2007年高考数学模拟考试卷六

2007年高考数学模拟考试卷六

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． （1）化简

1?2sin20?cos20?得 （ ）cos20??1?cos2160?（A）1?sin40? （B）

1cos20??sin20?（C）1 （D）－1

（2）双曲线8kx2?ky2?8的一个焦点是（0，－3），则k的值是

（ ）（A）1 （B）－1 （C）

153 （D）－

153 （3）已知y?f?1(x)过点（3，5），g（x）与f（x）关于直线x=2对称，则y=g（x）必过 点 （ ）（A）（－1，3） （B）（5，3） （C）（－1，1） （D）（1，5） （4）已知复数z?i?(1?i)3，则argz?

（ ）（A）

?4 （B）－

?4 （C）7?

（D）5?44

（5）（理）曲线??r上有且仅有三点到直线?cos(???4)?8的距离为1，则r属于集合 （A）{r|7?r?9}（B）{r|r?9}

（C）{r|r?9}

（D）{9}

（文）已知两条直线l1:y?x,l2:ax?y?0，其中a为实数，当这两条直线的夹角 在(0,?12)内变动时，a的取值范围是

（ （A）（0，1）

（B）(3,3) （C）(1,3) （D）(3,1)?(1,3)

336．半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ） （

）

）

（A）4cm （B）2cm

（C）23cm

（C）3??4

2（D）3cm

（D）??4

（ ） （ ）

7．（理）arccos(?sin4)的值等于

（A）2??4

（B）4?3?

2 （文）函数y?sinxcosx?3cos2x?3的最小正周期为

2（A）

?4 （B）

?2 （C）?

（D）2?

8．某校有6间电脑室，每晚至少开放2间，则不同安排方案的种数为

（ ）①C26

②

C63?2C64?C65?C66③26?7 ④P26

其中正确的结论为

（ ）（A）仅有① （B）有②和③ （C）仅有②

（D）仅有③

9．正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为22,E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成 的角为

（ ）（A）

?（B）

??6 4 （C）

3 （D）

?2 10．给出四个函数，分别满足①f(x?y)?f(x)?f(y) ②g(x?y)?g(x)?g(y)

③?(x?y)??(x)??(y) ④?(x?y)??(x)??(y)又给出四个函数的图象

yyyy

OxOxOxOx MNN 则正确的配匹方案是

Q （ ）（A）①—M ②—N ③—P ④—Q （B）①—N ②—P ③—M ④—Q （C）①—P ②—M ③—N ④—Q

（D）①—Q ②—M ③—N ④—P

P是双曲线x2y211．a2?b2?1(a?0,b?0)左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距

为2c，则?PF1F2的内切圆的圆心横坐标为

（ （A）?a

（B）?b

（C）?c

（D）a?b?c

）

12．某债券市场发行的三种值券：甲种面值为100元，一年到期本利共获103元；乙种面

值为50元，半年期本利共50.9元；丙种面值为100元，但买入时只付97元，一年到 期拿回100元，这三种投资收益比例从小到大排列为 （ ） （A）乙，甲，丙 （B）甲、丙、乙 （C）甲、乙、丙 （D）丙、甲、乙

第Ⅱ卷 (非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．一个球的内接长方体的长、宽、高分别为1，2，3，则这个球的表面积是 ． 14．若(1?x)6(1?ax)2展开式中的x项的系数为20，则非零实数a= ．

3

15．△ABC顶点在以x轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知A（－6，8），且△ABC

的重心在原点，则过B、C两点的直线方程为 ．

16．设正数数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对于所有的自然数n，有

tSn?Snt?an?t，则t的取值范围是 ． 成立，若limn??an2三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

3??? 设复数z?1?cos??isin?(????)且argz??．

242cos(??)4的值． 求1?2sin2??2

18．（理）（本题满分共12分）

已知正三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为a，M为 棱A1C1上的动点．

（Ⅰ）当M在何处时，BC1//平面MB1A，并证明之； （Ⅱ）在（I）下，求平面MB1A与平面ABC所成的二 面角的大小；

（Ⅲ）求B—AB1M体积的最大值． 18．（文）（图同理18，本题满分12分）

已知正三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为a，M为

A1MC1B1ACB

棱A1C1的中点

（Ⅰ）求证BC1//平面MB1A；

（Ⅱ）求平面MB1A与平面ABC所成的二面角的正切值； （Ⅲ）求B—AMB1的体积．

19．（理）（本题满分12分）

设常数a?1?b?0,不等式lg(ax?bx)?0的解集为M （Ⅰ）当ab=1时，求解集M；

（Ⅱ）当M=（1，+∞）时，求出a，b应满足的关系． 19．（文）（本题满分12分）

已知函数f(x)?loga(1?ax) （其中a＞0，且a≠1），解关于x的不等式

loga(1?ax)?f?1(1)

20．（本题满分12分）

一家企业生产某种产品，为了使该产品占有更多的市场份额，拟在2001年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，该产品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：

3－x与t+1（t≥0）成反比例，如果不搞促销活动，该产品的年销量只能是1万件，已知2001年生产该产品的固定

33t投资为3万元，每生产1万件该产品需再投资32万元，当该产品的售价g（x）满足g(x)?(32?)?时，则

2x2x当年的产销量相等．

（Ⅰ）将2001年的利润y表示为促销费t万元的函数；

（Ⅱ）该企业2001年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ （注：利润=收入－生产成本－促销费）

21．（本题满分12分）

A、B是两个定点，且|AB|=8，动点M到A点的距离 是10，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，若以AB 所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系．

（Ⅰ）试求P点的轨迹c的方程；

（Ⅱ）直线mx?y?4m?0Ml P(m?R)与点P所在 AB曲线c交于弦EF，当m变化时，试求△AEF的面积的最大值．

22．（本题满分14分）

已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，f()??1且满足x、y∈（－1，1） 有

12x?yf(x)?f(y)?f()．

1?xy（Ⅰ）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数； （Ⅱ）对数列x1?2xn1,xn?1?,求f(xn)； 221?xn（Ⅲ）（理）求证

1112n?5??????; f(x1)f(x2)f(xn)n?2111??????2. f(x1)f(x2)f(xn) （文）求证

[参考答案]

一、选择题（理）CBACD DCBCD AB （文）CBACD DCBCD AB 二、填空题

3 （13）14π （14）5 （15）4x?y?8?0 （16）(2,??)

2三、解答题

17．解：argz??4??2?tg(argz)?tg(???) （2分） 42 即sin?1?tg?2 即11?tg?1?cos???2 1?tg???2tg21?tg2 即tg2??2tg??1?0 （6分）

22 ?tg?2??1?2 ????分）

2?3?24?tg?2??1?2 （8 cos(???24)(cos??sin?)?1?2sin2??22 cos??2(1?tg?)2

2tg??2(1?2

2)?2[1?2(?1?2)1?tg2?21?(?1?2)2]?22? 即

cos(??4)?2 （12分） 1?2sin2?218．（理）解：（I）当M在A1C1中点时，BC1//平面MB1A

∵M为A1C1中点，延长AM、CC1，使AM与CC1延 长线交于N，则NC1=C1C=a

连结NB1并延长与CB延长线交于G， 则BG=CB，NB1=B1G （2分） 在△CGN中，BC1为中位线，BC1//GN

NA1MC1B1ACBG

又GN?平面MAB1，∴BC1//平面MAB1 （4分） （II）∵△AGC中， BC=BA=BG ∴∠GAC=90° 即AC⊥AG 又AG⊥AA1 AA1?AC? ?AG?平面A1ACC1A

AG?AM （6分）

∴∠MAC为平面MB1A与平面ABC所成二面角的平面角

?tg?MAC? a?21a2 ∴所求二面角为argtg2. （8分） （Ⅲ）设动点M到平面A1ABB1的距离为hM． VB?AB1M?VM?AB1B?1111333 S?ABB1?hM??a2hM?a2?a?a332621212 即B—AB1M体积最大值为3a3.此时M点与C1重合． （12分） 18．（文）（Ⅰ）同（理）解答，见上

（Ⅱ）同理科解答：设所求二面角为θ，则tg??2 （Ⅲ）VB?AMB?VM?ABB?1119．（理）解：（I）首先ax ax?bx?1112333

?a?a?a32224b?由a?1,得x?0 bxx?bx?0,即a?b即(a)x?11?ax?()x?1. （3分）

a 得(ax)2?ax?1?0解得ax?1?5（舍去）或ax?1?5

22 ?x?loga1?5 ?M?(log1?5,??) （6分）

a22（II）令

f(x)?ax?bx，先证f(x)在x?(0,??)时为单调递增函数

?0?x1?x2???,f(x1)?f(x2)?ax1?bx1?ax2?bx2?(ax1?ax2)?(bx2?bx1) ?a?1?b?0,x1?x2,?ax1?ax2,ax1?ax2?0,bx2?bx1,?bx2?bx1?0

?f(x1)?f(x2).得证 （8分）

欲使解集为（1，+∞），只须f（1）=1即可，即a－b=1，∴a=b+1 （12分） 19．（文）解：f?1(x)?loga(1?ax).由f?1(1)?loga(1?a)可知0＜a＜1 （4分）

?1 ∴不等式loga(1?ax)?f(1)即为loga(1?ax)?loga(1?a)(a?0)（8分）

?1?ax?0?ax?1 ???1?a?0???0?a?1?0?x?1

??1?ax?1?a??ax?a ∴原不等式的解集为{x|0＜x＜1} （12分 ）

20．解：（I）由题意得3?x?k?1,将t?0,x?1代入得k?2 （2分）

t ?x?3?2

t?1 从而生产成本为32(3?2)?3万元，年收入为

t?1 xg(x)?x[3(32?32x)?t2x] （4分） ?y?xg(x)?[32(3?2t?1)?3]?x?[32(32?3x)?t2x]?[32(3?2t?1)?3] ?t2??98t?352(t?1)(t?0)

∴年利润为y??t2?98t?352(t?1)(t?0) （8分）

（II）y2??t?98t?352(t?1)?50?(t?1?32（万元）2t?1)?50?216?42 当且仅当t?1?32t?1即t?7时y （12分）

2max?42 ∴当促销费定为7万元时，利润最大．

21．解（I）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，则A（－4，0），B（4，0） |PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 （2分） ∴2a=10 2c=8 ∴a=5，c=4

∴P点轨迹为椭圆x2225?y9?1 （4分）

（II）

mx?y?4m?0过椭圆右焦点B（4，0）

? ???x?y?4?y?m(x?4)???m(?m?0)

?x22?22??25?y9?1?x??25?y9?1 ?9(1m2y2?8my?16)?25y2?25?9?0 6分） （

整理得(9?25)y2?72y?81?0 （6分）

2mm?72?22??mm?1*（8分） 1 2m??90???|y1?y2|?(y1?y2)?4y1y2??4?81?25m2?9m29?9??25?2?25?m2?m? ∵m为直线的斜率，∴可令m=tgθ代入*得 |y?y|?12290tg2?1?tg2?90tg2?sec?90sin2?1?||??(?sin??0) 2222225tg??9tg?9?25tg?tg?9cos??25sin?|sin?|90sin??9?16sin2?9016sin??9sin??90216?9?9015 ?.244

? 当且仅当16sin??99 即sin2??sin?1615

即sin??3时，|y1?y2|max?.44 ??S?AEF?max?22．证：（I）令x 令

115?8??15. （12分） 24?y?0,则2f(0)?f(0),?f(0)?0

2xx?xy??x,则f(x)?f(?x)?f(0)?0,?f(?x)??f(x) 为奇函数 （4分）

nn （II）f(x)?f(1)??1， f(x)?f()?f(n)?f(xn)?f(xn)?2f(xn) n?11221?xn?xn1?xn ?f(xn?1)?2.即{f(x)}是以－1为首项，2为公比的等比数列．

nf(xn) ?f(xn)??2n?1 （4分） （III）（理）

111111??????(1??2???n?1) f(x1)f(x2)f(xn)222

1

2n??(2?1)??2?1??2??12n?12n?11?21? 而?2n?5??(2?1)??2?1??2.?1?1???1??2n?5（6分）

n?2n?2n?2f(x1)f(x2)f(xn)n?2

（III）（文）

111111??????(1??2???n?1) f(x1)f(x2)f(xn)222

1

2n??(2?1)??2?1??2.??12n?12n?11?21?

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