多重比较

四、多重比较

F值显著或极显著，否定了无效假设HO，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。

因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。

统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons)。

多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法)，现分别介绍如下。

（一）最小显著差数法 (LSD法，least significant difference) 此法的基本作法是：在F检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数LSD的绝对值xi.?xxj.在α

j.?，然后将任意两个处理平均数的差数

j.与其比较。若xi.?x＞LSDa时，则xi.与

水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。最

小显著差数由(6-17)式计算。

LSD(6-17)

a?ta(df)Sxei.?xj.

式中：t?(dfe)为在F检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t值，

Sxi.?xj.为均数差异标准误，由(6-18)式算得。

Sxei.?xj.?2MSe/n

(6-18)其中MS为F检验中的误差均方，n为各处理的重复数。 当显著水平α=0.05和0.01时，从t值表中查出t0.05(dfe)和

t0.01(dfe)，代入(6-17)式得：

LSDLSD(6-19)

0.050.01?t0.05(df)Sxei.?xj.xj.?t0.01(df)Sxei.?

利用LSD法进行多重比较时，可按如下步骤进行： (1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列； (2)计算最小显著差数LSD0.05和LSD0.01；

0.05(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与LSD、

LSD0.01比较，作出统计推断。

对于【例6.1】，各处理的多重比较如表6-4所示。

表6-4 四种饲料平均增重的多重比较表(LSD法) 处理 A1 A4 A2 A3

平均数x

i.xi.-24.74

xi.-26.28 xi.-27.96

31.18 27.96 26.28 24.74

6.44** 3.22* 1.54ns

4.90** 1.68 ns

3.22*

注：表中A4与 A3的差数3.22用q检验法与新复极差法时，在α=0.05的水平上不显著。 因为，Sxi.?xj.?2MSe/n?2?5.34/5?1.462;查t

值表得：t0.05(dfe) =t0.05(16) =2.120, t0.01(dfe)=t0.01(16)=2.921

所以，显著水平为0.05与0.01的最小显著差数为

LSDLSD0.050.01?t0.05(df)Sxei.?xj.xj.?2.120?1.462?3.099?2.921?1.462?4.271

?t0.01(df)Sxei.?将表6-4中的6个差数与LSD0.05，LSD0.01比较：小于

LSD0.05者不显著,在差数的右上方标记“ns”，或不标记符号；

0.05介于LSD与LSD0.010.01之间者显著，在差数的右上方标记

“*”；大于LSD者极显著，在差数的右上方标记“**”。检验结

果除差数1.68、1.54不显著、3.22显著外，其余两个差数6.44、4.90极显著。表明A1饲料对鱼的增重效果极显著高于A2和A3，显著高于A4；A4饲料对鱼的增重效果极显著高于A3饲料；A4 与A2、A2与A3的增重效果差异不显著，以A1饲料对鱼的增重效果最佳。

关于LSD法的应用有以下几点说明：

1、LSD法实质上就是t检验法。它是将t检验中由所求得的

t之绝对值(t?(xi.?xj.)/Sxi.?xj.)与临界

j.ta值的比较转

为将各对均数差值的绝对值xi.?x与最小显著差数taSxi.?xj.的比较而作出统计推断的。但是，由于LSD法是利用F检验中的误差自由度准误

dfe查临界t值，利用误差均方MS计算均数差异标

aeSxi.?xj.，因而LSD法又不同于每次利用两组数据进行多个

平均数两两比较的

t检验法。它解决了本章开头指出的t检验法

检验过程烦琐，无统一的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。但

LSD法并未解决推断的可靠性降低、

犯I型错误的概率变大的问题。

2、有人提出，与检验任何两个均数间的差异相比较，LSD法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。实际上关于这种形式的比较更适用的方法有顿纳特(Dunnett)法(关于此法，读者可参阅其它有关统计书籍)。

3、因为LSD法实质上是

t检验，故有人指出其最适宜的

比较形式是：在进行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比，每个处理平均数在比较中只比较一次。例如，在一个试验中共有4个处理，设计时已确定只是处理1与处理2、处理3与处理4(或1与3、2与4；或1与4、2与3)比较，而其它的处理间不进行比较。因为这种比较形式实际上不涉及多个均数的极差问题，所以不会增大犯I型错误的概率。

综上所述，对于多个处理平均数所有可能的两两比较，

LSD法的优点在于方法比较简便，克服一般t检验法所具有

的某些缺点，但是由于没有考虑相互比较的处理平均数依数值大小排列上的秩次，故仍有推断可靠性低、犯I型错误概率增大的问题。为克服此弊病，统计学家提出了最小显著极差法。 （二）最小显著极差法(LSR法 ,Least significant ranges)

LSR法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据

极差范围内所包含的处理数(称为秩次距)k的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD法的不足。这些在显著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极差LSR。例如有10个

x要相互比较，先将10个x依其数值大小顺次排

列，两极端平均数的差数(极差)的显著性，由其差数是否大于秩次距k=10时的最小显著极差决定(≥为显著，＜为不显著＝；而后是秩次距k=9的平均数的极差的显著性，则由极差是否大于

k=9时的最小显著极差决定；??直到任何两个相邻平均数的差

数的显著性由这些差数是否大于秩次距k=2时的最小显著极差决定为止。因此，有k个平均数相互比较，就有k-1种秩次距(k，

k-1，k-2，?，2)，因而需求得k-1个最小显著极差(LSR?,k)，分

别作为判断具有相应秩次距的平均数的极差是否显著的标准。 因为LSR法是一种极差检验法，所以当一个平均数大集合的极差不显著时，其中所包含的各个较小集合极差也应一概作不显著处理。

LSR法克服了LSD法的不足，但检验的工作量有所增加。

常用的LSRq法有

检验法和新复极差法两种。

1、q检验法(q test) 此法是以统计量q的概率分布为基础的。q值由下式求得：

q??/Sx式中，ω为极差，Sx?MSe

(6-20)

/n为标准误，

q分布依赖于误

差自由度dfe及秩次距k。

利用q检验法进行多重比较时，为了简便起见，不是将由(6-20)式算出的q值与临界q值q比较，而是将极差与qa(dfe,k)Sx比

a(dfe,k)较，从而作出统计推断。qa(dfe,k)Sx即为α水平上的最小显著

极差。

LSRa?qa(dfe,k)Sx (6-21)

当显著水平α=0.05和0.01时，从附表5(q值表)中根据自由度dfe及秩次距k查出q0.05(dfe,k)和q0.01(dfe,k)代入(6-21)式得

0.05,kLSRLSR?q0.05(dfe,k)Sx0.01,k?q0.01(dfe,k)Sx

(6-22)

实际利用q检验法进行多重比较时，可按如下步骤进行： (1)列出平均数多重比较表； (2)由自由度dfe、秩次距k查临界差

q值，计算最小显著极

LSR0.05,k，

LSR0.01,k；

(3)将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差

LSR0.05,k

, LSR0.01,k

比较，作出统计推断。

对于【例6.1】，各处理平均数多重比较表同表6-4。在表6-4中，极差1.54、1.68、3.22的秩次距为2；极差3.22、4.90的秩次距为3；极差6.44的秩次距为4。 因为，MSe=5.34，故标准误S为

xSx?eMSe/n?5.34/5?1.033

根据df=16，k=2,3，4由附表5查出??0.05、0.01水平下临

q界

值，乘以标准误S求得各最小显著极差，所得结果列于表

x6-5。

表6-5 q值及LSR值

dfe

秩次距k

2

16

3 4

将表6-4中的极差1.54、1.68、3.22与表6-5中的最小显著极差3.099、4.266比较；将极差3.22、4.90与3.770、4.948比较；将极差6.44与4.184、5.361比较。检验结果，除A4与 A3的差数3.22由LSD法比较时的差异显著变为差异不显著外，其余检验结果同LSD法。

2、新复极差法(new multiple range method) 此法是由邓肯(Duncan)于1955年提出，故又称Duncan法，此法还称SSR法(shortest significant ranges)。

新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表(附表6)而不是查q值表。最小显著极差计算公式为

q0.05 3.00 3.65 4.05

q0.01 4.13 4.79 5.19

LSR0.05 3.099 3.770 4.184

LSR0.01 4.266 4.948 5.361

LSRa,k?SSRa(dfe,k)Sx

(6-23)

其中

SSR?(dfe,k)是根据显著水平α、误差自由度df?MS/ne、秩

次距k，由SSR表查得的临界SSR值，Sxα=0.01水平下的最小显著极差为：

e。α=0.05和

LSRLSR0.05,k0.01,k?SSR?SSR0.05(dfe,k)Sx0.01(dfe,k)Sx

(6-24)

对于【例6.1】，各处理均数多重比较表同表6-4。 已算出

SSR0.05(16,k)

Sx=1.033，依df=16, k=2,3,4,由附表6查临界

e和SSR0.01(16,k)值，乘以Sx=1.033，求得各最小显著极差，

所得结果列于表6-6。

表6-6 SSR值与LSR值

dfe 16

将表6-4中的平均数差数(极差)与表6-6中的最小显著极差比较，检验结果与q检验法相同。

秩次距k

2 3 4

SSR0.05 3.00 3.15 3.23

SSR0.01 4.13 4.34 4.45

LSR0.05 3.099 3.254 3.337

LSR0.01 4.266 4.483 4.597

当各处理重复数不等时，为简便起见，不论LSD法还是LSR法，可用(6-25)式计算出一个各处理平均的重复数n0，以代替计算

Sxi.?xj.或S所需的n。

xn02??n1i???ni?k?1??ni??? ??(6-25)

式中k为试验的处理数，n (i=1,2,?,k)为第i处理的重复数。

i以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度有如下关系：

LSD 法≤新复极差法≤q检验法

当秩次距k=2时，取等号；秩次距k≥3时，取小于号。在多重比较中，LSD法的尺度最小，q检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。用上述排列顺序前面方法检验显著的差数，用后面方法检验未必显著；用后面方法检验显著的差数，用前面方法检验必然显著。一般地讲，一个试验资料，究竟采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的H0和接受一个不正确的H0的相对重要性来决定。如果否定正确的H0是事关重大或后果严重的，或对试验要求严格时，用q检验法较为妥当；如果接受一个不正确的H0是事关重大或后果严重的，则宜用新复极差法。生物试验中，由于试验误差较大，常采用新复极差法；F检验显著后，为了简便，也可采用LSD法。

（三）多重比较结果的表示法 各平均数经多重比较后，应以简明的形式将结果表示出来，常用的表示方法有以下两种。

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