向量代数与空间解析几何七

向量代数与空间解析几何 *.* 向量代数的几个注意点

① 向量平移后，向量的坐标不变，这是因为向量的模和方向都不变

② 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影（即向量的坐标）不同，前者是向量，后者是数量。

????③ 在向量代数中，若a?b?0, 则a;b中不一定有零向量.

?????? 若a?b?a?c,a?0 则c,b不一定相等.

④ 两向量的夹角指两向量正方向的夹角，其限制范围

??⑤ 两非零向量垂直 ?ab?0?0,??

，

??⑥ 两非零向量平行?a?b?0或对应坐标成比例，

⑦ 在解向量方程时，注意：

a）

由于向量没有除法运算，所以在方程中不能除以非零向量；

b） 向量的“乘法”由向量积与数量积之分，还有混合积； c） 向量积不满足交换律；

d） 向量积的模可计算面积，混合积可计算体积及向量共面。

*.* 空间解析几何的几个注意点：

1） 熟记直线、平面的各类方程及表达各种位置关系的有关公式 2） 点到直线距离 直线L过P点，

s为方向向量，

M到L距离

d?PM?ss

3） 公垂线长度 直线L1过P1，

s1 直线L2过P2，s2

d?P1P2?(s1?s2)s1?s2

4） 求空间直线（或空间曲线）在平面上的投影时，其关键时要求出投影平面（或投影柱面）的方程，将此方程

和所给平面方程联立起来，即得所求的投影方程。 5） 柱面，旋转面的特点，二次曲面一般方程 6） 空间曲线方向向量

T?(??(t),??(t),??(t))或

?,G??T?(Fx?,Fy?,Fz?)?(Gxy,Gz)，

曲面法向量

n?(Fx?,Fy?,Fz?)

1

一、 向量的运算 1、填空题

?????????????(1)已知a,b,c都是单位向量，且满足a?b?c?0，则a?b?b?c?c?a?

。

???????????(2 ) 已知(a?3b)?(7a?5b),(a?4b)?(7a?2b),，则(a,b)?

。

????????(3)设a?3,b?4，且a?b，则(a?b)?(a?b)?

。

2、计算题

???????（２）求与向量a?2i?j?2k共线且满足a?b??18的向量b??????（３）设a与b为非零向量，且b?1,(a,b)?二、求空间直线方程

??????????????（１）设a?i,b?j?2k,c?2i?2j?k,求一单位向量d，使d?c，且d,a,b共面。

?4，求

limx?0???a?xb?ax。

[解题提示]：在求空间直线方程时，“定点”（确定所求直线上的一点）和“定向”（所求直线的方向向量）是关键。

1、 求过点P（ -1 ，0，4）平行于平面 3x - 4y + z = 10 且与直线 x + 1 = y – 3 = z/2 相交的直线方程。

三、求平面方程

[解题提示]： 求平面方程时，若题设条件中有两个相交的平面（其方程为一般式方程），则用平面束方程处理简便；

若题设条件中平面过一点，则一般用点法式方程，此时问题转化为求平面的法向量n。

??y?z?1?0１、 一平面垂直于平面 z = 0 ，且通过点 M（1，1，1）到直线? 的垂线段，求此平面的方程。

z?0?0

?x?3y?2z?4?0２、 求通过直线 L:? 且与平面 ?:x?2y?z?5?0垂直的平面。

?x?y?z?1?0四、求切线，切平面的方程。

?F(x,y,z)?0 [解题提示]：⑴ 曲线? 的切线方程为

G(x,y,z)?0?x?x0y?y0z?z0??dydz1dxdxM0M0????T 其中M0(x0,y0,z0) 是切点，T?{x,y,z}是曲线切向量，平行于向量

{Fx,Fy,Fz}?{Gx,Gy,Gz}

?x?x(t)x?x0y?y0z?z0???y?y(t) ⑵ 曲线? 的切线方程为 ,,,x(yz?z?z(t)t0)(t0)(t0)?t0为(x0,y0,z0)切点处的参数值。

2

⑶曲面F（x, y, z）=0的切平面方程为Fx?(x?x0)?Fy?(y?y0)?Fz?(z?z0)?0 （*）

是曲面在切点的法向量。

?n?{Fx,Fy,Fz} 其中(x0,y0,z0)是切点，

⑷ 当曲面方程为显式 z = z (x, y) 时，则切平面方程为 z?z0?zx(x?x0)?zy(y?y0)

3xyz?a(a?0)上任一点切平面与三坐标面所围的立体体积为定值。 １、试证曲面

?4x?2y?3z?6２、求曲面 x?y?z?4 的切平面，使之过直线? 。

2x?y?0?222?x?t?2y??t３、在曲线?的所有切线中，与平面x?2y??z?t3?z?4平行的切线有几条？方程是什么？

?x2?y2?z2?3x４、求? 在点（1，1，1）处的切线与法平面。

2x?3y?5z?4?五、求投影方程

[解题提示]：求空间曲线在坐标面上投影曲线方程的基本方法：先求出投影柱面的方程，然后与所给坐标面的方程联立起来就是所求的投影曲线方程。

１、 曲线方程为

?2x?4y?z?4z?22?x?8y?3z?12z2，求它在三个坐标面上的投影。

?x?3?t?L:?y??1?2t?２、 直线 在三个坐标面及平面

?z?5?8t?六、求曲面方程

改写为该变量与第三变量平方和的正负平方根。

:x?y?3z?8?0 上的投影方程。

[解题提示]：求旋转曲面方程的基本方法，平面曲线的绕某坐标轴旋转，则该坐标所对的变量不变，而将曲线方程中另一变量

x?1yz??１、 直线

011 绕 z轴旋转一周，求旋转曲面方程。Ppt

22x?3z?9??２、 曲线 绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程。

y?0? 3

?x?y?z?1?483３、 已知柱面的准线方程为 ，母线平行于y轴，求此柱面方程。 ?y?2222４、 已知准线为

５、 求顶点在原点，准线为

?4x?y?1?z?0?222xyz????1?483?y?2

练习题：

22 母线的方向数是{0，1，1}，求满足条件的柱面方程。

的锥面方程。

１、

????设(a?b)?c?2 ，则 [(a?b)?(b?c)]?(c?a)? 。

２、

?????1,?1,1},b?{3,?4,5},v?a??b,?为实数，证明：使向量a?{?v最小的向量v?垂直于b?

垂直，则L的参数方程

３、 直线L过点

?x??2?t??2x?z?1l:y?1?4tM（1，-2，0）且与两条直线l1:? ，2???x?y?3z?5z?3?为 。

４、 椭球面

x2?2y2?4z2?1与平面x?y?z?7?0之间的最短距离为 。

５、

?x?2y?3z?2设直线? 在平面z = 1 上的投影为直线L，则点（1，2，1）到直线L的距离等于 。

?2x?y?z?3６、

x?1yz?1??求直线L： 在平面?11?1轴旋转一周所成曲面的方程。

:x?y?2z?1?0上的投影直线L的方程，并求L绕y

0

0

７、 证明：锥面 z = xf(y/x)的切平面经过其顶点（0，0，0），其中f是可微函数。

８、

?x?2y?z?1?2(x2?y2)?z2?求过直线 的平面使之平行于曲线?x?y?2z??3??x?y?2z?4在点（1，-1，2）处的切线。

4

?3x2?2y2?12?2)处的切平面方程。 ９、 求由曲线 绕y轴旋转一周得到的曲面在点(0,3,z?0??x?2t?1?x?2t?3???y?3t?2?y?3t?110、 求过

?z?2t?3与?z?2t?1的平面方程。 ?????11、设a,b均为单位向量，夹角为

6

????，求以a?2b,3a?b为邻边的平行四边形面积。

5

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