2022年河南省洛阳市中考数学一模试卷 解析版

2020年河南省洛阳市中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列各数中比﹣小的数是（）

A．﹣2B．﹣1C．﹣D．0

2．（3分）围绕保障疫情防控、为企业解决困难，财政部门快速行动，持续加大资投入，截至2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，把“901.5”用科学记数法表示为（）

A．9.015×1010B．9.015×103C．9.015×102D ．9.02×1010 3．（3分）下列几何体中，左视图和其他三个不同的是（）

A．B．

C．D．

4．（3分）下列计算中，错误的是（）

A．5a3﹣2a3＝3a3B．（﹣a）2?a3＝a5

C．a﹣3?a2＝a﹣6D．（a﹣b）3?（b﹣a）2＝（a﹣b）5

EG，EF＝EG，∠1＝18°，则∠2＝（）

5．（3分）如图，AB∥CD，EF⊥

6．（3分）如图是我国2019年5月到12月天然气进口的统计图，这组数据的中位数是（）

A．827.5 万吨B．821.5 万吨C．821 万吨D．805 万吨7．（3分）关于x的一元二次方程x2+x＝k有两个不相等实数根，k的取值范围是（）

A ．k≥﹣

B ．k＞﹣

C ．k≤D．k＜

8．（3分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字5，6，7，8．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时重转），记录第一次转到的数当成一个两位数的个位，第二次转到的数字记为十位，则记录的数字是偶数的概率为（

）

9．（3分）已知，如图，A（0，5），AC＝13，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AO、AC于点D，E，再分别以点D 、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交x轴于点G，则点G的横坐标是（）

A．3B．C．D．4

10．（3分）如图1，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，D是AB的中点，连接DE，DF，EF，设BF＝x，△CEF的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（）

A．△DEF是等腰直角三角形B．m＝1

C．△CEF的周长可以等于6D．四边形CEDF的面积为2

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）计算：2﹣2﹣＝．

12．（3分）写出一个经过第一象限，y随x增大而减小的函数．

13．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ ＝60°，

PC＝8，则QC的长是．

14．（3分）如图，△ABC中，AC＝6，∠A＝75°，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，当点D落在AC上时，BE∥AC，则阴影部分的面积为．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，BD平分∠ABC，点E是边AB上一动点（不与A、B重合），沿DE所在的直线折叠∠A，点A的对应点为F，当△BFC是直角三角形且BC为直角边时，则AE的长为．

三、解答题（本题共8个小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．

17．（9分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．

组别频数统计

A（t＜20）8

B（20＜40）12

C（40t＜60）a

D（60≤t＜80）15

E（80）b

请根据如图图表，解答下列问题：

（1）填空：这次被调查的同学共有人，a＝，b＝，m＝；

（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；

（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．

18．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于D，延长BE 到F，使BF＝AC，连接FC．

（1）若AD＝BC，求证：FC＝CD，FC⊥CD；

（2）连接OD

，OE，若四边形OECD是平行四边形，则：

①∠ACB＝°；

②当AB＝4时，四边形OECD的面积为．

19．（9分）如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2米，为测量其高度，某同学在B处测得A 点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）

20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（1，m），与x轴交于A，与y轴交于C，且AC＝3BC．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出不等式：≥x+b的解集；

|的最大值和此时点P的坐标．

（3）P是y轴上一动点，直接写出|P A﹣PB

（1）求甲、乙两种消毒剂的零售价；

（2）该单位预计批发这两种消毒剂500桶，且甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的，甲、乙两种消毒剂的批发价分别为20元/桶、16元/桶．设甲种消毒剂批发数量为x桶，购买资金总额为y（元），请写出y与x的函数关系式，并求出y的最小值和此时的购买方案．

≤90°）．

22．（10分）已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α（0°＜α

如图1，当α＝90°时，请直接写出线段CD与BE的数量关系：，位置关系：；

（2）类比探究

如图2，已知α＝60°，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，写出GM 与FH的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图，已知：AB＝2，AD＝3，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，将△ABC 绕点A旋转，直接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含α的三角函数式子表示）．23．（11分）如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，过点B，C 的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，P A交BC于D．设t＝，请求出t的最大值和此时点P的坐标；

（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E 恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．

2020年河南省洛阳市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列各数中比﹣小的数是（）

A．﹣2B．﹣1C．﹣D．0

【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案．

【解答】解：A、∵|﹣2|＝2，|﹣|＝，

由2＞，

∴﹣2＜﹣，故此选项正确；

B、∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，

由1＜，

∴﹣1＞﹣，故此选项错误；

C、∵|﹣|＝，|﹣|＝，

由＜，

∴﹣＞﹣，故此选项错误；

D、0＞﹣，故此选项错误；

故选：A．

2．（3分）围绕保障疫情防控、为企业解决困难，财政部门快速行动，持续加大资投入，截至2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，把“901.5”用科学记数法表示为（）

A．9.015×1010B．9.015×103C．9.015×102D．9.02×1010

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：901.5＝9.015×102．

故选：C．

3．（3分）下列几何体中，左视图和其他三个不同的是（）

A ．

B ．

C ．D．

【分析】找到从左面看所得到的图形，比较即可．

【解答】解：A，B，C 选项的左视图都是；

D选项的左视图是．

故选：D．

4．（3分）下列计算中，错误的是（）

A．5a3﹣2a3＝3a3B．（﹣a）2?a3＝a5

C．a﹣3?a2＝a﹣6D．（a﹣b）3?（b﹣a）2＝（a﹣b）5

【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．

【解答】解：A.5a3﹣2a3＝3a3，故本选项不合题意；

B．（﹣a）2?a3＝a5，故本选项不合题意；

C．a﹣3?a2＝a﹣1，故本选项符合题意；

D．（a﹣b）3?（b﹣a）2＝（a﹣b）5，故本选项不合题意．

故选：C．

）

5．（3分）如图，AB∥CD，EF⊥EG，EF＝EG，∠1＝18°，则∠2＝（

【分析】根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：∵EF⊥EG，

∴∠FEG＝90°，

∵EF＝EG，

∴△FEG是等腰直角三角形，

∴∠EGF＝

45°，

过G作GH∥AB，

∴∠1＝∠EGH＝18°，

∴∠FGH＝45°﹣18°＝27°，

∵AB∥CD，

∴GH∥CD，

∴∠2＝∠FGH＝27°，

故选：B．

6．（3分）如图是我国2019年5月到12月天然气进口的统计图，这组数据的中位数是（）

A．827.5 万吨B．821.5 万吨C．821 万吨D．805 万吨

【分析】将数据重新排列后，根据中位数的定义求解可得．

【解答】解：将数据重新排列为652，752，756，789，821，834，946，951，

则这组数据的中位数是（789+821）÷2＝805（万吨）．

故选：D．

7．（3分）关于x的一元二次方程x2+x＝k有两个不相等实数根，k的取值范围是（）A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≤D．k＜

【分析】利用判别式的意义得到△＝12﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：根据题意得△＝12﹣4（﹣k）＞0，

解得k

＞﹣．

故选：B．

8．（3分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字5，6，7，8．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指

针恰好指在分界线上时重转），记录第一次转到的数当成一个两位数的个位，

第二次转到的数字记为十位，则记录的数字是偶数的概率为（）

A ．B．C．D．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与记录的数字是偶数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有16个等可能的结果，记录的数字是偶数的结果有8个，

∴记录的数字是偶数的概率为＝；

故选：D．

9．（3分）已知，如图，A（0，5），AC＝13，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AO、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于

点F，作射线AF交x轴于点G，则点G 的横坐标是（）

A．3B．C．D．4

【分析】过G作GH⊥AC于H，设OG＝HG＝x，则CG＝12﹣x，依据勾股定理可得，Rt△CGH中GH2+CH2＝CG2，进而得出x2+82＝（12﹣x）2，解方程即可得到x的值，即可得出点G的横坐标．

【解答】解：如图所示，过G作GH⊥AC于H，

由题可得，AF平分∠CAO，GO⊥AO，

∴OG＝HG，

∴Rt△AOG≌Rt△AHG（HL），

∵A（0，5），AC＝13，

∴OC＝＝12，AO＝AH＝5，CH＝8，

设OG＝HG＝x，则CG＝12﹣x，

∵Rt△CGH中，GH2+CH2＝CG2，

∴x2+82＝（12﹣x）2，

解得x＝，

∴点G的横坐标为，

故选：B．

10．（3分）如图1，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，D是AB的中点，连接DE，DF，EF，设BF＝x，△CEF的面积为y，图2是

y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（）

A．△DEF是等腰直角三角形B．m＝1

C．△CEF的周长可以等于6D．四边形CEDF的面积为2

【分析】A．证明△ADE≌△CDF（SAS），则∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠CDE+∠EDA ＝90°，DE ＝DF，即可求解；

B ．S△CFE＝×CE×CF＝x（a﹣x），当x ＝a＝时，S △CFE有最大值××（2﹣）＝1，即可求解；

C．△CEF的周长＝EC +CF+EF＝CE+CF＝2+EF＜4＜6，即可求解；

D．四边形CEDF的面积＝S△CDE+S△CDF＝S △CDE+S△AED＝S△ACD ＝S △ABC＝××

2×2

＝2．

【解答】解：A．连接CD，

∵△ABC为等腰直角三角形，D是AB的中点，

∴CD＝AD＝BD，∠DCF＝∠A＝45°

而AE＝CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DF＝DE，∠CDF＝∠ADE，

∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠CDE+∠EDA＝90°，CE＝BF，∴△DEF是等腰直角三角形，

故A正确；

B．设AC＝BC＝a，CE＝BF＝a﹣x，

S△CFE＝×CE×CF＝x（a﹣x），

当x＝a＝时，S△CFE有最大值＝××（2﹣）＝1，

故m＝1，此时a＝4，

故B正确；

C．△CEF的周长＝EC+CF+EF＝AC+EF＝2+EF，

而EF＜CE+CF＝2，

即△CEF的周长＝EC+CF+EF＝AC+EF＝2+EF＜4＜6，

故C错误；

D．四边形CEDF的面积＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△AED＝S△ACD＝S△ABC＝××2×2＝2．

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）计算：2﹣2﹣＝﹣．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝﹣3

＝﹣．

故答案为：﹣．

12．（3分）写出一个经过第一象限，y随x增大而减小的函数答案不唯一，比如：y＝﹣x+3．

【分析】根据增减性确定函数的类型即可．

【解答】解：由于经过第一象限，y随x增大而减小的函数；

则一次函数的解析式为：y＝﹣x+3．

故答案为：y＝﹣x+3（答案不唯一）．

13．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ

＝60

°，

PC＝8，则QC的长是．

【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，可求解．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，

∵PC＝8，

∴BP＝4，

∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，

∴∠BAP＝∠CPQ，

又∵∠B＝∠C＝60°，

∴△ABP∽△PCQ，

∴，

∴，

∴QC＝，

故答案为：．

14．（3分）如图，△ABC中，AC＝6，∠A＝75°，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，当点D落在AC上时，BE∥AC，则阴影部分的面积为3π﹣18+9．

【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质求得∠CBE＝ABD＝30°，根据平行线的性质求得∠ACB＝∠CBE＝30°，进而求得AB＝AC＝6，解直角三角形求得BM、MC，即可求得AD，由图形可知阴影部分的面积＝△BDC的面积+扇形BCE的面积﹣△ABC

的面积，根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．

【解答】解：∵∠A＝75°，AB＝BD，

∴∠ADB＝∠A＝75°，

∴∠ABD＝180°﹣2×75°＝30°，

∴∠CBE＝ABD＝30°，

∵BE∥AC，

∴∠ACB＝∠CBE＝30°，

∴∠ABC＝75°，

∴BC＝AC＝6，

作BM⊥AC于M，则AM＝DM，

∴BM＝BC＝3，MC＝BC＝3，

∴AM＝AC﹣MC＝6﹣3，

∵AD＝12﹣6，

由图形可知，阴影部分的面积＝△BDC的面积+扇形BCE的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形BCE的面积﹣△ABD的面积＝﹣

＝3π﹣18+9，

故答案为3π﹣18+9．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，BD平分∠ABC，点E是边AB上一动点（不与A、B重合），沿DE所在的直线折叠∠A，点A的对应点为F，当△BFC是直角三角形且BC为直角边时，则AE的长为或．

【分析】分两种情况，当∠BCF＝90°时，点F落在AC的延长线上，当∠CBF＝90°时，画出图形，由直角三角形的性质可求出答案

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，

∴BC＝AB＝，

∴AC＝3，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝

30°，

∴CD＝BC?tan30°＝＝1，∴BD＝AD＝2，

如图1，当∠BCF＝90

°时，点F落在AC的延长线上，

∴∠ADE＝90°，

∴AE＝．

如图2，当∠CBF＝90°，DF＝DA＝DB，

∵∠ACB＝∠CBF＝90°，

∴BF∥AC，

∴∠DFB＝∠DBF＝∠ADF＝∠BDC＝60°，∵∠ADE＝∠EDF，

∴∠ADE＝∠A＝30°，

∴AE＝DE，

过点E作EM⊥AD于点M，

∵AD＝2，

∴AM＝1，

∴AE ＝．

故答案为：或．

三、解答题（本题共8个小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝?

＝?

＝，

当a＝+1，b＝﹣1时，

原式＝＝1．

17．（9分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．

组别频数统计

A（t＜20）8

B（20＜40）12

C（40t＜60）a

D（60≤t＜80）15

E（80）b

请根据如图图表，解答下列问题：

（1）填空：这次被调查的同学共有60人，a＝18，b＝7，m＝25；

（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；

（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．

【分析】（1）B组的频数为12，占总体的20%，可求出调查人数，再根据D组频数为15，可求出D组所占的圆心角的度数，确定m的值，根据C组所在扇形的圆心角为108°，求出C组所占的百分比，进而求出C组的人数a，最后求出E组人数b；

（2）求出E组所占的百分比，即可求出所在的圆心角的度数；

（3）从频数统计表中可知每天健身时间不少于1 小时的人数占调查人数的，因此估计总体1200人的是每天健身时间不少于1 小时的人数．

【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），15÷60＝25%，因此m＝25，

∵C组所在扇形的圆心角为108°，

∴C组的人数a＝60×＝18（人），

b＝60﹣15﹣18﹣12﹣8＝7（人），

故答案为：60，18，7，25；

（2）扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×＝42°，

答：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为42°；

（3）每天健身时间不少于1 小时的人数是1200×＝440（人），

答：该校1200名学生中每天健身时间不少于1小时的大约有440人．

18．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于D，延长BE 到F，使BF＝AC，连接FC．

（1）若AD＝BC，求证：FC＝CD，FC⊥CD；

（2）连接OD，OE，若四边形OECD是平行四边形，则：

①∠ACB＝60°；

②当AB＝4时，四边形OECD的面积为2．

【分析】（1）证明△ADC≌△BCF（SAS）可得结论．

（2）①证明△ABC是等边三角形即可解决问题．

②由题意△CDE，△AEO，△ODB，△EOD都是等边三角形，而且是全等三角形，推出S平行四边形CEOD＝S△ABC，由此即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵BF＝AC，∠CBF＝∠CAD，BC＝AD，

∴△ADC≌△BCF（SAS），

∴CD＝CF，∠ADC＝∠BCF，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∴∠BCF＝90°，

∴FC⊥CD．

（2）解：①连接OD，OE，DE．

∵四边形OECD是平行四边形，

∴OD∥AC，OE∥BC，

∵AO＝OB，

∴CD＝BD，AE＝EC，

∴AC＝2OD，BC＝2OE，

∵OD＝OE，AB＝2OD，

∴AC＝AB＝BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

故答案为60．

②∵△ABC是等边三角形，AO＝OB ，AE＝EC ，CD＝DB

，

∴△CDE，△AEO，△ODB，△EOD都是等边三角形，而且是全等三角形，∴S平行四边形CEOD＝S△ABC＝?×42＝2，

故答案为2．

19．（9分）如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2米，为测量其高度，某同学在B

处测得A

点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）

【分析】设直线DH交EG于M，交AC于N，设AN＝x，则PM＝x+2.25，解直角三角形得出关于x的方程，解方程即可求得AN，进而求得AC．

【解答】解：由题意：DH＝BF＝6米，DB＝HF＝1.7米，PE＝2.25米，

如图，设直线DH交EG于M，交AC于N，则EM＝AN．

设AN＝x，则PM＝x+2.25，

在Rt△AND中，∵∠ADN＝45°，

∴AN＝ND＝x，

∵AE＝MN＝2，则MH＝6+x+2＝8+x，

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