海淀区高三年级第二学期期末练习数学(理科)

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科）

2011.5

选择题 （共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项.

1. 复数1 在复平面上对应的点的坐标是

A．(1,1) B. ( 1,1) C. ( 1, 1) D. (1, 1) 2. 已知全集U R, 集合A 1,2,3,4,5 ,B {x R|x 2}，下图中阴影部分所表示的集合为

A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}

1i

1

的零点所在区间 x

11

A．(0,) B. (,1) C. (1,2) D. (2,3)

22

3．函数f(x) log2x 4.若直线l的参数方程为

A．

x 1 3t

(t为参数)，则直线l倾斜角的余弦值为

y 2 4t

4334 B． C． D． 5555

5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：

甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 ．．．A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

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6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ．．．．

7．若椭圆C1：

主视图

左视图

A2

x

a1

2

y2b1

2

B

C

1（a1 b1 0）和椭圆C2：

x2a2

2

y2b2

2

D

1（a2 b2 0）

的焦点相同且a1 a2.给出如下四个结论：

① 椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点； ②

a1b1

； a2b2

2222

③ a1 a2 b1 b2； ④a1 a2 b1 b2.

其中，所有正确结论的序号是

A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③

P为正方形 8. 在一个正方体ABCD A1BC11D1中，

D1

A1

1

C1

O为底面正方形ABCD的中心，四边上的动点，A1B1C1D1

M,N分别为AB,BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线

OP段D1Q与互相平分，则满足MQ MN的实数 的值

有

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

A

D

O

Q

CN

B

非选择题（共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

y 2x,

9．点P(x,y)在不等式组 y x,表示的平面区域内，则z x y的最大值为_______.

x 2

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10．运行如图所示的程序框图，若输入n 4，则输出S的值为. 11．若x(1 mx)4 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，

a 6，则实数m的值为 ；

其中2

a5 a1 a2 a3 a4 的值为.

12．如图，已知 O的弦AB交半径OC于点D，若AD 3，

BD 2，且D为OC的中点，则CD的长为 .

13．已知数列 an 满足a1 t,，an 1 an 2 0 (t N*,n N*)，记数列 an 的前n项和的最大值为f(t)，则f(t) . 14. 已知函数f(x)

sinx

x

3

时，f(x)取得极小值. 2

（1）判断下列三个命题的真假：

①f(x)是偶函数；②f(x) 1 ；③当x

其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足f(

n n

) f( )的正整数n的最小值为___________. 666

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

已知函数f(x) cos2 x xcos x ( 0)的最小正周期为 .

（Ⅰ）求f( )的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.

16.（本小题共13分）

某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘

客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.

23

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17.(本小题共14分)

PAB和 PAD如图，四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，AB//CD，AB AD，

是两个边长为2的正三角形，DC 4，O为BD的中点，E为PA的中点． (Ⅰ)求证：PO 平面ABCD；

(Ⅱ)求证：OE//平面PDC；

(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

E

18. (本小题共14分）

已知函数f(x) (ax x)lnx

2

D

C

12

ax x.(a R). 2

（I）当a 0时，求曲线y f(x)在(e,f(e))处的切线方程（e 2.718...）； （II）求函数f(x)的单调区间.

19．(本小题共13分）

在平面直角坐标系xOy中，设点P(x,y),M(x, 4)，以线段PM为直径的圆经过

原点O.

（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；

（Ⅱ）过点E(0, 4)的直线l与轨迹W交于两点A,B，点A关于y轴的对称点为A'，试判断直线A'B是否恒过一定点，并证明你的结论.

20. (本小题共13分）

对于数列A：a1，a2， ，an，若满足ai 0,1 (i 1,2,3, ,n)，则称数列A为“0-1数列”.定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A:1,0,1，则T(A):0,1,1,0,0,1.设A0是“0-1数列”，令Ak T(Ak 1),

k 1，2，3, .

(Ⅰ) 若数列A2：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列A1,A0；

(Ⅱ) 若数列A0共有10项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk，k 1,2,3, .求lk关于k的表达式.

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海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学（理）

答案及评分参考 201

1．5

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题

5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9. 6 10. 11 11.

31 ，

162

t2 2t

, (t为偶数) 4

13. 14. ①② , 9 2

(t 1) , (t为奇数) 4

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（Ⅰ） f(x) 分

1(1 cos2 x)2 x 22

1

sin(2 x ), 26

3分 因

为

f(x)

最小正周期为

π

,所以

2π

π2ω

，解得

ω 1, 4分

所以f(x) sin(2x

π1

) , 62

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5分 所

以

f(

2π1

) . 632

分 （

Ⅱ

）

分

别

由

2k

2

6

2k

2

,k，(Z)

2k

2

2x

6

2k

3

,(k Z)2

可得k 分

3

x k

6

,(k Z)，k

6

x k

2

,(k Z). 83

所以,函数f(x)的单调增区间为[k

,k ],(k Z)；

36

调

减

区

间

为

f(x)

[k

的单

6

,k

2

],(k Z). 10分 3

由2x 所

ππkπ

得x π ,(k Z). kπ ,(k Z）

6226

，

以

f(x)

图象的对称轴方程为

kπ

x π (k Z). 13分

26

16.（共13分）

解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A, 1分

由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是

1

， 3分 3则

2 65

P(A) 1 P(A) 1

3 81 .

6分

X(Ⅱ) 的可能取值

0,1,2,3,4, 7分

为

4

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由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为所

1

，且每个人下电梯互不影响， 3

，

以

X B(

1

4.

,

3

11分

14

E(X)

4 .

33

13

分

17.(共14分)

（Ⅰ）证明：设F为

DC的中点，连接BF，则DF AB ∵AB

AD，AB AD，AB//DC，

∴四边形ABFD为正方形， ∵O为BD的中点， ∴O为AF,BD的交点，

E

∵PD PB 2，

D

∴PO BD， ..2分 ∵BD ∴POC

AO

2

2

1

BD 2

2

在三角形PAO中，PO AO PA 4，∴PO AO， 4分 ∵AO BD O，∴PO 平面ABCD； 5分 (Ⅱ)方法1：连接PF，∵O为AF的中点，E为PA中点， ∴OE//PF，

∵OE 平面PDC，PF 平面PDC，

∴OE//平面PDC. 9分

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方法2：由(Ⅰ)知PO 平面ABCD，又AB AD，所以过O分别做AD,AB的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：

A( 1, 1,0)，B( 1,1,0)，D(1, 1,0)

F(1,1,0)，C

(1,3,0)，P，

11E( , ,，

222

11则OE ( , ，PF (1,1,，PD (1, 1,，PC (1,3,.

222

1 ∴OE PF

2

∴OE//PF

∵OE 平面PDC，PF 平面PDC，

∴OE//平面PDC； 9分

(Ⅲ) 设平面PDC的法向量为n (x1,y1,z1)，直线CB与平面PDC所成角θ，

n PC 0 x1 3y1 1 0则

，即 ，

n PD 0 x1 y11 0

y1 0解得 ，令z1 1，则平面PDC

的一个法向量为n )，

x1 1

又CB ( 2, 2,0)

则sinθ cos n,CB

， 3. 14∴直线CB与平面PDC

分

18. (共14分）

解：（I）当a 0时，f(x) x xlnx，f'(x) lnx， 2分 所以f(e) 0，f'(e) 1， 4分

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所以曲线y f(x)在(e,f(e))处的切线方程为y x e. 5分 （II）函数f(x)的定义域为(0, )

1

f'(x) (ax2 x) (2ax 1)lnx ax 1 (2ax 1)lnx， 6分

x

①当a 0时，2ax 1 0，在(0,1)上f'(x) 0，在(1, )上f'(x) 0

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1, )上递减； 8分

111

时，在(0,1)和(, )上f'(x) 0，在(1,)上f'(x) 0 22a2a

11

所以f(x)在(0,1)和(, )上单调递增，在(1,)上递减； 10分

2a2a

1

③当a 时，在(0, )上f'(x) 0且仅有f'(1) 0，

2

②当0 a 所

以

f(x)在(0, )上单调递

增； 12分

111

时，在(0,)和(1, )上f'(x) 0，在(,1)上f'(x) 0 22a2a

11

所以f(x)在(0,)和(1, )上单调递增，在(,1)上递减 14分

2a2a

19．(共13分） 解：（I）由题意可得OP OM， 2分

④当a 所

以

O 0

P

，

O

即

M

(x

2

,yx 4分

2

即x 4y 0，即动点P的轨迹W的方程为x 4y 5分 （II）设直线l的方程为y kx 4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则A'( x1,y1). 由

y kx 4

2

x 4y

消

y

整理得

x2 4kx 16 0， 6分

则

16k2 64 0

，即

|k . 7分

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1212 9分

直线A'B:y y2

y2 y1

(x x2)

x2 x1

y

y2 y1

(x x2) y2

x2 x1

x22 x121 y (x x2) x22

4(x1 x2)4

x2 x1x x1x212

x x2

444x xxx y 21x 12

44 y

12分

即y 所

2

2

x2 x1

x 4 4

以

，

直

线

A'B

恒过定点

(0,4). 13分

20. (共13分）

解：(Ⅰ)由变换T的定义可得A,1,0,0,1 21:0,1分

A0:1,0,1 4

分

(Ⅱ) 数列A0中连续两项相等的数对至少有10对 5分

证明：对于任意一个“0-1数列”A0，A0中每一个1在A2中对应连续四项1,0,0,1，在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0,1,1,0，

因此，共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对， 所

以

A2

中至少有10对连续相等的数

对. 8分 (Ⅲ) 设Ak中有bk个01数对，

Ak 1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以lk 1 bk，

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k 1kk由变换T的定义及A0:0,1可得Ak中0和1的个数总相等，且共有2所以bk 1 lk 2k， 所以lk 2 lk 2k，

由A0:0,1可得A1:1,0,0,1，A2:0,1,1,0,1,0,0,1 所以l1 1,l2 1， 当k 3时，

若k为偶数，lk lk 2 2k 2 lk 2 lk 4 2k 4 l4 l2 22

k 1

个，

上述各式相加可得lk 1 2 2 2

24k 2

1(1 4)1k

(2 1)，

1 43

k 1

2

1

经检验，k 2时，也满足lk (2k 1)

3

若k为奇数，lk lk 2 2k 2 lk 2 lk 4 2k 4 l3 l1 2

上述各式相加可得lk 1 2 2 2

3k 2

1

2(1 4)1k

(2 1)，

1 43

k 1

2

1

经检验，k 1时，也满足lk (2k 1)

3

1k

(2 1),k为奇数 3

所以lk …………………………………………………………………………..13分

1 (2k 1),k为偶数 3

说明：其它正确解法按相应步骤给分.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eimj.html