四种傅里叶变换

更新时间:2024-04-05 21:22:01 阅读量: 综合文库 文档下载

说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。

傅里叶变换

对信号和系统的分析研究可以在时间域进行,也可以在频域进行。连续时间信号是时间变量t的函数,连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述,也可以用冲激响应来描述。离散时间信号(序列)是序数n的函数,这里n可以看成时间参量,离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述,也可以用单位脉冲响应来描述。

在时间域对信号和系统进行分析研究,比较直观,物理概念清楚,但仅在时间域分析研究并不完善,有些问题研究比较困难。比如,有两个序列,从时间波形上看,一个变化快,一个变化慢,但都混有噪声,希望用滤波器将噪声滤除。从信号波形观察,时域波形变化快,意味着含有更高的频率成分,因此这两个信号的频谱结构不同,那么对滤波器的性能要求也不同。为了设计合适的滤波器,就需要将时域信号转换到频率域,得到其频谱结构,分析其特性,进而得到所要设计的滤波器的技术指标,然后才能进行滤波器的设计。

在连续时间信号与系统中,其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中,频域分析采用z变换与傅里叶变换作为数学工具。现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。

傅里叶变换的几种可能形式

对傅里叶变换的几种可能形式进行总结,再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。

一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换

在“信号与系统”课程中,这一变换对为

Xa(j?)?xa(t)?12??????xa(t)e?j?tdt

d????Xa(j?)ej?t

xa(t)1|Xa(j?)|??o?t??0o?0?

这一变换对的时频域示意图(只说明关系,不表示实际的变换对)如图所示。可以看出时域上是非周期连续信号,频域上是连续非周期的频谱。 二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示

1

非周期连续信号及其频谱

在“信号与系统”课程中,如果x(t)是一个周期为T的连续时间信号,则x(t)可以展开成傅里叶级数,其傅里叶级数的系数为Xn,Xn是离散频率的非周期函数。x(t)与Xn组成周期连续时间信号的傅里叶级数变换对为

Xn?1TT?2T?2x(t)e?jn?1tdt

?x(t)??n???Xnejn?1t

这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是周期连续信号,频域上是离散非周期的频谱。也就是说,周期连续信号可以分解成无穷多个谐波分量之和,其中基波频率分量为?1?2?T。

x(t)|Xn|oTpto??1?2?Tp

另外,周期信号虽然不满足绝对可积条件,但在频域引入冲激函数函数后,其傅里叶变换仍可以表示。对周期信号x(t),其傅里叶变换X(j?)表示为

?周期连续信号及其频谱

X(j?)?2??Xn???n?(??n?1)

三. 非周期序列的傅里叶变换

序列的傅里叶变换,即

?X(ej?)???x(n)en????j?n

x(n)?12????X(ej?)ej?nd?

这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是非周期离散时间信号,频域上是连续周期的频谱。

2

x(n)|X(e1/Tj?)|Ton??o??N点非周期序列及其频谱

序列的傅里叶变换是序列的频谱,也就是时域离散信号的频域特征。在数字滤波器的设计和信号的频谱分析中经常用到,因此是数字信号处理的重要工具之一。X(ej?)一般是复函数,可以写成模和辐角,或者实部和虚部的形式。

X(ej?)?X(ej?)ej?(?)?XR(ej?)?jXI(ej?) (3.2.5)

其中|X(ej?)|~?称为序列的幅度频谱,而?(?)~?称为序列的相位频谱;XR(ej?)~?称为序列的实部频谱,XI(ej?)~?称为序列的虚部频谱。经常用|X(ej?)|~?和?(?)~?来表示信号的频谱。

四. 周期序列的离散傅里叶级数

上面所讨论的三种傅里叶变换都不能在计算机上实现,因为它们在时域连续或者频域连续,或者时域和频域都是连续的。如果要用数字计算机对信号进行频谱分析,也就是要计算信号的傅里叶变换,必须要求输入时域信号是离散的,而计算机得到的频谱值也应该是离散的。

由上面三种情况,不难发现以下规律:一个域的连续必然对应另一个域的非周期,一个域的离散必然对应另一个域的周期。所以,可以大胆推断出第四种情况,也就是周期序列的频谱特征必然是离散周期的。示意图如图所示。表1对四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。这里所介绍得到傅里叶变换的几种可能形式中,只有第四种形式对于数字信号处理有实用价值。要使前三种形式能用数字计算机上进行计算,必须针对每一种形式的具体情况,或者在时域和频域同时取样;或者在时域取样;或者在频域取样。最后都将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数,那么前三种形式最后都变成第四种形式。这也就是我们将要提出的周期序列的离散傅里叶级数,也可以认为是后面要重点介绍的离散傅里叶变换(DFT)的过渡形式。

3

~x(n)~|X(k)|onN点okN点周期序列及其频谱

表1 四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数 连续和非周期 连续和周期 离散和非周期 离散和周期 频率函数 非周期和连续 非周期和离散 周期和连续 周期和离散 设~与连续时间信号的傅里叶级数展开类似,由于~x(n)是以N为周期的周期序列,x(n)是周期的,必然可以进行傅里叶级数展开。离散傅里叶级数变换对:

~X(k)?DFS[~x(n)]?N?1?n?0?j~x(n)e2?Nkn ???k??

2?N1~~x(n)?IDFS[X(k)]?N~N?1?k?0j~X(k)ekn ???n??

这里的~x(n)和X(k)都是以N为周期的周期序列,时域和频域都是周期离散的,也是傅里叶变换的第四种形式。其有很明显的物理意义,它表示周期序列~x(n)可以分解成N次谐波,第k次谐波频率为分量,其幅度为

12?Nk,k?0,1,2,?,N?1,谐波的幅度为

1N~|X(k)|。其中k?0,表示直流

1N?1~~|X(0)|?|?x(n)|。 NNn?0 4

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ejor.html

Top