概率与数理统计期末试卷1(附答案)
更新时间:2023-08-14 14:52:01 阅读量: 人文社科 文档下载
附“标准正态分布函数值”: (2.0) 0.9772, (3.08) 0.999, (0.5) 0.6915
一.填空题:(共 8小题,每小题 3分,共24 分)
1.设P(B) 0.5,P(A B) 0.7,则P(AB) .
2. 已知随机变量X服从正态分布N(1,2),F(x)为其分布函数,则F (x).
3 若随机变量X
的概率密度为pX(x)
x2
4
,则E(X2) 100
, x 100
4设随机变量X概率密度为p(x) x2,以Y表示对X的四次独立重复
0, x 100
观察中事件{X≤200}出现的次数,则P{Y=2}= .
5.若二维随机变量(X,Y)在区域D {(x,y)/0 x 1,0 y 1}内服从均匀分布,则
P(X
1
Y X) . 2
6.若随机变量X与Y相互独立,且X服从正态分布N 1,9 ,Y服从正态分布N 2,4 ,则X 2Y服从________分布.
7.设随机变量X与Y相互独立且均服从二项分布B(10, 0.2), 则由切贝雪夫不等式有
PX Y 2}( )
8. 设X~N(0,4),Y~N(1,5),且X与Y相互独立,则Z X Y的分布函数Fz(z) ( )。 。
二.选择题:(共 小6题,每小题 2分,共12 分)
1.若当事件A与B同时发生时,事件C一定发生,则( ).
(a)P(C) P(A) P(B) 1 (b)P(C) P(A) P(B) 1
(c)P(C) P(AB) (d)P(C) P(A B)
2. 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x) aF1(x) bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( )
(a) a
32
,b (b) a 2,b 2 5533
13
(c) a 1,b 3 (d) a ,b
2222
3.设随机变量X服从正态分布N( , ),则随着σ的增大,概率P(X )( ).
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1
2
(a)单调增大 (b)单调减少 ( c) 保持不变 (d)可能增加也可能减少 4.设随机变量X服从N(0,1), 其概率密度为 (x), 则Y X的分布密度为( ).
(a) p(y) (y) (b) p(y) 1 (y) (c) p(y) ( y) (d) p(y) 1 ( y)
5.对于两个随机变量X与Y,若E(XY) EX EY,则( ).
(a)D(XY )DX DY b D X() Y( DX)
DY
(c)X与Y相互独立 d 与X 不相互独立 Y ()
6. 设X服从泊松分布,且E(2 X2) 4, 则 P(X 1) .
(a) 0 (b)e 2 (c)e 4 (d)e 1
三.计算题:(共7小题,每小题 8分,共56 分)
1.袋中装有5个白球,3个黑球。(1)从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率;(2)从中有放回连续取三次,求取到两次白球1次黑球的概率。
2. 已知随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P
(1)求X的分布函数F(x) 及E((2)求P( 1 X 3).
1111 2488
1) X 1
1 2
ax x 0 x
3.设连续型随机变量X的概率密度为 f(x) 2
0 其它
(1)求常数a ;
(2)求X的分布函数F(x) ;
1
(3 ) 求概率P( X 2).
7
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2
32
x 1 x 1
4.设连续型随机变量X的概率密度为 f(x) 2,试求随机变量
0 其它Y 3 X的概率密度fY(y)
5. 设随机变量Z在区间(1,4)内均匀分布,令 X 0 当Z 2 0 当Z 3
1 当Z 2, Y
1 当Z 3
求D(X Y)
6. 设(X,Y)在曲线y x2
与y x所围成的区域D中服从均匀分布。求
(1) 求(X,Y)的联合密度;
(2) 求边缘密度求边缘密度pX(x),pY(y)并判断X与Y是否相互独立; (3) 求概率P(X 1
2
).
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3
7. 设X与Y相互独立,且X 与Y均服从参数为λ=1的指数分布,求Z X Y的概率密度p(z)及概率P(X Y 1)
四.应用题:(共1 小题,共 8分)
银行为支付某日即将到期的债卷须准备一笔现金。已知这批债卷共发放了6000张,每张须付本息1万元。设持卷人(假设一人一卷)在到期日到银行领取本息的概率为0.6.问银行于该日应准备多少现金,才能以99.9%的把握满足客户的兑换
参考答案
一.填空题 (1) 0.2
(2)
e
(x 1)2
4
(3) 2 (4)
13
(5) (6) N (-3 ,25) (7) 0.2
48
z
(t 1)218
dt
二.选择题
(1)b (2)a (3)c (4)c (5)b (6)d
三.计算题 1. (1) P(A)
5 315225
; (2)P(B) C8228512
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4
2.
0 x 0 1
0 x 1 2 3 1 67
(1)F(x) 1 x 2, E
4 X 1
96 7
8 2 x 3
1 x 3 (3)P( 1 X 3)
7
8
0 x 0
(x) 2
3.(1)a = 21 (2 ) F 7x3 x1195
2 0 x 2 (3) P(7 x 2)
98
1 x 12
32
4. (1) f (3 y) 2 y 4
Y(y) fX(3 y) 1 2
0 其它
5.
. D(X Y) DX DY 2Cov(X,Y)
DX DY 2(EXY EX EY)
其中
EX P(X 1) 23,EY P(Y 1) 13,E(XY) P(X 1,Y 1)
1
3
D(X) 21122
3 3 D(Y) 3 3
9
故 D(X Y)
2929 1212
333) 9
6.(1) p(x,y)
6 (x,y) D
0 其它
(2) p2X(x) x x(0 x 1), pY(y) y(0 y 1)
(3) P(X
12) 112
第 页 共 6 页 5
0 z 0 z
7. 因为Z的分布函数为F(z) z(1 e) 0 z 1,故Z的概率密度为
1 e z z 1
0 z 0
p(z) 1 e z ze z 0 z 1
e z z 1
四 解 设到期日有X张债卷来银行兑换,银行应准备y万元.
显然 X~B(600,0.6).而因为n=600较大,故X近似服从正态分布N(360,144). 由题意,求y,使得P(X y) 0.999 即 (
y 360
) 0.999.查表得 12
y 360
3.03 y 397(万元). 12
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