2013届高三数学一轮复习单元训练 计数原理

黑龙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：计数原理

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

2n2n1．设(1＋x＋x)＝a0＋a1x＋?＋a2nx，则a2＋a4＋?＋a2n的值为( )

nn3＋13－1A． B． 22nnC．3－2 D．3 【答案】B

2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4?100接力赛，要求甲、乙两人至少有

一人参加，且若甲、乙同时参加,则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( ) A．720

B． 520

C．600

D． 360

【答案】C

3． 以正方形的顶点为顶点的三棱锥的个数 ( ）

A． C8C7

13B． C8

4C． C8?6

4D． C8?12

4【答案】D

4．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的

选法为（ ） A．60种 B．100种 C．300种 D．600种 【答案】D

1524

5．在二项式(x－)的展开式中，含x的项的系数是( )

xA．－10 B．10 C．－5 D．5 【答案】B

6． 4名师范生分到两所学校实习，若甲、乙不在同一所学校，则不同的分法共有（ ）

A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 【答案】A

7．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( ) A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种 【答案】C

8．一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上，数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为( )

75

A．A7－A5

25

B．A4A5

115

C．A5A6A5

6115

D．A6＋A4A5A5 【答案】D

用心 爱心 专心

1

9．有7名礼仪小姐排成一排，为某次足球比赛的金、银、铜奖得主颁发奖牌，甲身高最高站在中间，其他6人身高互不相等，甲的左边和右边以身高为准均由高到低排列，则不同的排法种数为( ) A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B

10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有( ) A．6种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】D

11．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为( )

2314

A．C8A6 B．C7A7

14

C．C6A7 D．无法确定 【答案】C 12．若(x+

1n4

)的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x项的系数为（ ） 2xB．7

C．8

D．9

A．6 【答案】B

用心 爱心 专心 2

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若(3x?)n的二项展开式中，所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 【答案】540

14．将1,2,3，?，9这9个数字填在如图18－1的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有________种．

1x

图18－1 【答案】6 15．为落实素质教育，山东省某学校拟从4个重点研究性课题和6个一般性研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被

264

选中的不同选法种数是k，那么二项式(1＋kx)的展开式中，x的系数为________． 【答案】54000

2n2

16．已知(x＋)的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56∶3，则该展开式中xx的系数为________． 【答案】180

用心 爱心 专心 3

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知(1＋2x)的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项

n系数的56

．

(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．

?Crrr－1r－1

n2＝2Cn2，【答案】根据题意，设该项为第r＋1项，则有?

??rr5r＋1r?C2＝6C2＋1

nn，

?Crr－1

n＝C?，即?

n，?亦即?

?Cr＝5Cr＋1

??

n3n，

n＝2r－1?n！5n?r！(n－r)！＝3×！

(r＋1)！(n－r－1)！

，

解得???

r＝4，?

?

n＝7.(1)令x＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37

＝2 187.

所有项的二项式系数和为27

＝128.

(2)展开式的通项为Trrrr＋1＝C72x2

，r≤7且r∈N.

于是当r＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T00022

1＝C72x＝1，T3＝C72x＝84x，

T4226633

5＝C472x＝560x，T7＝C72x＝448x. 18． 若n?N*，?1?2?n?2an?bn（an、bn?Z）.

(1）求a5?b5的值；

(2）求证：数列?bn?各项均为奇数. 【答案】（1）当n?5时，?1?2?5?C0?C1552?C25?2?2???C55?2?5

??C0?2?2?C4355?5?C2?55?2?4???C1????2?C355?2??C5?2?????41?292 故a5?29，b5?41，所以a5?b5?70. (2）证：由数学归纳法

(i）当n?1时，易知b1?1，为奇数； (ii）假设当n?k时，?1?2?k?2ak?bk，其中bk为奇数；

则当n?k?1时，

?1?2?k?1??1?2?k??1?2???2ak?bk???1?2??2?ak?bk???bk?2ak?

所以bk?1?bk?2ak，又ak、bk?Z，所以2ak是偶数， 而由归纳假设知bk是奇数，故bk?1也是奇数.

用心 爱心 专心 4

综上（i）、（ii）可知，bn的值一定是奇数.

2n12证法二：因为?1?2?n?Cn0?Cn2?Cn?2????Cnn?2? n?1当n为奇数时，bn?Cn0?Cn2?2??Cn4?2????Cnn?1?2?

24则当n?1时，b1?1是奇数；当n?3时， 因为其中C2n?2?2?C4n2?2?4???C4n?1n?2?24n?1中必能被2整除，所以为偶数， 必为奇数；

02于是，bn?Cn?Cn??4n42?Cn??n?12???Cn??2n?102当n为偶数时，bn?Cn?Cn??224?Cn其中C2n?2?2?C?2?4???Cnn?????2?均能被2整除，于是b必为奇数.

n???Cn2

nnn综上可知，?bn?各项均为奇数.

19．从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（用数字结尾）

(1）甲、乙两人必须跑中间两棒；

(2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； (3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒. 【答案】（1）A22A62?60

113(2）C2 C2A6?480

223(3）A2C6A3?180

20．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不

同选法？

(1)男、女同学各2名；

(2)男、女同学分别至少有1名；

(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．

22

【答案】(1) C5C4＝60；

(2)男、女同学分别至少有1名，共有3种情况：C5C4＋C5C4＋C5C4＝120；

2112

(3)120－(C4＋C4C3＋C3)＝99.

21．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 【答案】(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计

1212

数原理，共有C4C4C3×A2＝144种． (2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．

2

(3)确定2个空盒有C4种方法．

312

4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C4C12种方法；第

用心 爱心 专心

5

13

22

31

22

二类有序均匀分组有C4C22

A2·A2种方法．

2

故共有C2C312

C22

4C224(4C1A2＋A2·A2)＝84种．

222．已知(x－2n*

x2)(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含x3

2

的项．

【答案】由题意知，第五项系数为C44

n·(－2)，

第三项的系数为C2－2)2

n·(，

则有C4·(－2)4

n10C22)2＝1

， n·(－化简得n2

－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8

＝1.

(2)通项公式Tr8－r2rr＋1＝C8·(x)·(－x2)

8?r＝Crr8·(－2)·x2?2r， 令8－r2－2r＝32

，则r＝1，

33故展开式中含x2的项为T2＝－16x2.

用心 爱心 专心 6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eid6.html