高中数学必修4全一册课堂导学案（28份） 人教课标版26（精品教案）

2.4.1 向量在几何中的应用

课堂导学

三点剖析

一、向量在平面几何中的应用

因为向量有两个特征——长度和方向.所以成为数学中一个典型的数与形的有机结合.如全等、相似、长度、夹角、平行、垂直等问题.在解决这些问题时可考虑应用向量的线性运算和数量积问题.通过对问题的深入分析，认识向量的工具性作用，培养创新精神和解决实际问题的能力.

【例】 如下图，平行四边形中，点是的中点，点在上，且

1，求证：、、三点共线. 3

思路分析：共线问题，一般情况下可化成向量共线，再利用向量共线的条件证明. 证明：设AB，AD，

1AB， 211∴MB.∴MCMBBC.

2211BD，∴BN（）. 又BN3311∴MNMBBN（）

2311. 63∵BDADAB，MB∴MCMN.∴、、三点共线.

各个击破 类题演练

如图，已知为△的重心，为平面上任一点，求证：

PG1（PAPBPC）. 3

证明：设三条中线分别为、、.所以有GD11AD.由向量的中线公式有GD（GBGC）， 32AD1（ABAC）， 21（ABAC）.① 31同理，GAGB（CACB），②

31GAGC(BABC)，③

31①②③得（GAGBGC）(ABBAACCACBBC).

3所以GBGC所以GAGBGC.

所以PGPGPGPG（PAAG）（PBBG）（PCCG）（PAPBPC）（AGBGCG）

PAPBPC.

所以PG1（PAPB）. 3变式提升

如图，为△的外心，为三角形内一点，满足OEOAOBOC.求证：AE⊥BC.

思路分析：要证AE⊥BC，即证AE·BC，选取基底{OB，OC}，将AE，BC表示出来即可.

证明：∵BCOCOB，AEOEOA（OAOBOC）OAOBOC， ∴AE·BC（OCOB）·（OCOB）OCOB. ∵为外心，∴OCOB，即AE·BC. ∴AE⊥BC.

二、向量在解析几何中的应用

一般地，对于直线方程而言，向量（，）为该直线的方向向量，向量（，）与直线垂直，又称（，）为直线的法向量，有了方向向量和法向量，我们就可以用向量来研究平面内两条直线的位置关系，即两直线平行、垂直、夹角等问题. 【例】 求过点（，）且平行于向量（，）的直线方程.

思路分析：利用向量法来解决几何问题时，要将线段看成向量并用端点坐标来表示. 解法一：直线与（，）平行， ∴直线斜率

2. 3∴直线方程为

2(),即. 3解法二：过点且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为，在上任取一点（），则

AP∥.

如果点不与点重合，由向量平行，它们的坐标满足的条件为.

解法三：设()为所求直线上任意一点，由题意知AP∥， 而AP（）(),

∴()·()·,

化简得，即为所求直线的方程. 类题演练

在△中，已知（，），（，），（，），求边上的高所在的直线方程.

思路分析：在过点的直线上任取一点，由已知直线的方向坐标得法向量的坐标，利用AC·求出直线方程.

解：与边平行的向量为AC（，），设（）是所求直线上任一点，BP（）,所以边上的高所在直线方程为AC·（）,即. 变式提升

设（，），（，），点在直线上，且CA·CBAC·ABBA·BC，求〈CA,CB〉. 思路分析：本题利用向量的数量积运算与解析几何的联系. 解：设（），∵点在直线上，

x?(?1)y?2,整理，得方程?323，）. 251则AC（，）AB()BC().

225∴AC·AB，CA·CB,BA·BC，

4∴，∴（

又∵CA·CBAC·ABBA·BC， ∴（

5）(). 4∴

33.解得±.

2427. 7∴〈CA,CB〉

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