工力C第三章力系的平衡方程及应用

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力系的平衡方程及其应用 第三章

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

空间任意力系的平衡条件和平衡方程

本章介绍

平面力系平衡方程的应用

物体系统的平衡

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

§3-2 空间任意力系的平衡条件和平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件是： 空间任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对 任一点的主矩都等于零。 任一点的主矩都等于零。F'R = F1 + F2 +L+ Fn = ∑Fi = 0i =1n

n

M = M1 + M2 +L+ Mn = ∑Mi = 0i =1

由汇交力系解析式及力对点之矩与力对轴之矩的关系， 由汇交力系解析式及力对点之矩与力对轴之矩的关系，得：

∑Fix = 0i =1 n

n

∑Mx ( Fi ) = 0i =1 n

n

∑Fiy = 0i =1n

∑M y ( Fi ) = 0i =1

空间任意力系的平衡方程。 空间任意力系的平衡方程。

∑Fiz = 0i =1

∑Mz ( Fi ) = 0i =1

n

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

六个方程相互独立。联立，可求解六个未知量。 六个方程相互独立。联立，可求解六个未知量。 六个未知量 由平衡条件导出的平衡方程称为平衡方程的基本形式 基本形式。 由平衡条件导出的平衡方程称为平衡方程的基本形式。 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩式、五矩式 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩式、 和六矩式。 和六矩式。 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立平衡方程， 应当注意：每一种形式最多只能 最多只能列 个独立平衡方程， 个未知数， 解6个未知数，任何多于 个的方程都是这些方程的线性 个未知数 任何多于6个的方程都是这些方程的线性 组合。 组合。 空间任意力系平衡方程是平衡方程的一般形式。汇交 空间任意力系平衡方程是平衡方程的一般形式。 力系、平行力系、力偶系及平面力系是其特殊形式。 力系、平行力系、力偶系及平面力系是其特殊形式。

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

1. 汇交力系的平衡方程 空间汇交力系： 空间汇交力系：

∑F = ∑X = 0 ∑F = ∑Y = 0 ∑Fz = ∑Z = 0x

y

三个独立平衡方程，可以求解三个未知数。 三个独立平衡方程，可以求解三个未知数。 三个独立平衡方程 平面汇交力系： 平面汇交力系：

∑F = ∑X = 0x

∑F = ∑Y = 0y

两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。 两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。 两个独立平衡方程

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

2. 空间平行力系的平衡方程z

F1 F2O xy

∑F

iz

=0

∑M x ( Fi ) = 0∑M y ( Fi ) = 0

可以求解三个未知数。 可以求解三个未知数。 三个未知数

F3

Fn

F4

平面平行力系的平衡方程y

F2 F1 F3

Fn

∑ Fy = ∑Y = 0∑MO (Fi ) = 0可以求解两个未知数。 可以求解两个未知数。 两个未知数x

O

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

3. 空间力偶系的平衡方程Mx = ∑Mix = 0i =1 n n

M y = ∑Miy = 0i =1 n

力偶平衡方程

Mz = ∑Miz = 0i= i =1

三个独立的方程，可求解三个未知量。 三个独立的方程，可求解三个未知量。 平面力偶系的平衡方程n

∑M = 0

或 Mz = ∑Miz = 0i=1

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

4. 平面任意力系的平衡方程

∑F = ∑Z ≡ 0z

∑M (F ) ≡ 0x i

∑M (F ) ≡ 0y i

∑ Fx = ∑ X = 0平面任意力系 的平衡方程： 的平衡方程：

∑ Fy = ∑Y = 0∑MO (Fi ) = 0

平衡的解析条件是 平衡的解析条件是：各力在每个坐标轴上投影的代数 和分别等于零，各力对任意点力矩的代数和也等于零。 和分别等于零，各力对任意点力矩的代数和也等于零。 由平衡条件导出的平衡方程称为平衡方程的基本形式。 由平衡条件导出的平衡方程称为平衡方程的基本形式。 基本形式 三个平衡方程相互独立，最多可求解三个未知数。 三个平衡方程相互独立，最多可求解三个未知数。 可求解三个未知数 为应用方便，平衡方程还可有其它两种形式。 为应用方便，平衡方程还可有其它两种形式。

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

二矩式

两个力矩方程， 两个力矩方程，一个投影方程

∑X = 0∑M A (Fi ) = 0∑MB (Fi ) = 0附加条件是：矩心 、 的连线不能与投影轴垂直 的连线不能与投影轴垂直。 附加条件是：矩心A、B的连线不能与投影轴垂直。FRy A B O x

因为平衡方程满足， 因为平衡方程满足，但不 能排除图示不平衡的情形。 能排除图示不平衡的情形。

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

三矩式

三个力矩方程，无投影方程。 三个力矩方程，无投影方程。

∑M A (Fi ) = 0 ∑MB (Fi ) = 0

∑MC (Fi ) = 0附加条件是：矩心 、 不能在同一直线上(共线) 附加条件是：矩心A、B、C 不能在同一直线上(共线)。y C B A O x

FR

因为平衡方程满足， 因为平衡方程满足，但不 能排除图示不平衡的情形。 能排除图示不平衡的情形。

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

以上三种形式的平衡方程均为平衡的必要与充分条件。 以上三种形式的平衡方程均为平衡的必要与充分条件。

应当注意：每一种形式最多只能列三个独立平衡方程， 应当注意：每一种形式最多只能列三个独立平衡方程， 最多只能 独立平衡方程 解三个未知数，任何多于三个的方程都是这

些方程的线 解三个未知数， 性组合。 性组合。 应用时，应当采用何种形式要根据具体情况而定。 应用时，应当采用何种形式要根据具体情况而定。

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

§3-3 平面力系平衡方程的应用单个物体的平衡问题 塔式起重机如图所示。 例 3-1 塔式起重机如图所示。 机架重 P1=700 kN,最大起吊重量 ，最大起吊重量P=200 kN。 。P2 P16m 12 m

问： (1)保证起重机在满载和空载时 保证起重机在满载和空载时 都不翻倒，求配重P 应为多少? 都不翻倒，求配重 2应为多少P

A

B2m 2m

(2)当平衡配重 2=180 kN时 ， 求 当平衡配重P 当平衡配重 时 满载时轨道A, 给起重机轮子的约 满载时轨道 ， B给起重机轮子的约 束力？ 束力？

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

求满载和空载时都不翻倒， 解 ： (1)求满载和空载时都不翻倒， 求满载和空载时都不翻倒 P2=? 以起重机整体为研究对象，受力如图。 以起重机整体为研究对象，受力如图。P2 P16m 12 m

可知，吊车受到平行力系作用。 可知，吊车受到平行力系作用。 使起重机不翻倒， 各力必须满 使起重机不翻倒 ， 足平衡条件。 考察平衡的两个临界 足平衡条件 。 状态： 状态： 为最大时， 1)当P为最大时，起重机有顺时针翻 倒的倾向，平衡临界状态 临界状态的力学条件 倒的倾向，平衡临界状态的力学条件 是FA=0。此时求得P2min。

A

PB

FA2 m 2 m B F

由 得：

∑MB (Fi ) = 0

8 P +2P 10P = 0 1 2 1 P min = P = (10P 2P ) = 75kN 2 2 1 8

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

P2 P16m 12 m

2 ) P=0 时 ， 起重机有逆时针翻倒的 倾向， 平衡临界状态 临界状态的力学条件是 倾向 ， 平衡 临界状态 的力学条件是 FB=0。此时求得P2max。 由 ∑ M A (Fi ) = 0

A

PB

在安全工作状态下， 应取： 在安全工作状态下， P2应取：

4P 2P = 0 1 2 P 1 P max = P = = 350kN 2 2 2

FA2 m 2 m B F

P min ≤ P ≤ P max 即： 75kN ≤ P ≤ 350kN 2 2 2 2(2) 求P2=180kN时起重机的支反力。 时起重机的支反力。 时起重机的支反力 由 由

∑Y = 0

FA +FB P P P = 0 2 1 4FB +4P 14P 2P = 0 2 1FB = 870kN

∑M A (Fi ) = 0

代入数据解得： 代入数据解得：

FA = 210kN

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

如图所示为一悬臂梁， 为固定端， 例3-2 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设梁上受强 的均布载荷作用， 受一集中力F和一 度为 q 的均布载荷作用，在自由端 B 受一集中力 和一 作用， 力偶 M 作用，梁的跨度为 l。 。 求: 固定端的约束力qA y FAy l

M45o

F

解：(1)以梁为研究对象， )以梁为研究对象， 画受力图。 画受力图。 (2)取坐标，列平衡

方程 )取坐标， 由： ∑ Fx = 0

B

FAx F sin 45 = 0o

qMA A

M45o

FB x

由：∑ Fy = 0

FAy ql F cos45o = 0由： ∑M A (F ) = 0 l M A ql × F cos 45o × l + M = 0 2

FAx l

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

(3)解方程 ) 一个方程只包含一未知量，故易得： 一个方程只包含一未知量，故易得：

FAx = F sin 45o = 0.707 F

FAy = ql + 0.707F1 2 MA = ql + 0.707Fl M 2

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

伸臂式起重机， 例3-3 伸臂式起重机，已知匀质梁AB 重P =4kN,吊车连 有关尺寸如图。 同吊起重物重P1=10kN。有关尺寸如图。y

D

试求： 约束力。 试求：拉索BD 的拉力及铰链 A 的约束力。 梁连同重物为研究对象， 解 ： 取 AB梁连同重物为研究对象， 画受力图。 画受力图。 取坐标，列平衡方程。 取坐标，列平衡方程。x

FAyC

FT30°

B

A

FAx3m

由： ∑ X = 0

P

1m

2m

FAx FT cos30o = 0由： ∑Y = 0

(a)

l

P1

FAy P P + FT sin 30o = 0 1 6 FT sin 30o 3P 4P = 0 1

(b)

= 由： ∑M(F) 0 A

(c)

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

三式联立求解，得到： 三式联立求解，得到：

FT = 17.33kNy

FAx = 15.01kN二矩式 由：

FAy = 5.33kN

D

= ∑M(F) 0A

FAyC

FT30°

6 FT sin 30o 3P 4P = 0 1Bx

由：

A

FAx3m

= ∑M(F) 0B

P

1m

2m

6 FAy + 3P + 2P = 0 1由： ∑ X = 0

l

P1

FAx FT cos 30o = 0

第三章 力系的平衡方程及其应用 y

静力学

D

三矩式 由：= ∑M(F) 0A

FAyC

FT30°

6 FT sin 30o 3P 4P = 0 1Bx 由：

A

FAx3m

= ∑M(F) 0B

P

6FAy + 3P + 2P = 0 11m 2m

由：l

= ∑M(F) 0D

P1

3 3FAy 3P 4P = 0 1

解得： 解得： FT = 17.33kN

FAx = 15.01kN

FAy = 5.33kN

结果均为正，表明实际受力方向与假设方向相同。 结果均为正，表明实际受力方向与假设方向相同。 为使平衡方程尽可能包含较少的未知量，避免联立求 为使平衡方程尽可能包含较少的未知量， 通常将矩心取在两个未知力的交点。 解，通常将矩心取在两个未知力的交点。

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

物体系的平衡 §3-4 物体系的平衡 静定和超静定问题由两个或两个以上物体组成的系统称为物体系 物体系。 由两个或两个以上物体组成的系统称为物体系。 物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都平衡。 物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都平衡。 个物体组成， 设物体系由n个物体组成 设物体系由 个物体组成，每个物体都受平面任意力系 作用，每个物体可列出3个独立平衡方程 而对于由n个物 个独立平衡方程。 作用，每个物体可列出 个独立平衡方程。而对于由 个物 体组成的物体系，一

般可列3 个独立平衡方程 个独立平衡方程。 体组成的物体系，一般可列 n个独立平衡方程。 但若系统的n物体中， 但若系统的 物体中，有n1个物体为二力构件或受平面 物体中 力偶系， 个受平面汇交力系或平面平行力系、 力偶系， n2个受平面汇交力系或平面平行力系、n3个受平 面任意力系作用，则最多可列的独立平衡方程的数目m为 面任意力系作用，则最多可列的独立平衡方程的数目 为

m = n1 + 2n2 + 3n3可解m个未知数。 可解 个未知数。 个未知数

第三章 力系的平衡方程及其应用

静力学

设k为物体系统的未知量数目 为物体系统的未知量数目 若k = m,未知量数目等于可列独立平衡方程的数 未知量可完全由平衡方程确定，则将此问题称为静 目，未知量可完全由平衡方程确定，则将此问题称为静 定问题； 定问题； 若k>m,未知量数目多于可列独立平衡方程的数目， 未知量数目多于可列独立平衡方程的数目， 未知量不能完全由平衡方程确定，则将此问题称为超静 未知量不能完全由平衡方程确定，则将此问题称为超静 定问题或静不定问题。 定问题或静不定问题。 工程中为增加构件的刚度和坚固性， 工程中为增加构件的刚度和坚固性，常常为构件 增加“多余”约束，使问题成为了超静定问题。 增加“多余”约束，使问题成为了超静定问题。

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