及驾驶员心里影响，也会有 1-2s 的时间损失，基于此，本文在计算车辆通过交叉口的时间为车辆以行驶速度通过交叉口的时间与进入交叉口的一个损失时间（停车启动延误或其他车辆及驾驶员心里影响产生的损失等）之和，这里给出损失时间的经验值为 2s，计算公式如下：

L（k）ts(k)?l?dp (式4)

vts(k)其中：ts(k) 表示第k路段十字交叉口平均时间；

Ll(k) 表示第k路段十字交叉口车辆行驶路程； vts(k) 表示车辆经过第k路段十字交叉路口的车速；

dp 表示车辆在通过十字交叉口的平均损失时间。

设十字交叉路口道路宽度为d。参数对应的都是第k路段的值。在十字交叉路口的行驶路程：

??d?12,环形交叉路口右转?Ll??2d，环形交叉路口直行 (式5)

??d?，环形交叉路口左转?3在十字交叉路口，行驶时间th只受环形交叉路口的速度?th的影响，所以在图示位子放置4个单点测量设备，用来检测十字路口的行驶速度。即：

A3?4(个)

5.1 .4路段延误时间建模

1、基于排队论的信号交叉口车辆排队行为分析 把上游到达的车辆看作“顾客”，把信号交叉口看作为“服务窗”，便可将车辆在信号交叉口的排队等待事件看作是一个排队的问题。车辆与信号交叉口构成

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一个排队系统，车辆所的服务项目便是要通过交叉口。一个排队系统整个流程由输入过程、排队规则和服务机构决定[1]，而本文所研究的对象为车辆的排队问题，所以本节将从车辆驶入过程、车辆排队过程、车辆离开过程这三个部分详细分析车辆在信号交叉口的排队行为。

（1）车辆驶入过程

车辆驶入过程主要描述上游到达车辆是按怎样的规律抵达排队系统的。主要说明车辆的数量、车辆的到达方式和相继到达的车辆之间的时间间隔的分布。根据实际交通情况分析可知，一个交叉口排队系统所到达车辆是有限的。

设Cn(1,2,?)表示到达交叉口排队n辆车，到达时刻为tn，Q(t)表示(0,t?时间内到达的车辆数，则Q(t)和tn的关系为：

Q(t)??n|tn?t,tn?1?t? (式6)

对于任意固定t，Q(t)是一个随机变量，则当t变化时，得到的随机变量簇

?Q(t),t?0?是一个随机过程。

在任意两个不相互重叠的时间间隔内到达的车辆数相互独立。对于任意t、s

(?t)ne??t,n?0,1,2,??? (式7) 满足： P(Q(t?s)?Q(s)?n)?n!式中：??0为常量，表示单位时间平均到达的车辆数（到达率）；

P(Q(s?t)?Q(s)?n) 表示时间间隔t到达车辆数为n的概率； ?t 表示时间间隔t内平均到迖的车辆数。

综上所述，可以判定信号交叉口排队系统的输入满足泊松分布过程。根据泊松事件流的特性可知，相继到达的车辆Cn与Cn?1之间的时间间隔?n?tn?tn?1服从负指数分布。

（2）车辆排队过程

车辆在交叉口排队系统中的排队规则符合混合制系统，是损失制与等待制混合组成的系统。即车辆到信号交叉口，如果其所要行驶方向的车道被占用，则到达的车辆将自动进入队列排队等候。等待过程中，符合先到先服务的规则，即当该方向的绿灯亮起时，先到交叉口的车辆先离去。

（3）车辆驶离过程

在交叉口排队系统中，可以将整个信号交叉口看作为一个服务窗，也可以将每一个车道看作为一个服务窗。考虑多车道路段大部分信号交叉口左右转车道与直行车道的信号控制配时并不相等，将影响到车辆在系统中的排队等待时间，故本文将每一个车道看作一个服务窗。

在实际情况中，车辆在信号灯出于红灯期间需要停车等待[2]，在绿灯开始初期，以呈车团形态离去，该情况远比理想模型中的即到即服务要复杂。为了简化模型、提高后续路段行程时间的实时计算效率，本文仅考虑在交叉口的信号控制配时方案为固定的情况，通过将红灯对输出车流的影响折算到整个时间间隔内的每一辆车，增加每辆车的服务时间，从而降低服务率，并仍旧将输出车流看作是泊松流。则折算后单车道的服务率为:

g??S? (式8)

c式中：S表示该车道的饱和流量，可查阅道路通行能力手册得到；

g表示该相位的有效绿灯时间； c表示整个信号周期。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ek1t.html