解三角形(历届高考题)之令狐文艳创作

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令狐文艳创作

令狐文艳创作 历届高考中的“解三角形”试题精

选(自我测试)

令狐文艳

一、选择题:(每小题5分,计40分)

1.(2008北京文)已知△ABC 中,a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于( )

(A )135° (B)90°(C)45° (D)30°

2.(2007重庆理)在ABC ?中,,75,45,300===C A AB 则BC =( ) A.33- B.2 C.2 D.33+

3.(2006山东文、理)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为

a 、

b 、

c ,A =3π,a =3,b =1,则c =( )

(A )1 (B )2 (C )3—1 (D )3

4.(2008福建文)在中,角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,

若222a c b +-=,则角B 的值为( ) A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23

π 5.(2005春招上海)在△ABC 中,若

C c B b A a cos cos cos ==,则△ABC 是( )

(A )直角三角形. (B )等边三角形. (C )钝角三角形.

(D )等腰直角三角形.

6.(2006全国Ⅰ卷文、理)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别

为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则

cos B =( )

A .1

4B .34 C

.4 D

.3

7.(2005北京春招文、理)在ABC ?中,已知

C B A sin cos sin 2=,那么ABC ?一定是( )

A .直角三角形

B .等腰三角形

C .等腰直角三角形

D .正三角形

8.(2004全国Ⅳ卷文、理)△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c

令狐文艳创作

令狐文艳创作 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为2

3,那么b =( )

A .231+

B .31+

C .232+

D .32+

二.填空题: (每小题5分,计30分)

9.(2007重庆文)在△ABC 中,AB =1, B C =2, B =60°,则AC =。

10. (2008湖北文)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所

对的边,已知3,30,a b c ===?

则A = .

11.(2006北京理)在ABC ?中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是_____.

12.(2007北京文、理)在ABC △中,若1tan 3

A =,150C =,1BC =,则A

B =________. 13.(2008湖北理)在△AB

C 中,三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为.

14.(2005上海理)在ABC ?中,若120A ∠=,5AB =,7BC =,则ABC ?的面积S=_______

三.解答题: (15、16小题每题12分,其余各题每题14分,计80分)

15.(2008全国Ⅱ卷文)在ABC △中,5cos 13A =-,3cos 5

B =. (Ⅰ)求sin

C 的值; (Ⅱ)设5BC =,求ABC △的面积. 16.(2007山东文)在ABC △中,角A B C ,,

的对边分别为tan a b c C =,,,

(1)求cos C ; (2)若2

5CA CB =?,且9a b +=,求c . 17、(2008海南、宁夏文)如图,△ACD 是等边三角形,△ABC

是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交AC 于E ,

(1)求cos ∠CBE 的值;(2)求AE 。

18.(2006全国Ⅱ卷文)在45,ABC B AC ?∠=?=

中,求 (1)?BC = (2)若点D AB 是的中点,求中线CD 的长度。

19.(2007全国Ⅰ理)设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, a =2b sin A

(Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围.

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令狐文艳创作 20.(2003全国文、理,广东)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O

(如图)的东偏南

(cos θθ=方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北?45方向移动,台

风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为

60km ,并以10km/h 的速度不断增大,问几

小时后该城市开始受到台风的侵袭?

历届高考中的“解三角形”试题精

选(自我测试)

参考答案

一、选择题:(每小题5分,计40分)

二.填空题: (每小题5分,计30分) 9.3; 10.30° ; .11. __ 60O

_.

12. 210

; 13.612

; 14.4315 三.解答题: (15、16小题每题12分,其余各题每题14分,计80分)

15.解:(Ⅰ)由5cos 13A =-

,得12sin 13A =,由3cos 5B =,得4sin 5

B =. 所以16sin sin()sin cos cos sin 65

C A B A B A B =+=+=

. (Ⅱ)由正弦定理得4

5sin 13512sin 3

13

BC B AC A ??===. 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =???1131652365=???83

=. 16.解:(1)sin tan cos C C C

=∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8

C =±. tan 0C >,C ∴是锐角. 1cos 8

C ∴=. (2)∵2

5=?,即abcosC=25 ,又cosC=8120ab ∴=. 又9a b +=22281a ab b ∴++=.

2241a b ∴+=. 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=. 6c ∴=.

17.解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==,所以

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15

CBE =∠.

所以6cos cos(45

30)4

CBE =-=

∠.

(Ⅱ)在ABE △中,2AB =,

由正弦定理

2sin(4515)

sin(9015)

AE =

-+. 故2sin 30

cos15AE

=

12

?

=

=

18.解:(1

)由

cos sin C C

== 由正弦定理知

sin sin

AC BC

A B =?=

=(2)

sin 2sin AC AB C B =

?==, 1

12

BD AB == 由余弦定理知

132

2

2312181cos 222=?

??-+=?-+=B BC BD BC BD CD 19.解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1

sin 2

B =,

由ABC △为锐角三角形得π6

B =.

(Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π-

- ?6?

?cos sin 6A A π??

=++

???

1cos cos 22A A A =++3A π?

?=+ ??

?.

由ABC △为锐角三角形知,2

A 0π<<,

ππ

π

<+

<6

A 2

解得

2A 3π

π

<

< 所以

6

53A 32π

ππ<

+<,

所以1sin 23

A π??

+< ???

3A π?

?<+< ?

?

? 所以,cos sin A C +的取值范围为322??

? ???

,. 20.解:设在t 时刻台风中心位于点Q ,此时|OP|=300,|PQ|=20t ,

台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60,

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由10

2cos =

θ

,可知

10

2

7cos 1sin 2

=-=θθ,

cos ∠OPQ=cos(θ-45o

)= cos θcos45o

+

sin θsin45o

=

5

422102722102=?+? 在 △OPQ 中,由余弦定理,得

=5

4

203002)20(3002

2

???-+t t

=9000096004002+-t t

若城市O 受到台风的侵袭,则有|OQ|≤r(t),即

22)6010(900009600400+≤+-t t t ,

整理,得0288362≤+-t t ,解得12≤t ≤24, 答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

1.正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===外 2.余弦定理:a 2

=b 2

+c

2

-2bccosA ,222

cos 2b c a A bc

+-=;

3 .射影定理:a = b cos C + c cos B ;b = a cos C +

c cos A ;c = a cos B + b cos A

4.(1)内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= -cosC,

cos 2C =sin

2B A +,sin 2

C

=cos

2

B

A + (

2)

积公式:

S=2

1absinC=2

1bcsinA=2

1casinB

5.利用正弦定理,可以解决以下两类问题:

(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;

(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角;有三

B

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种情况:

bsinA<a<b时有两解;a=bsinA或a=b时有解;a<bsinA时无解。

6.利用余弦定理,可以解决以下两类问题:

(1)已知三边,求三角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角。

7.熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化,能在应用题中抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法;提高运用所学知识解决实际问题的能力

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ej94.html

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