中考数学 知识点聚焦 第三章 整式的加减

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专题二 代数式

第三章 整式的加减

知能图谱 代数式的概念

列代数式???列代数式的方法及注意问题

代数式表示的实际背景或几何意义

求代数式值的方法???直接代入求值

整体代入求值实际应用求值

步骤：先代入，再计算

代数式的读法?

??按运算顺序读按运算结果读 描述代数式的语言?

??文字语言

符号语言

单项式???定义：单项式是数或字母的积，单独的一个数或一千字母也是单项式

系数：单项式中的数字因数次数：一个单项式中．所有字母的指数的和

定义：几个单项式的和 项：多项式中的每个单顶式

求代数式的值

代数式的意义 代数式

多项式

整式的加减

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可编辑 次数：多项式中次数最高项的次数

多项式各项的排列?????降幂排列：把多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列起来升幂排列：把多项式按某一字母的指数从小到大的顺序排列起来

合并同类项

???所含字母相同．并且相同字母的指数也相同的项叫同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变

括号前面是“＋”号?

??把括号和它前面的“＋”号去掉，括号内各项的符号都不改变 括号前面是“－”号?

??把括号和它前面的“—”号去掉，括号内各项的符号都要改变 整式的加减???步骤：去括号，合并同类项化简求值：一般先化简，再代入求值

第5讲 代数式的基础知识

知识能力解读

知能解读 (一)用字母表示数，列式表示数量关系

用字母表示数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，即把问题中与数量有关的语句，用含数、字母和运算符号的式子表示出来，

(二)代数式的概念

用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．

注意：代数式中不含“＝”“＞”“＜”“≠”等符号．

(三)列代数式

(1)把问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式．

(2)书写代数式的注意事项：

①代数式中在表示数字与字母相乘或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“·”，且数字在前，字母在后，如2乘a 写作2a 或2a ?，a 乘b 写作ab 或a b ?．若数字是带分数，要化成假分数，如142乘a ，应写作92a 或92

a ?． ②除法运算写成分式的形式，如2x ÷写作2x ，()x a

b ÷-写作x a b

-． 整式运算法则

去括号法则

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可编辑 ③在同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母来表示．

④在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在代数式的后面，如3a m ；若代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位写在代数式后面，如12a b m ??+

???

等． (3)列代数式的步骤：

①读懂题意，弄清其中的数量关系，抓住题目中表示运算关系的关键词，如和、差、积、商、比、倍、分、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等．

②分清运算顺序，注意关键性的断句及括号的恰当使用．

(四)解释简单代数式表示的实际背景或几何意义

实际问题中的数量关系可以用代数式表示，另一方面，同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义．注意在说代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相符．

(五)求代数式的值

(1)概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指定的运算顺序计算得出结果，叫作求代数式的值．

(2)步骤：按照定义求代数式的值有“代入”和“计算”两个步骤：

第一步：“代入”，指用数值代替代数式里的字母；

第二步：“计算”，指按代数式指明的运算，计算得出结果．

(3)方法：常见的基本方法有直接代入和整体代入以及化简后代入．

注意：(1)代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形；(2)代数式中字母的取值，必须使要求值的代数式有意义；(3)用代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值要保证具有实际意义；(4)代数式中的字母每取一个确定的数时，能相应地求出代数式的一个确定值．

(六)列代数式与求代数式的值的区别

列代数式是把数量关系用含有数、表示数的字母和运算符号的式子表示出来，是由特殊到一般的思维方式；求代数式的值，是用数值代替代数式里的字母，按照运算关系计算得出结果，是由一般到特殊的思维方式．

方法技巧归纳

方法技巧 (一)列代数式的方法技巧

列代数式的关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序和括号的作用．掌握文字语言“和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少”等在数学语言中的含义，此外，还要掌握下述数量关系：

行程问题：路程＝速度×时间；

工作问题：工作量＝工作效率×工作时间；

数字问题：三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字；

利润问题：利润率＝利润成本

×100％． (二)求代数式值的方法

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可编辑 (三)用代数式表示数的规律

易混易错辨析

易混易错知识

1．列代数式时，对一些语句理解不透容易出错．如“a ，b 两数的平方和”与“a ，b 两数和的平方”容易混淆．

2．忽略题目中的单位和括号．

题目中有单位时，用字母表示的式子应带单位．如果列出的式子是单项式，单位可直接写在式子的后面；如果列出的式子是多项式，应先用括号把式子括起来，再在式子后面写上单位．

易混易错 (一)代数式的书写格式不规范

(二)列有关实际问题的代数式时，不能正确理解题意导致列错式

中考试题研究

中考命题规律

本讲的考点主要是列代数式，它是中考的基础内容，单独命题考查基本知识的运用，题型以填空题、选择题为主，求代数式的值以及利用代数式表示规律是近几年中考的热点． 中考试题 (一)列代数式表示生活中的数量关系

(二)观察、归纳、推理型问题

(三)求代数式的值

(四)探究图形中的变化规律

第6讲 整式的加减

知识能力解读

知能解读 (一)单项式、多项式、整式的定义及它们的联系与区别

(1)单项式：像100t ，0.8p ，mn ，2a h ，n -这些式子都是数或字母的积，这样的式子叫作单项式．特别地，单独的一个数或—个字母也是单项式．

(2)多项式：几个单项式的和叫作多项式．如2x +，3

31y y -+等． (3)整式：单项式与多项式统称整式．

它们的关系可以用图表示．

注意：分母中含有字母的代数式不是单项式，如

1x ，b a 都不是单项式；而1π是单项式，因为π是表示圆周率的常数．

(二)单项式的系数、次数 单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数的

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可编辑 和．

注意：(1)单项式的系数包括符号．

(2)当一个单项式的系数是1或1-时，“1”通常省略不写，如2a ，mn -；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如2112x y 写成232

x ． (3)单项式的次数是指所有字母的指数的和，不包括系数的指数，如322a b 的次数是3，而不是6．单独一个非零的数是零次单项式．

(4)单项式的系数有数字系数和字母系数之分，这是因为系数都是相对于某些字母而言

的．例如，6abx 对于所有字母a ，b ，x 来讲，系数是6；而只对于字母x 来讲，系数是6ab ．

(三)多项式的项、次数

在多项式中，每个单项式叫作多项式的项．其中，不含字母的项叫作常数项．多项式中

次数最高项的次数叫作这个多项式的次数．一个多项式中有几个单项式，它就是几项式．如

多项式43325y y y -+-有四项，为43y ，32y -，y ，5-，其中5-是常数项，4

3y 这一项次数最高，所以这个多项式是四次四项式．

注意：(1)多项式的每一项都包括它前面的符号．

(2)多项式43325y y y -+-的各项名称分别为：4

3y 叫作四次项，32y -叫作三次项，y 叫作一次项，5-叫作常数项．

(四)升幂排列与降幂排列

为便于多项式的运算，可以用加法的交换律将多项式中各项按某个字母的指数的大小顺

序重新排列．

若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母降幂排列．

若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母升幂排列． 如多项式332212312

a b ab a b b a a b -+-++-，按字母a 升幂排列为232311322

b a b a ab a b a b -++--++． 注意：(1)将各项重新排列后还是多项式的形式，各项的位置发生变化，其他都不变．

(2)各项移动时要连同它前面的符号一起移动．

(3)某项前的符号是“＋”，它在第一项位置时，“＋”可省略，在其他位置时不能省略．

(五)同类项的概念

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．例

如：2m n -与23m n 是同类项；2312

x y -与32y x 是同类项． 注意：判断同类项的标准是“两相同”，即所合字母相同，相同字母的指数也相同，二

者缺一不可；而同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关．

(六)合并同类项

(1)定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．

(2)合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，

且字母连同它的指数不变，口诀为“同类项，需判断；两相同，是条件；合并时，需计算；

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可编辑 系数加，两不变”．

根据合并同类项的法则；在合并同类项时可以按以下步骤完成：

第一步：准确找出同类项；

第二步：利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；

第三步：写出合并后的结果．

注意：如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0；合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；不能合并的项，在每步运算时不能漏掉．

(七)去括号

去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相

同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

如：()a b c a b c ++-=+-，()a b c a b c -+-=--+．

注意：(1)去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉．

(2)去括号时，首先要弄清楚括号前是“＋”还是“－”．

(3)易犯的错误是：括号前面是“－”，去括号时，只改变括号里第一项的符号，而其余

各项的符号均忘记改变．

(八)整式的加减

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

去括号要依据去括号法则进行，若括号不止一种，通常要按照去小括号、中括号、大括

号(或大括号、中括号、小括号)的顺序来运算，直到结果中没有括号为止．

求整式的和或差时，应先用括号将每一个整式括起来，再用加减运算符号连接，具体运

算时，先去括号，再合并同类项．

根据题目的表现形式不同，我们可把整式的加减分为两大类：

(1)直接的整式加减问题，即算式直接给出，直接运用上述方法求解即可．

(2)间接的整式加减问题，与类型(1)不同，其求解步骤是：①根据题意列出代数式；②

用加减号连接成整式的加减的算式；③去括号，合并同类项．

注意：整式加减的最后结果要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②

一般按照某一字母降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．

(九)化简求值问题

对于代数式求值问题，我们一般不直接把字母的取值代入代数式中计算，而是先化简(却

去括号、合并同类项)，再代入求值，使计算简捷明了．

方法技巧归纳

方法技巧 (一)对单项式概念的理解及应用

(二)对多项式概念的理解与应用

(三)多项式的重新排列

(四)同类项的识别方法

同类项有两个条件：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，二者缺一不可；而与系数和字母的排列顺序无关．

(五)合并同类项的方法

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可编辑 合并同类项时，一般按以下步骤进行：①标：用不同的符号标出同类项；②移：利用加

法交换律把同类项移到一起；③合：合并同类项．

(六)去括号法则的运用

(七)整式的加减运算

整式的加减是求几个整式的和、差的运算，其实质就是去括号、合并同类项，运算结果

仍是整式．一般步骤为：(1)如果有括号，先去括号；(2)合并同类项．

(八)代数式求值

代数式求值一般是先将代数式化简，然后再代入求值．有时我们还需根据题目的特点，选择特殊的方法求代数式的值，如整体代入法等．

易混易错辨析

易混易错知识

1．确定单项式的系数和次数． 如222a b c -的系数是12

-，而不是2或2-；次数是5，即2215++=，防止漏掉c 的指数1．

2．同类项概念理解有误，导致在合并同类项过程中出现错误．

如22246x x x +=这个计算过程是错误的．合并同类项的前提是要合并的项是同类项，2x 与24x 不是同类项，故不能能合并．

3．去括号时，易出现符号错误，漏乘某些项．

去括号时，括号前是“－”，往往只改变了第一项的符号，而其余各项的符号忘了改变．当

括号前有数字因数时，易发生只将此数字因数与括号内的第一项相乘，而漏乘其他项的错误．

4．多项式的次数与单项式的次数混淆．

如2a b +的次数是2，而不是3．因为多项式的次数是组成多项式的单项式中的最高次

项的次数．注意与单项式次数定义的区别．

易混易错 (一)括号前是“－”时，去括号时容易弄错符号或漏乘某些项

(二)整式相加减时忽略括号的作用

中考试题研究

中考命题规律

本讲的考点主要是单项式的系数、次数，多项式的项数、次数，单项式的有关规律探究，同类项的概念与合并同类项，整式的加减运算，题型以填空题、选择题为主，还常与其他知识综合命题．

(一)单项式的规律探究

(二)单项式的系数、次数与多项式的项数、次数

(三)对同类项概念的理解

(四)合并同类项

(五)整式的化简求值

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