解三角形(历届高考题)之令狐文艳创作
更新时间:2023-05-16 17:49:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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令狐文艳创作
令狐文艳创作 历届高考中的“解三角形”试题精
选(自我测试)
令狐文艳
一、选择题:(每小题5分,计40分)
1.(2008北京文)已知△ABC 中,a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于( )
(A )135° (B)90°(C)45° (D)30°
2.(2007重庆理)在ABC ?中,,75,45,300===C A AB 则BC =( ) A.33- B.2 C.2 D.33+
3.(2006山东文、理)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为
a 、
b 、
c ,A =3π,a =3,b =1,则c =( )
(A )1 (B )2 (C )3—1 (D )3
4.(2008福建文)在中,角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,
若222a c b +-=,则角B 的值为( ) A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23
π 5.(2005春招上海)在△ABC 中,若
C c B b A a cos cos cos ==,则△ABC 是( )
(A )直角三角形. (B )等边三角形. (C )钝角三角形.
(D )等腰直角三角形.
6.(2006全国Ⅰ卷文、理)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别
为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则
cos B =( )
A .1
4B .34 C
.4 D
.3
7.(2005北京春招文、理)在ABC ?中,已知
C B A sin cos sin 2=,那么ABC ?一定是( )
A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .正三角形
8.(2004全国Ⅳ卷文、理)△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c
令狐文艳创作
令狐文艳创作 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为2
3,那么b =( )
A .231+
B .31+
C .232+
D .32+
二.填空题: (每小题5分,计30分)
9.(2007重庆文)在△ABC 中,AB =1, B C =2, B =60°,则AC =。
10. (2008湖北文)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所
对的边,已知3,30,a b c ===?
则A = .
11.(2006北京理)在ABC ?中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是_____.
12.(2007北京文、理)在ABC △中,若1tan 3
A =,150C =,1BC =,则A
B =________. 13.(2008湖北理)在△AB
C 中,三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为.
14.(2005上海理)在ABC ?中,若120A ∠=,5AB =,7BC =,则ABC ?的面积S=_______
三.解答题: (15、16小题每题12分,其余各题每题14分,计80分)
15.(2008全国Ⅱ卷文)在ABC △中,5cos 13A =-,3cos 5
B =. (Ⅰ)求sin
C 的值; (Ⅱ)设5BC =,求ABC △的面积. 16.(2007山东文)在ABC △中,角A B C ,,
的对边分别为tan a b c C =,,,
(1)求cos C ; (2)若2
5CA CB =?,且9a b +=,求c . 17、(2008海南、宁夏文)如图,△ACD 是等边三角形,△ABC
是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交AC 于E ,
(1)求cos ∠CBE 的值;(2)求AE 。
18.(2006全国Ⅱ卷文)在45,ABC B AC ?∠=?=
中,求 (1)?BC = (2)若点D AB 是的中点,求中线CD 的长度。
19.(2007全国Ⅰ理)设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, a =2b sin A
(Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围.
令狐文艳创作
令狐文艳创作 20.(2003全国文、理,广东)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O
(如图)的东偏南
(cos θθ=方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北?45方向移动,台
风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为
60km ,并以10km/h 的速度不断增大,问几
小时后该城市开始受到台风的侵袭?
历届高考中的“解三角形”试题精
选(自我测试)
参考答案
一、选择题:(每小题5分,计40分)
二.填空题: (每小题5分,计30分) 9.3; 10.30° ; .11. __ 60O
_.
12. 210
; 13.612
; 14.4315 三.解答题: (15、16小题每题12分,其余各题每题14分,计80分)
15.解:(Ⅰ)由5cos 13A =-
,得12sin 13A =,由3cos 5B =,得4sin 5
B =. 所以16sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=
. (Ⅱ)由正弦定理得4
5sin 13512sin 3
13
BC B AC A ??===. 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =???1131652365=???83
=. 16.解:(1)sin tan cos C C C
=∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8
C =±. tan 0C >,C ∴是锐角. 1cos 8
C ∴=. (2)∵2
5=?,即abcosC=25 ,又cosC=8120ab ∴=. 又9a b +=22281a ab b ∴++=.
2241a b ∴+=. 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=. 6c ∴=.
17.解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==,所以
东
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15
CBE =∠.
所以6cos cos(45
30)4
CBE =-=
∠.
(Ⅱ)在ABE △中,2AB =,
由正弦定理
2sin(4515)
sin(9015)
AE =
-+. 故2sin 30
cos15AE
=
12
?
=
=
18.解:(1
)由
cos sin C C
== 由正弦定理知
sin sin
AC BC
A B =?=
=(2)
sin 2sin AC AB C B =
?==, 1
12
BD AB == 由余弦定理知
132
2
2312181cos 222=?
??-+=?-+=B BC BD BC BD CD 19.解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1
sin 2
B =,
由ABC △为锐角三角形得π6
B =.
(Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π-
- ?6?
?cos sin 6A A π??
=++
???
1cos cos 22A A A =++3A π?
?=+ ??
?.
由ABC △为锐角三角形知,2
A 0π<<,
ππ
π
<+
<6
A 2
.
解得
2A 3π
π
<
< 所以
6
53A 32π
ππ<
+<,
所以1sin 23
A π??
+< ???
3A π?
?<+< ?
?
? 所以,cos sin A C +的取值范围为322??
? ???
,. 20.解:设在t 时刻台风中心位于点Q ,此时|OP|=300,|PQ|=20t ,
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60,
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由10
2cos =
θ
,可知
10
2
7cos 1sin 2
=-=θθ,
cos ∠OPQ=cos(θ-45o
)= cos θcos45o
+
sin θsin45o
=
5
422102722102=?+? 在 △OPQ 中,由余弦定理,得
=5
4
203002)20(3002
2
???-+t t
=9000096004002+-t t
若城市O 受到台风的侵袭,则有|OQ|≤r(t),即
22)6010(900009600400+≤+-t t t ,
整理,得0288362≤+-t t ,解得12≤t ≤24, 答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
1.正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===外 2.余弦定理:a 2
=b 2
+c
2
-2bccosA ,222
cos 2b c a A bc
+-=;
3 .射影定理:a = b cos C + c cos B ;b = a cos C +
c cos A ;c = a cos B + b cos A
4.(1)内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= -cosC,
cos 2C =sin
2B A +,sin 2
C
=cos
2
B
A + (
2)
面
积公式:
S=2
1absinC=2
1bcsinA=2
1casinB
5.利用正弦定理,可以解决以下两类问题:
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角;有三
东
B
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种情况:
bsinA<a<b时有两解;a=bsinA或a=b时有解;a<bsinA时无解。
6.利用余弦定理,可以解决以下两类问题:
(1)已知三边,求三角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角。
7.熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化,能在应用题中抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法;提高运用所学知识解决实际问题的能力
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