关于行列式计算方法的进一步探讨

数学与统计学院2011届毕业论文

关于行列式计算方法的进一步探讨

引言

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的,它不论是在线性代数，多项式理论还是微积分中都有广泛应用，所以掌握行列式的计算是十分必要的. 为此，我在查阅部分参考资料的基础上,结合自己的学习实践,对行列式的计算总结了二十一种方法.常规做法都是用行列式的性质和相关定理来求解.以下是对一些典型类型的行列式的计算，以拓宽行列式的解题思路，下面依次说明其求解方法和过程.

1.定义法

n阶行列式的定义展开式式中包含n!项,当n较大时，利用定义进行计算就会很麻烦，只有当行列式中0比较多时考虑利用定义算行列式，这样可以大大减少行列式展开的项数.

010?002?例1计算????00?.

000?n?1n00?0解 根据行列式的定义，行列式展开式的每一项都是n个元素的乘积，这些元素来自行列式不同的行和不同的列，由于行列式中只有一个非零项1?2?(n?1)?n?n!，这一项的逆序数为n?1，有计算可得Dn?(?1)n?1n!.

2.化三角形法

化三角形法主要是利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式.虽然每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但当行列式阶数较高时,计算往往较为复杂.因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作某种变形,再将其化为三角形行列式.上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积.

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nnn?n2n?1n?1n?1n?1?n?1?321?331?521????例2 计算行列式 A?.

2n?3?321?321解 首先将行列式的第一行乘以??1?加到第2,3,?,n行,再将其第n,n?1,?,2,1列通过相邻两列互换依次调为第1,2,?,n列,则得

n0A?0?0n?1n?1?32100?0?010?200????）?（?1n?n?1?2123?10?2??n00?n?1?(?1)n?n?1?2?n?1?!.

n?2?000?0003.降阶法

可利用按一行(列)展开定理降低n阶行列式的阶数并且使得行列式的计算较为简便的方法称为降阶法.降阶比较适合于行列式中某行或列中零元素比较多时.

122?2222?2例3 计算行列式 A?223?2.

?????222?n解 首先应考虑A能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以??2?加到第2,3,?,n行,数字反而复杂了,要使行列式尽可能多的出现“0”项,将该行列式的第一行乘以??1?加到第2,3,?,n行,得

122?100?A?101?200.

?????100?n?2上式仍不是上（下）三角形行列式，我们可以用降阶法，注意第二行除了第一项是1， 后面的项都是0，我们按第二行展开，得

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22?1?A??2???2?n?2?!. ?n?24.加边法

加边法就是将原来的行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列式更容易求出其

值.该方法适用于除主对角线上元素外,各行（或列）对应的元素分别相同的类型.

1?a1a2a3?ana1a1?a11?a2a3?ana21?a3?an. ????a2a3?an例4 计算行列式D?解 利用加边法将行列式添加一行一列，使其值保持不变.则有

1a1a2a3?a3?a3???ananan?1?1=?1??1a110?0a201?0a3?an00?0????00 ?101?a1a2D?0a11?a2?0n?a1?a2a3?1?an1??ai =

a110?0a201?0a3?an00?0????00?1

00?0ni?1=1??ai=1?a1?a2?a3???an.

i?1 加边法最大的特点是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就可以大大减少计算量.

5.分解行列法(拆项法)

如果行列式某行(列)是两行(列)之和,将行列式分解为两行列式的和,然后再利用性质进行计算.即分解行列法.

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1??1x11??1x2例5 计算 Dn??1??1xn2??2x1?n??nx12??2x2?n??nx2.

???2??2xn?n??nxn解 将行列式Dn分解为若干行列式的和,则当n?2时,每个行列式至少有两列成比例,故

Dn?0；

当n?1时，

D1?1??1x1.

当n?2时，

D2?则

1??1x11??1x2?1x1??2??2x21?2x2?1x22??2x11?2x122??x1?x2??2?1??2?.

?1??1x1,n?1,?? Dn??(x1?x2)(2?1??2),n?2,

??n?2.?0,6.分解法

利用矩阵乘积的性质可把行列式分解成若干个行列式乘积的方法称为分解法.如果矩阵A分解为A?A1A2A3?Am，其中Ai都是n阶方阵(i?1,2,?,m),则A?A1A2A3?Am.

1?a1nb1n1?a1b1nn1?a2b1例6 计算行列式Dn?1?ab21?nn1?anb11?anb1n1?a1nb21?a1b2nn1?a2b21?a2b2?nn1?anb21?anb2????n1?a1nbn1?a1bnnn1?a2bn1?a2bn. ?nn1?anbn1?anbn解 首先用以前学过的公式化简行列式，然后再进行计算.由于 1?(a1b1)n?(1?a1b1)(1?a1b1?a2b2???an?1bn?1)， 则有

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?aDn?n?1kk11bbb?ak?0n?1k?0n?1?a?ak?0n?1k?0n?1n?1k1k2bbk2k2???a?ak?0k?0n?1n?1k1k2kbnkn1a1akk21?kkn1?knkb2?ak?0?ak?0b=1a2a?ak?0????????2n?1n?11anan?ankkb1n?1??anbn2122?an?11n?121b1.b121b22b2?????1bn2bn ?n?1n?1b2?bn=

1?i?j?n?(aj?ai)(bj?bi).

7.拆元法

把某一行或列的元素写成两个数的和的形式，再利用行列式的性质将其写成两个行列式的和，以简化计算.

例7 计算行列式

xmmmx?m?mxDn??m?m?m?m.

??????m?m?m?xmmmmx?mx?mmx?mmmx?m?m?m?m??m?x??m?m?m

?????m?m?xxmmmx?m?mx解Dn??m?m?m?mx?m??m?m?x?????m?m?m??????m?m?m??m(x?m)n?1?(x?m)Dn?1 (1)

??Dn ，即将Dn中的m换成?m，行列式的值不变，故 由于DnDn??m(x?m)n?1?(x?m)Dn?1 (2)

（x?m）（1）?(x?m)Dn?m(x?m)n?(x2?m2)Dn?1

（2）?(x?m)(x?m)Dn??m(x?m)n?(x2?m2)Dn?1

则

m(x?m)n?m(x?m)n1Dn??[(x?m)n?(x?m)n].

(x?m)?(x?m)28.析因子法

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ei9v.html