曲线运动重要教案

第四章 曲线运动

【高考热点】

1、利用物体做曲线运动的条件，判断合运动的轨迹是直线还是曲线。

2、考查分运动与合运动的特点。

3、根据平抛运动的分运动特点，解决平抛运动和类平抛运动问题。

4、运用匀速圆周运动的基本知识，解决实际问题。

【命题规律】

本章内容是每年的必考内容，特别是曲线运动的研究方法——运动的合成与分解，平抛运动和圆周运动，并与实际联系较多，综合性较强，像与万有引力定律、电场、磁场、机械能守恒等的结合，望同学们在复习当中引起足够的重视。

第一节 曲线运动 运动的合成与分解

【知识清单】

一、曲线运动

1、 曲线运动与直线运动的明显区别是：做曲线运动的物体_________时刻在改变。

2、 在曲线运动中，质点在某一点的速度方向是_________。

3、 物体做曲线运动的条件是___________________________，因此，做曲线运动的物体，其加速度的方向和速度的方向也不在同一条直线上。

二、运动的合成与分解

1、 一个 运动可以根据其效果分解为两个运动，这两个运动叫_________，而那一个运动称为这两个运动的_________。

2、 合位移是指物体实际运动的位移，分位移是指___________________________，合速度是指___________________________，分速度是指物体在各个分运动方向上的速度。

3、 合运动的位移、速度、加速度分别是两个分运动的位移、速度、加速度的_______和。

4、 已知分运动求合运动叫做_________，已知合运动求分运动叫做_________。

5、 合运动与分运动可以是直线运动，也可以是曲线运动，一个曲线运动可以分解为两个方向上的直线运动。

【考点导航】

一、曲线运动

1、特点：（1）质点的运动轨迹为曲线；

（2）质点的速度时刻发生变化；

（3）曲线运动一定是变速运动（即一定存在加速度）；

2、物体做曲线运动的条件：

（1）物体做直线运动的条件：物体受到的合外力为零或者合外力不为零，但是合

外力与初速度的方向在同一条直线上。

①从运动学角度：物体的合加速度与合初

（2）物体做曲线运动的条件 速度不在同一条直线上。 ②从动力学角度：物体的合外力与合初速

度不在同一条直线上。

【例1】下列说法正确的是（ ）

A、 物体在恒力作用下不可能做曲线运动

B、 物体在变力作用下一定作曲线运动

C、 物体在恒力作用下一定做匀变速运动

D、 曲线运动一定是变速运动

【解析】物体的轨迹是直线还是曲线，看的是力与速度的关系，如果二者在同一条直线上，做直线运动，否则，做的就是曲线运动，与是否为恒力无关。如果受到的是恒力，则物体做匀变速运动。故此题答案为CD。

【变式训练】如图所示，塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着的物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体

B向上吊起，A、B之间的距离以d = H – 2t（SI）（2 ｛际单位制，式中HA、

速度大小不变的曲线运动 B、 速度大小增加的曲线运动

C、 加速度大小方向均不变的曲线运动D、 加速度大小方向均变化的曲线运动二、运动的合成与分解

1、合运动与分运动的关系

（1）等时性：分运动与合运动所经历的时间是相同的

（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动是独立的，不受其他运动的影响

（3）等效性 ：各分运动的效果与合运动的效果是相同的

2、运动的合成与分解

（1）运动在进行合成与分解时遵循的是平行四边形法则，两分运动垂直时，满足

（2）“绳拉物”问题：物体的实际运动就是合运动，我们要分解的就是实际运动。

【例2况是（ ）

A、 绳子的拉力大于A的重力

B、 绳子的拉力小于A的重力

C、 绳子的拉力等于A的重力

D、 拉力先是大于重力，后变为小于重力

【解析】根据运动的分解可得如右图所示的分解图，

VA = V车COSθ，由于小车做的是匀速运动，即V车不

变，而θ逐渐减小，COSθ逐渐增大，故物体A应该 加速向上运动，处于超重状态，故答案为A。

【变式训练】如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合 装置用来提升重物M转轴，其端点恰好处于左侧滑轮的下方O处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与Oo速度 ω 缓慢的转至水平（转过了90角），

此过程中下述说法正确的是（ ）

A、 重物M作匀速直线运动

B、 重物M作匀变速直线运动

C、 重物M的最大速度是ωL D、 重物M的速度是先减小后增大

（3

） 【例3】现在有一小船要渡河，河的宽度为d V2 ，求：

（1）船要在最短时间内划到对岸，船头应该指向何方？渡河的时间t1为多少？位移x1为多少？

（2）船要沿最短路径划到对岸，船头应指向何方？渡河时间t2为多少？位移x2为多少？

【解析】（1运动的独立性可得，t1 = d / V2

X1=d/sinθ=（d√V1+V2）/ V1

（2）要以最短的路径过河，可能有两种情况：

① 当V1 < V2 时，设V2 偏向上游，与河岸成α 角，这时，V1 与 V2 的合速度应该与河岸垂直，最短

航程就是 d ，此时，COSα = V1/ V2 。 渡河时间t2 = d /√V1-V2 ② 当V1 > V2 移最小，此时，合速度与圆相切，即合速度V垂直，有 sinθ =V2 / V1 岸成α = 90o-θ= ∏/2—arcsin(V2 / V1) =arccos(V2 / V小船过河的位移最短，最短位移X2 = d/sinθ=d V1过河的时间t2 = X2/V=d V1/ (V2√V1-V2)

【变式训练】有一小船正在渡河，如图所示，在离

对岸30m 时，其下游40m 处有一危险水域。假若水流的

速度为5 m/s ,为了使小船在到达危险水域之前到达对岸，

那么，从现在起，小船相对于静水的最小速度应是多少？

【重难诠释】

１、对物体做曲线运动条件的理解

当物体受到的合外力方向与速度方向夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将增大，当物体受到的合外力方向与速度方向夹角为 钝角时，物体做曲线运动的速率将减小，当物体受到的合外力方向 与速度方向夹角为直角时，物体做曲线运动的速率保持不变，即F1速度的大小，F2改变速度的方向。

２、对分运动与合运动的理解

合运动是物体的实际运动，而分运动产生的是同种效果。在对运动进行分解时，一定要分清那是合运动，那是分运动，两分运动要进行正交分解。进行等效合成时，要寻找两个分运动时间的联系——等时性，这往往也是分析处理曲线运动问题的切入点。

【创新考场】

１. 关于运动的合成的说法中，正确的是 （ ）

A．合运动的位移等于分运动位移的矢量和

B．合运动的时间等于分运动的时间之和

C．合运动的速度一定大于其中一个分运动的速度

D．合运动的速度方向与合运动的位移方向相同

２. 物体在几个力的作用下处于平衡状态，若撤去其中某一个力而其余力的性质（大小、方

向、作用点）不变，物体的运动情况可能是 （ ）

A．静止 B．匀加速直线运动

C．匀速直线运动 D．匀速圆周运动

３.某质点做曲线运动时 （ ）

A.在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向

B.在任意时间内，位移的大小总是大于路程

C.在某段时间里质点受到的合外力可能为零

D.速度的方向与合外力的方向必不在同一直线上

４.一个质点在恒力F作用下，在xOy平面内从O点运动到A点的轨迹如图所示，且在A点的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向不可能（ ）

A.沿x轴正方向 B.沿x轴负方向

C.沿y轴正方向 D.沿y轴负方向

５. 做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（ ）

A.速度 B.加速度

C.速率 D.合外力

６.下列关于物体做曲线运动的说法，正确的是（ ）

A.曲线运动一定是变速运动

B.有些曲线运动也可能是匀速运动

C.变速运动一定是曲线运动

D.做曲线运动的质点的速度方向就是质点在曲线上这点的切线方向

７.关于物体的运动，下列说法中正确的是（ ）

A. 物体做曲线运动时，它所受的合力一定不为零

B. 做曲线运动的物体，有可能处于平衡状态

C. 做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变

D. 做曲线运动的物体，所受的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上

８. 一条河宽400 m，船在静水中的速度是4 m/s，水流速度是5 m/s，则（ ）

A. 该船一定不能垂直渡到河岸

B. 当船头垂直河岸横渡时过河所用时间最短

C. 船横渡到对岸时，船对岸的最小位移为400 m

D. 该船渡河的速度最小是4 m/s

9．加速度不变的运动( )

A．可能是直线运动 B．可能是曲线运动

C．可能是匀速圆周运动 D．一定是匀变速运动

10.如图所示，蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升， 若在蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置水

平向右做匀加速直线运动，则蜡块的实际运动轨迹可能是图 中的 （ ） A．直线P B．曲线Q

C．曲线R D．三条轨迹都有可能

11．在加速度为a 的火车上，某人从窗口上相对于火车无初速度释放物体Ａ，在不计空气阻力的情况下，车上的人看到物体的运动轨迹为（ ）

Ａ.竖直的直线 Ｂ.倾斜的直线 Ｃ.不规则的曲线 Ｄ.抛物线

１２.运动员沿操场的弯道部分由Ｍ向Ｎ跑步时，速度越来越大，如图所示，他所受到的地

１３. 如图所示,人在河岸上用轻绳拉船，若人以速度v

匀速行进，则船将做 ,在图示时船的速度为 A.匀速运动 B.匀加速运动

C.变加速运动 D.减速运动

第二节 抛体运动

【知识清单】

1、 抛体运动是指______________________________时，物体所做的运动。

2、 物体做抛体运动需具备两个条件（1）______________________________；

（2）_____________________________。

3、平抛运动是指_________________________________________________。

4、平抛运动的特点是（1）______________________________；

（2）_____________________________。

5、用实验探究平抛物体在水平方向上的规律思路是：（1）设法通过实验得到___________________；（2）在平抛运动轨迹上找到每相隔相等时间，物体所到达的位置；

（3）_____________________________。

6、平抛运动可以分解为_________________________和______________________。

7、平抛运动的轨迹是一条抛物线。

8、斜向上或斜向下抛出的物体只在重力（不考虑空气的阻力）作用下的运动叫做斜抛运动。

9、斜抛运动可以看做是____________________和_________________的合运动。

【考点导航】 一、平抛运动：只受重力，加速度等于g

二、平抛运动的处理方法

平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方 向上的自由落体运动，建立如右图所示的坐标系，设物体被 抛出后经历的时间为ts，则ts末，物体的水平速度为VO， 竖直速度Vy=gt ，合速度V=√Otanθ = Vy/VO = gt/ VO

ts内，在x轴上发生的位移X=Vot ，在y轴上发生的位移y= 1/2gt ，故合位移

22222为S= √X+y =√（VO）+（1/2gt） ，方向tanα =y/x=gt/2v0

在这种问题当中，时间是联系两个分运动的桥梁，并且时间仅由下落的高度来决定，其他的像位移、速度、速度和位移的方向等均是由时间和水平初速度共同来决定。

【例1】关于平抛运动，下面的几种说法正确的是 （ ）

A. 平抛运动是一种不受任何外力作用的运动

B. 平抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动

C. 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动

D. 平抛运动的落地时间与初速度大小无关，而落地时的水平位移与抛出点的高度有关

【解析】此题考查的是平抛运动的基本知识，正确答案是CD。

【变式训练】如图所示，将一小球以10 m/s的速度水平抛出，

落地时的速度方向与水平方向的夹角恰为45°，不计空气阻 ．．．．

力，求：

（1）小球抛出点离地面的高度？

（2）小球飞行的水平距离？（g取10 m/s2）

三、类平抛运动

有时候物体的运动与平抛运动很相似，也是在

某方向上做匀速直线运动，另一垂直方向上做 初速度为零的匀加速直线运动。对于这种运动，

像平抛运动但又不是平抛运动，通常称为类平

抛运动。处理方法与平抛运动一样，只是加速

度不同而已。例如某质点具有竖直向下的初速度同时受到恒定的水平向右的合外力，则质点做沿

x轴的匀速直线运动和沿y轴的初速度为零的匀

加速直线运动，运动规律与平抛运动相同。

【例2】如图所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长

L为10m，一小球从斜面顶端以10m/s的速度沿水平方向

2抛出，g取10 m/s，求：

（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移s；

（2）小球到达斜面底端时的速度大小．

【解析】小球沿水平方向作匀速运动，沿斜面向下方向作匀

0 变速直线运动，加速度a= gsin30

故L=L1gsin300·t2 ，解之得：t

=2=2s g2

小球沿斜面滑到底端时水平位移x=v0t=10×2=20m

vx=v0=10m/s vy= gsin300·t=10m/s

22小球到达斜面底端时的速度大小为v=vx vy=102m/s

注：此类题目在电场中较多，这里就不再重复介绍。

四、 和其他物体相关联的平抛运动

通常和自由落体联系在一起，解决相遇和追及问题，这时只要注意平抛运动在竖直方向上做的是自由落体运动，以及运动的两物体在水平方向上的位移关系即可。

【例3】如右图所示，在高度分别为hA、hB（hA ＞ hB）的

两处以vA、vB相向水平抛出A、B两个小物体，不计空气阻

力，已知它们的轨迹交于C点，若使A、B两物体能在C处

相遇，应该是 （ ）

A. vA必须大于vB B. A物体必须先抛

C. vB必须大于vA D. A、B必须同时抛

【解析】由于hA ＞ hB ，要是Ａ、Ｂ同时到达Ｃ点，必须让Ａ先下落，但是对二者的初速度没有限制，只要二者的水平位移大于Ａ、Ｂ之间的水平距离即可，故应选Ｂ。

【变式训练】如右图，小球Ｐ被悬挂在距离地面

Ｈ的高度处，有一水平放置的手枪指向小球射击，

枪口Ａ与Ｐ的距离为Ｓ，如果在发射子弹时，小

球同时下落，讨论子弹的速度至少多大时，才能

击中小球。

四、研究平抛运动的实验

１、实验目的：（１）描出平抛运动的轨迹；（２）求平抛物体的初速度

２、实验原理：利用平抛运动的特点和两个方向的中间桥梁——时间，列出两个方向的运动学方程，消去时间得到初速度的表达式。

３、实验器材：斜槽、白纸、图钉、方木板、小球、刻度尺、重锤、三角尺、铅笔、铁架台

４、实验步骤：

（１）安装、调整斜槽：斜槽末端切线水平。

（２）调整木板，确定坐标原点：原点应为小球在斜槽末端时，球心在木板上的投影。 （３）描点，划轨迹：让小球多次从同一位置由静止滚下，用铅笔描点，并用平滑的曲线连起来。

（４）计算初速的ＶＯ：选几个不同的点，测出不同点的Ｘ、Ｙ，用公式算出ＶＯ ，再求平均值。

【例４】如图是小球在某一星球上做平抛运动的闪光照片，

图中每个小方格的边长都是0.5cm。

已知闪光频率是５０Hz，那么重力加

速度g是 m/s2，小球的初速度是

m/s，小球通过A点时的

速率是 m/s。

【解析】这种题一定要注意第一个点并不一定就是初位置。从图中可以看出，相邻两个点之间的水平距离相等，可知相邻两个点之间的时间间隔相等。在水平方向上：３Ｌ＝ＶＯｔ

２在竖直方向上：ΔＨ＝２Ｌ＝ｇｔ ，频率为５０Hz，则ｔ＝０.０２ｓ，故ｇ＝２５m/s2，

VO=0.75 m/s 。由匀变速直线运动的推论可知，A点在竖直方向上的速度为VYA=8L / 2t =1 m/s ,故VA= √VO2+VyA2 =1.25 m/s

【重难诠释】

Δ相等的，并且Δ两箭头之间的距离相等，且虚线为竖直向下的）。

２、两个有用的推论：如图所示，tanα=V0/VY

2tanθ=X/Y= V0t/ gt = 2V0/VY 。即tanθ=2tanα

由tanθ=2tanα还可以证明处A点为水平位移的中 点，同学们可以自己来完成证明。

4、 体运动，但是有的时候为了处理问题的方便，也 不是一定要这样分解。下面看一个思考题：如图 所示，从倾角为α的斜面顶端，以水平速度V0 抛 出，不计空气的阻力，则小球抛出后经过多少时间 离开斜面的距离最大？最大距离是大少？

【解析】将此平抛运动分解为沿斜面向下的匀加速直线运动，

gX=gsinα，VX= V0cosαgy=gcosα，Vy= V0sinα两个方向的分运动。当Vy离斜面的距离最大，设经过的时间为t，则t= Vy / gy =（V0sinα）/(gcosα) = Votanα/ g 222由Vy=2gyX得，X= V0sinα/ 2gcosα

【创新考场】

1. 关于平抛运动，下列说法正确的是（ ）

A.平抛运动是匀变速运动

B.平抛运动是变加速运动

C.任意两段时间内速度变化量的方向相同

D.任意两段相等时间内的速度变化量的大小相等

2. 一个物体以初速度v0水平抛出，在t时刻其竖直方向速度大小是v0，那么t为（ ）

A.v0/g

C.v0/2g B.2v0/g D.2v0/g

3. 做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是 （ ）

A.大小相等，方向相同

B.大小不等，方向不同

C.大小相等，方向不同

D.大小不等，方向相同

4. 人站在楼上水平抛出一个小球，球离手时速度为V0，落地时速度为V，忽略空气阻力，在图中能正确表示在同样时间内速度矢量的变化情况的是图 （ ）

5. 如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕

2沟两侧的高度差为0.8m. 取g=10m/s，则运动员跨过壕沟所用的时间为 （ ）

A．3.2s B．1.6s C． 0.8s D． 0.4s

6. 以速度v0水平抛出一个小球，如果从抛出到某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，以下判断正确的是（ ）

A.此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小 B

C．小球运动的时间为2v0 D、此时小球的速度方向与位移方向相同 g

7. 两个物体做平抛运动的初速度之比为2∶1，若它们的水平射程相等，则它们抛出点离地面高度之比为（ ）

A.1∶2 B.1∶12

C.1∶4 D.4∶1

008、如图所示，两相对倾角分别为53和37，在顶点将两个球

以相同的速度分别向左、右水平抛出，小球都落在斜面上，不 计空气的阻力，则A、B两个小球落到斜面上的时间之比（ ）

A、1：1 B、3：4 C、4：3 D：16：9

9、如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，且ab=bc=cd，

从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在

斜面上的b点。若小球O以速度2v水平抛出，不计空气的

阻力，则它落在斜面上的（ ）

A、 b和c之间的某一点 B、 c点

C、 c和d之间的某一点 D、 d点

10. 如图所示，将一小球以10 m/s的速度水平抛出，落地时的速度方向与水平方向的夹角．．．．

恰为45°，不计空气阻力，求：

（1）小球抛出点离地面的高度？

（2）小球飞行的水平距离？（g取10 m/s2）

11、一固定的斜面倾角为θ，一物体从斜面上的

体落在B点的速度与斜面的夹角为定值。

A点平抛并落到斜面上的B点，试证明物

第三节 圆周运动

【知识清单】

（一） 匀速圆周运动的概念

1、 质点沿圆周运动，如果______________________________，这种运动叫做匀速圆周运动。

2、 匀速圆周运动的各点速度不同，这是因为线速度的______时刻在改变。

（二） 描述匀速圆周运动的物理量

1、 匀速圆周运动的线速度大小是指做圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值。方向沿着圆周在该点的切线方向。

2、 匀速圆周运动的角速度是指做圆周运动的物体与圆心所连半径转过的角度跟所用时间的比值。

3、 匀速圆周运动的周期是指____________________________所用的时间。

（三） 线速度、角速度、周期

1、 线速度与角速度的关系是V=ωr ，角速度与周期的关系式是ω=2π/T。

2、 质点以半径r=0.1m绕定点做匀速圆周运动，转速n=300r/min，则质点的角速度为_______rad/s,线速度为_______m/s。

3、 钟表秒针的运动周期为_______s，频率为_______Hz，角速度为_______rad/s。

（四） 向心力、相信加速度

1、 向心力是指质点做匀速圆周运动时，受到的总是沿着半径指向圆心的合力，是变力。

2、 向心力的方向总是与物体运动的方向_______，只是改变速度的_______，不改变线速度的大小。

3、 在匀速圆周运动中，向心加速度的_______不变，其方向总是指向_______，是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。

4、 向心加速度是由向心力产生的，在匀速圆周运动中，它只描述线速度方向变化的快慢。

5、 向心力的表达式_______________。向心加速度的表达式_______________。

6、 向心力是按照效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生_______，它就是物体所受的向心力。

7、 火车拐弯时，如果在拐弯处内外轨的高度一样，则火车拐弯所需的向心力由轨道对火车的弹力来提供，如果在拐弯处外轨高于内轨，且据转弯半径和规定的速度，恰当选择内外轨的高度差，则火车所需的向心力完全由__________和________的合力来提供。

8、 汽车通过拱桥或凹的路面时，在最高点或最低点所需的向心力是由__________________的合力来提供。

【考点导航】

一、匀速圆周运动中，线速度、角速度、周期、频率、转速之间的关系

T=1/f ω=2π/T=2πf V=2πr/T = 2πrf ω=2πn n=f

二、匀速圆周运动的特点

加速度的大小不变，方向总是指向圆心，时刻在改变，是变加速曲线运动，做匀速圆周运动的物体所受的合外力全部用来提供向心力，即合力的方向指向圆心。

三、向心加速度、向心力

1、 根据F=ma 知，向心力和向心加速度的方向相同，都时刻指向圆心，时刻在发

生变化。

2、 向心力的来源：可以是任何一个力，可以是任何一个力的分力，也可以是某几

个力的合力。

【例1】质点做匀速圆周运动，则 （ ）

A、 在任何相等的时间里，质点通过的位移都相等

B、 在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等

C、 在任何相等的时间里，质点运动的平均速度的都相等

D、 在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等

【解析】此题考查的是曲线运动的特点，即位移、速度的方向变化。故此题选BD

【变式训练】在一个水平圆盘上有一个木块P，随圆盘一起

绕过O点的竖直轴匀速转动，下面说法正确的是（ ）

A、 圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力的方向

指向圆心O点。

B、 圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力为0。

C、 在转速一定得条件下，P受到的静摩擦力跟P到圆心O的距离成正比

D、 在P到圆心O的距离一定的条件下，P受到的静摩擦力的大小跟圆盘匀速转动的角速

度成正比。

四、同轴传动、皮带传动和齿轮传动

两个或者两个以上的轮子绕着相同的轴转动时，不同轮子上的点具有相同的角速度，通过皮带传动的两个轮子上，与皮带接触的点具有相同的线速度，齿轮传动和皮带传动具有相同的规律。

【例2】如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边缘上的一点.左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r.b点在小轮上,b到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中,皮带不打滑.则( )

A．a点与b点的线速度大小相等

B．a点与b点的角速度大小相等

C．a点与c点的线速度大小相等

D．a点与d点的向心加速度大小相等

【解析】a和c是与皮带接触的两点，二者具有相同的

线速度，b、c、d属于同轴传动，它们具有相同的角速度， 由v=rω、向心加速度的表达式和它们半径之间的关系，

不难选出正确答案为AB。

四、在竖直平面内做圆周运动的物体的临界问题

1、没有支持物的物体在竖直平面内做圆周运动

像用绳子拴住的小球，竖直轨道内侧运动的小球在竖直平面内运动，都属于没有支持物的物体在竖直平面内的圆周运动，此类问题我们只研究最高点和最低点两个特殊的位置。

⑴在最低点时，无论是绳子还是轨道，对物体提供的是向上的指向圆心的力，即2F-mg=mv/r。

⑵在最高点时，绳子和轨道都不能给运动的物体提供向上的支持力，只能提供向下的拉

2力或者压力，即F+mg=mv/r，在最高点的速度减小时，F也随着减小，当F减小为零时，我

2们有mg=mv/r，v=√gr

第四章 曲线运动答案

第一节 曲线运动 运动的合成与分解

【知识清单】

一、1、速度方向 2、曲线上该点的切线方向 3、物体所受的合外力与速度方向不在同一条直线上。

二、1、分运动 ；合运动 2、物体在各个分运动方向上的位移；物体实际运动的速度

3、矢量 4、运动的合成；运动的分解

【变式训练】1、解析：由d = H – 2t可得，B以4 m/s 的加速度向上做匀加速直线22

运动，故B得合运动为加速度为4 m/s 的曲线运动，故选BC。

2、解析：把杆中点的线速度进行分解得到如图所示的分解图，

V绳 = 1/2 ωLcosθ，Θ逐渐减小，cosθ逐渐增大，V绳逐渐增大，当杆

到达水平位置时，V绳 = ωL，达到最大，故选C。 3、解析：设小船相对于静水中的最小速度为V船，船头朝上游，

与河岸的夹角为α，则d =V船sinα·t………①

x=（V水—V船cosα）·t……② 联立①②，消去t得，

ｏV船（4sinα+3cosα）=15 即 V船sin（α+β）=3 tanβ=3／４ β＝３７

ｏα＝５３ 当sin（α+β）＝１时，ｖ船最小，Ｖ船ｍｉｎ＝３m/s

ｏ所以，当船头朝河岸的上游，与河岸夹角为５３时，船的速度最小，为３m/s 。

【创新考场】1、A 此题考查分运动与合运动的关系，D答案只在合运动为直线时才正确。

2、B 其余各力的合力与撤去的力等大反向，仍为恒力。

3、AD 4、ABC 质点到达A点时，Vy=0，故沿y轴负方向上一定有力。

5、A 曲线运动的几个典型例子是匀变速曲线运动像平抛和匀速圆周运动，故B、C、D均可不变化，但是速度一定变化。

6、AD 7、AC 此题考查的是物体做曲线运动的条件和特点

8、AB 由于V船<V水，故船不可能垂直到达对岸，但当V船垂直于河岸时，用的时间最少，为10s，当V船垂直于合速度时，过河的位移最小，这时，合速度与河岸的夹角为53o Xmin=d/sin53o=500m。

9、ABD 加速度不变时，物体做的是匀变速运动，轨迹可以是直线也可以是曲线。

10、B 注意玻璃管向右做的是匀加速运动。

11、B 车上的人看到的下落物体初速度为0

速直线运动。 12、B 力F应沿着切向和径向都有分力，且切向分力与速度的方 向相同 13、C 将船的实际运动分解为如图所示，V船=V/cosθ

Θ逐渐增大，cosθ逐渐减小，故V船增大，做的是变加速运动。

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第二节 抛体运动

【知识清单】

1、 以一定的速度将物体抛出，在空气的阻力可以忽略的情况下

2、 具有一定得初速度；仅受重力。

3、 物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下的

运动。

4、 初速度水平；只受重力

5、 平抛运动的轨迹；测量两相邻位置间的水平位移，分析这些位移的特点

6、 水平方向上的匀速直线运动；竖直方向上的自由落体运动

9、水平方向上的匀速直线运动；竖直方向上的竖直上抛或竖直下抛

【变式训练】1、解析：分解小球的末速度得，Vy=Vo=10m/s

由Vy2=2gh得，高度h= Vy2/2g=5m。

由Vy=gt得，t=Vy/g=1s

水平位移X=Vot=10m

2、解析：由于子弹在竖直方向上和小球同时做自由落体运动，即在同一时刻，二者在同一水平线上，所以，只要子弹的水平射程X≥S即可。

由H=1/2gt2得，t=√2H/g 。 即Vot≥S Vo≥S√故子弹的速度至少为S√g/2H时，才能击中小球。

【创新考场】1、ACD 在平抛运动中物体只受重力，故为匀变速运动，A正确，由 ΔV=gt可知，CD也正确。

2、A 物体在竖直方向上Vy=Vo=gt t=Vo/g 故选A。

3、A 由ΔV=gt可知，每秒速度的增量都为g，方向竖直向下。

4、C 相同时间内，ΔV的大小和方向均相同。

5、D 由H=1/2gt2得，t=0.4s

6、C 由X=y得，Vot=1/2gt2 即t=2 Vo/g ，此时Vy =gt=2 Vo

合速度V=√Vx2+Vy2 =√5 Vo 故选C

7、C 由平抛运动中的H=1/2gt2得，当高度之比为1：4时，时间之比为1：2，再由X=Vot可知此时二者的水平射程相等。

8、D 对左边的小球：X=Vot

Y=1/2gt2

tan530=y/X 联立以上三个方程可得t=8Vo/3g 对右边的小球：X'=Vot'

Y'=1/2gt'2

tan370=y'/X' 联立以上三个方程可得t'=3Vo/2g 所以t：t'=16：9

9、A 由平抛运动的知识和右图可看出答案

10、5m 10m

11、根据图中提供的图，设初速度为Vo，到B点

竖直方向速度为Vy，合速度与竖直方向的夹角为α

物体经过时间t落到斜面上，则tanα=VX/VY=VO/gt=Vo

α为定值，所以β=（∏/2—θ）—α，β也是定值，即速度方向与斜面的夹角与平抛初速度无关，只与斜面的倾角有关。

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