人教版初中数学相交线与平行线难题汇编及答案解析

人教版初中数学相交线与平行线难题汇编及答案解析

一、选择题

1．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（）

A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°C．x+y+z＝180°D．y+z﹣x＝90°

【答案】B

【解析】

【分析】

过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．

【详解】

解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，

则∠CDE＝∠E+∠CNE，

即∠CNE＝y﹣z

∵CM∥AB，AB∥EF，

∴CM∥AB∥EF，

∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，

∵∠BCD＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∴x+y﹣z＝90°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．

∥的条件有（）个．

2．如图，下列能判定AB CD

（1）180B BCD ∠+∠=?； （2）12∠=∠；

（3）34∠=∠； （4）5B ∠=∠．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行线的判定定理依次判断即可.

【详解】

∵180B BCD ∠+∠=?，∴AB ∥CD ，故（1）正确；

∵12∠=∠，∴AD ∥BC ，故（2）不符合题意；

∵34∠=∠，∴AB ∥CD ，故（3）正确；

∵5B ∠=∠，∴AB ∥CD ，故（4）正确；

故选：C.

【点睛】

此题考查平行线的判定定理，熟记定理及两个角之间的位置关系是解题的关键.

3．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．70°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.

【详解】

解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC ，

又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得

∠2=∠DBC ，

又因为∠2+∠ABC=180°，

所以∠EBC+∠2=180°，

即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.

可求出∠2=70°.

【点睛】

掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.

4．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为

A ．80°

B ．50°

C ．30°

D ．20°

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】 试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D ．

考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．

5．如图，点,D E 分别在BAC ∠的边,AB AC 上，点F 在BAC ∠的内部，若1,250F ?∠=∠∠=，则A ∠的度数是（ ）

A ．50?

B ．40?

C ．45?

D ．130?

【答案】A

【解析】

【分析】 利用平行线定理即可解答.

【详解】

解：根据∠1=∠F ，

可得AB//EF ，

故∠2=∠A=50°.

故选A.

【点睛】

本题考查平行线定理：内错角相等，两直线平行.

6．如图，将一张矩形纸片折叠，若170∠=?，则2∠的度数是（ ）

A ．65?

B ．55?

C ．70?

D ．40? 【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质求出∠3=170∠=?，得到∠2+∠4=110°，由折叠得到∠2=∠4即可得到∠2的度数.

【详解】

∵a ∥b ，

∴∠3=170∠=?，

∴∠2+∠4=110°，

由折叠得∠2=∠4,

∴∠2=55 ，

故选：B.

【点睛】

此题考查平行线的性质，折叠的性质.

7．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AE的是（）

A．∠D＝∠DCE B．∠D＋∠ACD＝180° C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行线的判定方法逐项进行分析即可得.

【详解】

A.由∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；

B. 由∠D＋∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；

C.由∠1＝∠2可判定AB//CD，不能得到BD//AE，故符合题意；

D.由∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.

8．如图AD∥BC,∠B=30o,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为（）

A．30o B．60o C．90o D．120o

【答案】B

【解析】

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵DB平分∠ADE，

∴∠ADB=∠ADE ，

∵∠B=30°，

∴∠ADB=∠BDE=30°，

则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．

故选B ．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB 的度数是解题关键．

9．如图，已知ABC ?，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】C

【解析】

【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．

【详解】

∵∠1=∠2，

∴AC ∥DE ，故①正确；

∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，

∴∠A=∠3，故②正确；

∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，

∴DE ⊥BC ，

∴∠DEC=∠CDB=90°，

∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，

∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；

∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，

∴∠ACB=∠CDA=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，

∴∠1=∠B ，故⑤正确；

即正确的个数是4个，

故选：C ．

【点睛】

此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推

理是解题的关键．

10．如图，OC 平分AOB ∠，//CD OB ．若3DC =，C 到OB 的距离是2.4，则ODC ?的面积等于（ ）

A ．3.6

B ．4.8

C ．1.8

D ．7.2

【答案】A

【解析】

【分析】 由角平分线的定义可得出∠BOC=∠DOC ，由CD ∥OB ，得出∠BOC=∠DCO ，进而可证出OD=CD=3．再由角平分线的性质可知C 到OA 的距离是2.4，然后根据三角形的面积公式可求ODC ?的面积．

【详解】

证明：∵OC 平分∠AOB ，

∴∠BOC=∠DOC ．

∵CD ∥OB ，

∴∠BOC=∠DCO ，

∴∠DOC=∠DCO ，

∴OD=CD=3．

∵C 到OB 的距离是2.4，

∴C 到OA 的距离是2.4，

∴ODC ?的面积=13 2.4=3.62

??． 故选A ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、以及角平分线的性质，利用角平分线的性质得出C 到OA 的距离是2.4是解题的关键．

11．如图，1B ∠=∠，2C ∠=∠，则下列结论正确的个数有（ ）

①//AD BC ；②B D ∠=∠；③//AB CD ；④2180B ∠+∠=?

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个 【答案】A

【解析】

【分析】

根据∠1=∠B 可判断AD ∥BC ，再结合∠2=∠C 可判断AB ∥CD ，其余选项也可判断.

【详解】

∵∠1=∠B

∴AD ∥BC ，①正确；

∴∠2+∠B=180°，④正确；

∵∠2=∠C

∴∠C+∠B=180°

∴AB ∥CD ，③正确

∴∠1=∠D ，∴∠D=∠B ，②正确

故选：A

【点睛】

本题考查平行的证明和性质，解题关键是利用AD ∥BC 推导出∠B+∠2=180°，为证AB ∥DC 作准备.

12．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=?，

60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=?，则AEC ∠的度数为（ ）

A ．75°

B ．90°

C ．105°

D ．120°

【答案】C

【解析】

【分析】 延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【详解】

解：如图，延长CE 交AB 于点F ，

∵AB ∥CD ，

∴∠AFE ＝∠C ＝60°，

在△AEF 中，由三角形的外角性质得，∠AEC ＝∠A +∠AFE ＝45°+60°＝105°．

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键．

13．如图所示，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2=（）．

A．30°B．40°C．50°D．60°

【答案】B

【解析】

【分析】

证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．

【详解】

如图，反向延长射线a交c于点M，

∵b∥c，a⊥b，

∴a⊥c，

∴∠3=90°，

∵∠1=90°+∠4，

∴130°=90°+∠4，

∴∠4=40°，

∴∠2=∠4=40°，

故选B．

【点睛】

本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识

14．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是()

A．20°B．22°C．28°D．38°【答案】B

【解析】

【分析】

过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数．

【详解】

解：过C作CD∥直线m，

∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝60°，

∵直线m∥n，

∴CD∥直线m∥直线n，

∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，

∵∠1＝38°，

∴∠ACD＝38°，

∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键．

15．下列五个命题：

①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；

②内错角相等；

③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

④两个无理数的和一定是无理数；

⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．

其中真命题的个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可.

【详解】

①正确；

②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；

③正确；

④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；

⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；

故选：B ．

【点睛】

本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．

16．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）

A ．16

B ．15.2

C ．15

D ．14.8

【答案】D

【解析】

【分析】 根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.

【详解】

解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，

在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，

由勾股定理，得

226810BD +=，

∴=10PB PD BD +=，

在△BCD 中，由三角形的面积公式，得

11=22BD PC BC CD ??，

即1110=8622

PC ????， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.

17．下列命题错误的是（ ）

A ．平行四边形的对角线互相平分

B ．两直线平行，内错角相等

C ．等腰三角形的两个底角相等

D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；

B 、两直线平行，内错角相等，正确；

C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；

D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.

18．如图所示，下列条件中，能判定直线a ∥b 的是（ ）

A ．∠1＝∠4

B ．∠4＝∠5

C ．∠3+∠5＝180°

D ．∠2＝∠4

【答案】B

【解析】

【分析】 在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行

的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．

【详解】

A 、∠1＝∠4，错误，因为∠1、∠4不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同旁内角或内错角；

B 、∵∠4＝∠5，∴a ∥b （同位角相等，两直线平行）．

C 、∠3+∠5＝180°，错误，因为∠3与∠5不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同旁内角；

D 、∠2＝∠4，错误，因为∠2、∠4不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同位角． 故选：B ．

【点睛】

本题考查平行线的性质，解题关键是区分同位角、内错角和同旁内角

19．如图，直线,a b 被直线c 所截，则图中的1∠与2∠是（ ）

A ．同位角

B ．内错角

C ．同旁内角

D ．邻补角

【答案】B

【解析】

【分析】 根据1∠与2∠的位置关系，由内错角的定义即可得到答案.

【详解】

解：∵1∠与2∠在截线,a b 之内，并且在直线c 的两侧，

∴由内错角的定义得到1∠与2∠是内错角，

故B 为答案.

【点睛】

本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角、邻补角的定义，理解内错角、同位角、同旁内角、邻补角是解题的关键.

20．如图，将一张含有30o 角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若244∠=o ，则1∠的大小为（ ）

α-

A．14o B．16o C．90α

-o D．44o

【答案】A

【解析】

分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．

详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．

故选A．

点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

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