微积分习题讲解与答案

1 / 23 习题8.1

1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：

(1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x

(3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ

2sin d d =+p p 解 (1) 1阶 非线性

(2) 1阶 线性

(3) 3阶 线性

(4) 1阶 线性

2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x

x y x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数)

(3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数)

(4) x x e C e

C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数)

(6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''-

解 (1) 是，左=x x x x x x x x cos sin sin cos 2

=+-=右 (2) 是，左=x x C x x Cx

x 2)12(1)1(22

2=-++---=右 (3) 是，左=02=+-x x x

Ce Ce Ce =右

(4) 是，左=

0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ =右

(5) 是，左==-=---y x y

x y x y x 222)2(右 (6) 是，左=x xy y x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)

()(22)(22332

2 / 2

3 =0)())(2()()(222

222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右

3.求下列微分方程的解 (1) 2d d =x y ; (2) x x

y cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) y

x x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==??2,d 2d

(2)

1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''?? 211cos ,d )(sin d C

x C x y x C x x y ++-=+='?? (3) ??=+-x y y y d d 11 ??=+++-x y y y d d 12)1(

解得 ???=++-x y y y d d 12d

即 C x y y +=++-|1|ln 2 (4) ??+=+dx x x dy y y )1(122

解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+

整理得 22

2

11C x y =++ 4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。

解 已知 22x y ='

解得 C x y +=33

2 又知曲线过原点，得0=C

所求曲线方程为33

2x y =

3 / 23 习题8.2

1.用分离变量法求下列微分方程的解 (1) y x y 4=' (2) 0ln =-'y y y x

(3) y x y +='10 (4) 0d tan sec d tan sec 2

2=+y x y x y x (5) 1|,0d 1d 10==+-+=x y y x

y x y x (6) 0|,02=='=+x y x y e y 解 (1) x xd dy y ??=41

解得 22)(C x y += (2) ?

?=x dx y y dy ln 解得 Cx e y = (3) ??=-dx dy x y 1010 解得 C x y +=--1010 即 C y x =+-1010 (4) ??-=dx x

x dy y y tan sec tan sec 22 解得 1|tan |ln |tan |ln C x y +-= 整理得 C y x =?tan tan

(5) ??+=+dx x x dy y y )1()1( 解得

C x x y y ++=+323231213121 由于 1|0==x y ，解得 65=

C 则 6

5312131213232++=+x x y y (6) ??=-dx e dy e x y 2 解得 C e e x y +=--22

1 由于 0|0==x y 则 23-

=C 原方程解为 x y e e 232-=-

2.求下列齐次方程的解 (1) x

y y y x ln =' (2) y x y x x y -+=d d (3) 022=---'x y y y x (4) x x xy y y x d )(d 222+-=

4 / 23 (5) dx

dy xy dx dy x y =+22 (6) 1|,0)2(12==-'+=x y y y y x x 解 (1) 令x

y u =

，代入方程得 u u x u x u ln d d =+ 分离变量得

x

x u u u d )1(ln d =- 两边积分得

1||ln |1ln |ln C x u +=-

整理得 |||1ln |2x C u =- 将x

y u =回代，即得原方程通解 Cx x

y =-1ln (2) 原式可化为 x y x y

x y -+

=11d d 令x

y u =，代入方程得 u

u x u x u -+=+11d d 分离变量得

x x u u u d 1)d -(12

=+ 两边积分得

将x

y u =

回代，即得原方程通解 12||ln )1ln(2

1arctan C x u u +=+-

5 / 23 C x x

y x y +=+-222

ln )1ln(arctan 2 整理得 C y x x

y =+-)ln(arctan 222 (3) 原式可化为 1d d 2-??

? ??+=x y x y x y 令x

y u =，代入方程得 1d d 2-=u x

u x 分离变量得

x

x u u

d 1

d 2=- 两边积分得 12||ln |1|ln C x u u +=-+

即 |||1|2x C u u =-+ 将x

y u =回代，即得原方程通解 Cx x y x y =-??? ??+12

(4) 原式可化为 1d d 2+-??? ??=x

y x y x y 令x

y u =，代入方程得 1d d 2+-=+u u x

u x u 分离变量得

x

x u u u d 12d 2=+- 两边积分得

6 / 23 1||ln 11C x u

+=- 即 u Ce x

-=11 将x

y u =回代，即得原方程通解 y x x Ce x -= (5) 10)(2

2222-??? ????? ??=-==-+x y x y x xy y dx dy dx dy xy x y 令 1

,2

-=+=u u dx du x u u x y 则 0)1(=-+du u x udx

??=+-11C x dx du u u

1||ln C u xu =-

x y u u C ce y ce e xu =∴==+,1

(6) 原式可化为 x

y x y xy x y x y 212d d 222+??? ??=+= 令x

y u =，代入方程得 u

u x u x u 21d d 2

+=+ 分离变量得

x x u

u u u d )d 2(12-=++ 两边积分得

12||ln ln C x u u +-=+

即 x

C u u =+2

7 / 23 将x

y u =回代，即得原方程通解 Cx xy y =+2

将1|1==x y 代入得C =2

于是，特解为

x xy y 22=+

习题8.3

1.求下列微分方程的通解

(1) x e y y -=+' (2) 232++=+'x x y y x

(3) 2242)1(x xy y x =+'+ (4) 1212=-+'y x

x y (5) 0d )ln (d ln =-+y y x x y y (6) y y y x 2)2(2='-

解 (1) 这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程

0d d =+y x

y 的通解。分离变量得

x y

y d d -= 两端同时积分，得

1||ln C x y +-=

得通解为

x Ce y -=

用常数变易法，把C 换成C (x )，即

x e x C y -=)(

两边微分，得

x x e x C e x C x

y ---'=)()(d d 代入原方程，得

1)(='x C

8 / 23 两端同时积分，得

C x x C +=)(

故所求微分方程通解为

()x e C x y -+=

其中C 为任意常数。 (2) x

x x Q x x P 23)(,1)(++== 则 ??????+??

=?-C x e x Q e y x x P x x P d )(d )(d )( []??? ??+++=+++=??????+???? ??++?=??--

C x x x x C

x x x e C x e x x e x x x x x 223311d )23(d 23232||ln d 1d 1

或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程

0d d =+x

y x y 的通解。分离变量得

x

x y y d d -= 两端同时积分，得

1||ln ||ln C x y +-=

得通解为

x

C y =

用常数变易法，把C 换成C (x )，即 x

x C y )(=

两边微分，得 2

)()(d d x x C x x C x y -'= 代入原方程，得

9 / 23 23)(2++='x x x C

两端同时积分，得

C x x x x C +++=

22

331)(23 故所求微分方程通解为 x

C x x x y +++=2233

123 其中C 为任意常数。 (3) 1

4)(,12)(22

2+=+=x x x Q x x x P 则 ??

????+??=?-C x e x Q e y x x P x x P d )(d )(d )( []??

? ??++=+=????????+????? ??+?=??+-++-

C x x C x x e C x e x x e x

x x x x x x 322)1ln(d 1222d 123411d 4d 14222 (4) 1)(,21)(2=-=x Q x

x x P 则 ??????+??

=?-C x e x Q e y x x P x x P d )(d )(d )( ???? ??+=???? ??+=???? ??+??? ??-=???? ??+=???

?????+=????????+??=---??? ??+-+---????x x x x x x x x x x x x x x x x x

Ce x C e e x C x e e x C x e x e x C x e e C x e e 121121121212

1ln 1ln d 2

1d 2111d d 1d d 2222

(5) 原式可化为 y y y x y x 1ln d d =+ y

y Q y y y P 1)(,ln 1)(== 则 ??

????+??=?-C y e y Q e x y y P y y P d )(d )(d )(

10 / 23 ??? ??+=???? ??+=??????+=????????+??=???--C y y C y y y y C y e y e C y e y e y y y y y y y y 2|ln |ln |ln |ln d ln 1d ln 1ln 2

1ln 1d ln 1ln 1d 1d 1 (6) 原式可化为

2d d y y x y x -=- 2)(,1)(y y Q y y P -=-= 则 ??

????+??=?-C y e y Q e x y y P y y P d )(d )(d )( ??

? ??+-=???? ??+-=??????+-=????????+?-?=???----C y y C y y y y C y e y e C y e y e y y y y y y 21d ||12||d 2d 2||ln ||ln d 1d 1

2.某种商品的消费量X 随收入I 的变化满足方程

I ae X dI

dX += （a 是常数） 当0=I 时，0X X =，求函数)(I X X =的表达式。 解原式可化为 I ae X I

X =-d d I ae I Q I P =-=)(,1)( 则 ??????+??

=?-C I e I Q e X I I P I I P d )(d )(d )( [][]C aI e C I a e C I e ae e I

I I I I +=+=??????+??=??---d d 1d 1d 又当0=I 时，0X X =，得 0X C =

则原方程解为 []0X aI e X I +=

习题8.4

1.某商品的需求函数与供给函数分别为

dP c Q bP a Q s d +-=-=,(其中a ,b ,c ,d ,均为正常数)

假设商品价格P 是时间t 的函数，已知初始价格0)0(P P =，且在任一时刻t ，价格P (t )的

11 / 23 变化率与这一时刻的超额需求s d Q Q -成正比（比例常数为k >0）

(1)求供需相等时的价格e P （均衡价格）

（2）求价格P (t )的表达式

（3）分析价格P (t )随时间的变化情况

解 （1）当s d Q Q =时，即

dP c bP a +-=-，得d

b c a P P e ++== （2）由于)]()[()(d d dP c bP a k Q Q k t

P s d +---=-=，即 )()(d d c a k P d b k t

P +=-+ 方程通解为

t d b k e t d b k Ce P Ce d

b c a P )()(+-+-+=+++= 已知价格0)0(P P =，代入得 e P P C -=0，于是

t d b k e e e P P P t P )(0)()(+--+=

（3）由于

e t d b k e e t t P e P P P t P =-+=+-+∞

→+∞→])([lim )(lim )(0 2.已知某种商品的需求价格弹性为1-=p e Q

p ε，其中p 为价格，Q 为需求量，且当p =1时，需求量Q =1，试求需求函数关系。

解 设需求关系式为)(p Q Q =，则由题设知

1)

()()(-='p e p Q p p Q p Q p

即 p pe p Q p

p Q =+

')(1)( 此微分方程通解为

12 / 23 []

C e p p C p e e e p Q p p p p p p +-=????????+??=?-)1(1d )(d 1d 1 将Q (1)=1代入，得C =1，故所求需求函数为

p

e p p p Q p 11)(+-= 3. 设某厂生产某种产品，随产量的增加，其总成本的增长率正比于产量与常数2之和，反比于总成本，当产量为0时，成本为1，求总成本函数。

解 设产量为x ，总成本为C ，比例系数为1，则依题意有

?????=+==1|2d d 0

x y y x x

y 解此微分方程，得

C x y ++=22)2(

把初始条件1|0==x y 代入解得3-=C

于是总成本函数为

3)2(22-+=x y

4.在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入y ，国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数，且储蓄额S 是国民收入的10

1，投资额为国民收入增长率的31。若当t =0时，国民收入为5亿元，试求国民收入函数（假定在时间t 的储蓄额全部用于投资）

解 依题意得

t

y I y S d d 31,101==

因为储蓄额全部用于投资，故有 I S =

即国民收入函数应满足方程

y t y 10

1d d 31= 解得t Ce y 103=

将初始条件5|0==t y 代入上式，得5=C 于是t e y 1035=

习题8.5

13 / 23 1、求下列微分方程通解

(1) 2=''y (2) x y sin =''

(3) 0)(2='-''y y (4) 02)1(2='-''+y x y x 解 (1) 12d 2C x x y +=='? 2121d )2(C x C x x C x y ++=+=?

(2) 1cos d sin C x x x y +-=='? 211sin d )cos (C x C x x C x y ++-=+-=?

(3) 令p y p y '=''=',，原方程降阶为 0d d 2=-p x

p 分离变量得

x p

p d d 2= 两边积分得

11C x p

+=- x

C p +-

=11 即 x C y +-

='11 所以

211||ln d 1C x C x x

C y ++-=+-=? (4) 令p y p y '=''=',，原方程降阶为

01

2d d 2=+-p x x x p 分离变量得

x x x p p d 1

2d 2+= 两边积分得

C x p ++=)1ln(||ln 2

14 / 23 )1(21+=x C p

即

)1(21+='x C y

所以

23121311)d (C x x C x x C y +??

? ??+=+=?

2求解初值问题 (1) ?????='==''1

)3(,1)3(232y y y y . (2) ???='=+='+''+0)0(,0)0()1ln()1(y y x y y x 解 (1) 设p y ='，则y

p p y d d =''，代入原方程，得 22

3d d y y p p

= 分离变量得 y y p p d 2

3d 2=

积分得 C y p +=32，即 ()C y y +='32

由 1)3(,1)3(='=y y 得 0=C

则 23

y y ±='，由0≥''y 知y '单调增加，于是23y y =

' 再积分一次，可得通解 121

2C x y +=--

由 1)3(=y 得 51-=C

即 2

52??? ??-=x y (2) 令p y p y '=''='则,,原方程化为

)1ln()1(+=+'+x p p x

15 / 23 1)1ln(11++=++

'x x p x p 属于一阶线性方程 ??

????+++=?+?+-?111111)1ln(C dx e x x e p dx x dx x []

1)1ln()1ln(111

1+-++=+++=?x x C x C dx x x 由0)0(='y 得 01=C

?

+??????+-+=21)1ln(C dx x x x y 2)1ln(2)1ln()1(C x x x x +++-++=

又由 0)0(=y 得 02=C

初值问题的解为

)1ln(2)1ln()1(x x x x y ++-++=

习题8.6

1.求下列方程通解

(1) 032=-'-''y y y (2) 0127=+'+''y y y

(3) 096=+'-''y y y (4) 0=+'+''y y y 解 (1) 032=-'-''y y y

解 特征方程为

0322=--λλ

解得两个不同实根1,321-==λλ，所求方程的通解为

x x e C e C y -+=231

其中21,C C 是任意常数

(2) 0127=+'+''y y y

解 特征方程为

01272=++λλ

解得两个不同实根4,321-=-=λλ，所求方程的通解为

x x e C e C y 4231--+=

16 / 23 其中21,C C 是任意常数

(3) 096=+'-''y y y

解 特征方程为

0962=+-λλ

其特征根321==λλ为二重实根，所求方程通解为

x e x C C y 321)(+=

其中21,C C 是任意常数

(4) 0=+'+''y y y

解 特征方程为

012=++λλ 解得两个共轭虚根i i 2

321,232121--=+-=λλ，所求方程通解为 x e x C x C y 21

21)23sin 23cos (-+= 其中21,C C 是任意常数

2.求方程032=+'+''y y y 满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解 解 特征方程为

0322=++λλ 解得两个共轭虚根i i 21,2121--=+-=λλ，所求方程通解为

x e x C x C y -+=)2sin 2cos (21

由初始条件1|,1|00='===x x y y 得11=C 又由

)2cos 22sin ()2sin 22(cos )2sin ()2cos (22x x e C x x e x e C x e y x x x x +-++='+'='---- 由1|0='=x y ，得22=C

于是满足初始条件的特解为

17 / 23 x e x x y -+=)2sin 22(cos

3.求微分方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解

解 x e

x x x f 0)13(13)(+=+=，其中0,1==μn 不是特征方程0322

=--λλ的根，得 b ax y +=*

为所给方程的一个特解，直接将*

y 代入原方程，得 13323+=---x b a ax

比较系数得

?

??=--=-13233b a a 解得3

1,1=-=b a 所以3

1+-=*x y 即为所求特解 4.求微分方程x xe y y y 122=+'-''的通解

解 x

xe x f 12)(=，其中1,1==μn 对应的齐次方程为 02=+'-''y y y

特征方程0322

=--λλ有二重特征根1=λ 齐次方程通解为 x x xe C e C y 21+=

由于1=μ是重特征根，所以设非齐次方程特解为

x e b ax x y )(2+=*

直接将*

y 代入原方程，得 x x xe e ax b 12)62(=+

比较系数得

???==0

2126b a

18 / 23 解得0,2==b a ，因此x

e x y 32=*为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为 x x x e x xe C e C y 3212++=

其中21,C C 是任意常数

5.求方程x y y y 2cos 44=+'+''的通解

解 对应齐次方程为

044=+'+''y y y

它的特征方程0442

=++λλ有重根 221-==λλ

故对应齐次方程的通解为

)(212x C C e y x +=-

由于i 20±不是特征根，因此设所给方程的特解为

x b x a y 2cos 2sin +=*

代入原方程得

x x a x b 2cos 2cos 82sin 8=+-

比较系数得

???==-1

808a b 解得0,81==b a ，因此x y 2sin 8

1=*为所给方程的一个特解，从而通解为 x x C C e y x 2sin 8

1)(212++=- 习题8.7

1. 设某种产品就要推向市场，t 时刻的销量为x (t )，由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，t 时刻产品销售的增长率t

x d d 与x (t )成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明t

x d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N- x (t )也成正比，试给出x (t )的方程，并求销量达到多少时最为畅销。

解

19 / 23 )(d d x N kx t

x -= 其中k 为比例系数，分离变量积分，可得

kNt Ce

N t x -+=

1)( 由 22)

1(d d kNt kNt

Ce ke CN t x --+= 以及

2

2322)1()1(d d kNt kNt kNt Ce Ce e k CN t x ---+-= 当N t x <*

)(时，有0d d >t x ，即销量)(t x 单调增加；当2)(N t x =*时，0d d 22=t x ；当2)(N t x >*时，0d d 22<t x ；当2)(N t x <*时，0d d 22>t x ；即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。

2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量S 与需求量Q 均是价格P 的线性函数：

P Q P S -=+-=4,31

若价格P 是时间t (年)的函数，且已知在时刻t 时，价格P 的变化率与过剩需求S Q -成正比，比例系数为2，试求价格P 与时间t (年)的函数关系，且已知初始价格20=P 元，问当3.0=t 年时价格应为多少？

解 依题意，得

)45(2)(2d d P S Q t

P -=-= 解得

t Ce P 845--=

由已知20=P ，代入得43-

=C

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