【解析版】广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题

2013年广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）（2013?东莞二模）设z=1﹣i（是虚数单位），则 2 A． 2+i B． C． 2﹣i =（ ）

2+2i D． 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出． 解答： 解：∵z=1﹣i，∴，=∴==1+i+1+i=2+2i． =． 故选D． 点评： 熟练掌握复数的运算法则和共轭复数的定义是解题的关键． 2．（5分）（2013?东莞二模）命题“?x∈R，x+1≥1”的否定是（ ） 2222 A．B． C． D． ?x∈R，x+1＜1 ?x∈R，x+1≤1 ?x∈R，x+1＜1 ?x∈R，x+1≥1 考点： Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算． 专题： 规律型． 分析： 全称命题：“?x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“?x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“?x∈R，2都有有x+1≥1”，易得到答案． 2解答： 解：∵原命题“?x∈R，有x+1≥1” 2∴命题“?x∈R，有x+1≥1”的否定是： 2?x∈R，使x+1＜1． 故选C． 点评： 本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“?x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“?x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键． 3．（5分）（2013?湛江一模）若a0=（ ） 1 32 A．B． 考点： 二项式定理的应用． 专题： 概率与统计． 分析： 根据 （x+1）5=[2+（x﹣1）]5=（X﹣1）+452

，则

C． ﹣1 D． ﹣32 ?2+5?2（x﹣1）+4?2?（x﹣1）+32?2（x﹣1）+23?2??（x﹣1），结合所给的条件求得a0的值． ?2+555解答： 解：∵（x+1）=[2+（x﹣1）]=?2（x﹣1）+4?2?（x﹣1）+32?2（x﹣1）+23?2?（X﹣1）+而且 故 a0=4?（x﹣1）， ， 5?2=32， 5故选B． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 4．（5分）（2013?梅州一模）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3

，则a=（ ）

A． B． C． D． 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 先由三视图画出几何体的直观图，理清其中的线面关系和数量关系，再由柱体的体积计算公式代入数据计算即可． 解答： 解：由三视图可知此几何体为一个三棱柱，其直观图如图：底面三角形ABC为底边AB边长为2的三角形，AB边上的高为AM=a，侧棱AD⊥底面ABC，AD=3， ∴三棱柱ABC﹣DEF的体积V=S△ABC×AD=×2×a×3=3∴a=． 故选C． ， 点评： 本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力 5．（5分）（2013?东莞二模）已知函数y=sinx+cosx，则下列结论正确的是（ ） A．B． 此函数的最大值为1； 此函数的图象关于直线对称 C．此函数在区间 上是增函数． D． 此函数的最小正周期为π． 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式， 解答： 解：因为函数y=sinx+cosx=sin（x+）， 当时函数值为：0，函数不能取得最值，所以A不正确； sin（x+），当x=），即x在时函数取得最大值为，B不正确； 函数y=sinx+cosx=因为函数x+∈（上函数是增函数，所以函数在区间上是增函数，正确． 函数的周期是2π，D不正确； 故选C． 点评： 本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的周期与最值、单调性与对称性，考查基本知识的应用． 6．（5分）（2013?湛江一模）已知函数f（x）=lg（x﹣anx+bn），其中an，bn的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的有（ ）

2

A．1个 C． 3个 考点： 程序框图． 专题： 计算题． 分析： 要使函数f（x）=lg（x2﹣ax+b）定义域为R，则必须满足△=nn出的数值ai，及bi（i=1，2，3，4，5）进行判定即可． 解答： 解：要使函数f（x）=lg（x2﹣ax+b）定义域为R，则必须满足△=nn B． 2个 D． 4个 ＜0，成立．由循环结构输＜0，成立． ①a0←1，b0←﹣1，n←1，n＜5，运行循环结构，输出a1←1+1，b1←﹣1+2，不满足△＜0； ②a2←2，b0←1，n←2，n＜5，运行循环结构，输出a2←2+1，b1←1+2，满足△＜0； ③a2←3，b2←3，n←3，n＜5，运行循环结构，输出a3←3+1，b3←3+2，满足△＜0； ④a3←4，b3←5，n←4，n＜5，运行循环结构，输出a4←4+1，b4←5+2，满足△＜0； ⑤a4←5，b4←7，n←5，n=5≤5，运行循环结构，输出a5←5+1，b5←7+2，不满足△＜0； ⑥n←6＞5，停止循环结构运行． 综上可知：只有②③④满足△＜0． 22因此可以得到以下3个定义域为R的函数：f（x）=lg（x﹣3x+3），f（x）=lg（x﹣4x+5），f（x）2=lg（x﹣5x+7）． 故选C． 点评： 正确判定使函数f（x）=lg（x2﹣anx+bn）定义域为R的条件△＜0，及理解循环结构的功能是解题的关键． 7．（5分）（2013?湛江一模）设命题p：“若对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角α，使

”，则（ ）

A．p∧q为真命题 B． p∨q为假命题 C． ￢p∧q为假命题 D． ￢p∨q为真命题 考点： 复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 压轴题． 分析： 因为|x+1|+|x﹣2|表示x到﹣1与2的距离，所以|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，判定出命题p为真命题，根据三点共线的充要条件判定出命题q为真命题．根据复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系得到￢p∧q为假命题， 解答： 解：因为|x+1|+|x﹣2|表示x到﹣1与2的距离， 所以，|x+1|+|x﹣2|的最小值为3， 所以对任意x∈R，|x+1|+|x﹣2|＞a， 只需要3＞a即a＜3， 所以命题p为真命题， 所以￢p为假命题， 因为所以=， = 所以A、B、C三点共线， 反之，A、B、C三点共线， 所以存在λ，μ使得所以存在α使得λ=sinα，μ=cosα 所以存在角α，使”， 22其中λ+μ=1 所以命题q为真命题， 所以￢p∧q为假命题， 故选C． 点评： 本题考查绝对值的几何意义以及三点共线的充要条件，考查解决不等式恒成立转化为求函数的最值，属于中档题． 8．（5分）（2013?肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质： ①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a； ②对任意a∈R，a⊕0=a； ③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c． 函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（ ）

4 A． 3 B． C． 2 1 D． 考点： 进行简单的合情推理；函数的值域． 专题： 计算题；新定义． 分析： 根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3． 解答： 解：根据题意，得 f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x?）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+ 即f（x）=1+x+ ∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x==1，即x=1时等号成立 ∴1+x+≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为f（1）=3 故选：B 点评： 本题给出新定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识，属于中档题． 二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置．）（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 9．（5分）（2013?东莞二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a8=2，S11= 11 ． 考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由等差数列的性质可得a1+a11=a4+a8=2，代入求和公式故S11=解答： 解：由等差数列的性质可得a1+a11=a4+a8=2， 故S11===11 ，计算即可． 故答案为：11 点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题． 10．（5分）（2013?东莞二模）已知x＞0，y＞0，且 考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 把代入可得，2x+3y=（2x+3y）（解答： 解：由题意可得2x+3y=（2x+3y）（） ，则2x+3y的最小值为 ．

）=+29，由基本不等式可得答案．

=当且仅当+29≥2，即x=+29=29+6，y= 时取等号， 故2x+3y的最小值为： 故答案为： 点评： 本题考查基本不等式的应用，把属基础题． 代入原式构造可利用基本不等式的情形是解决问题的关键，11．（5分）（2013?东莞二模）设曲线y=e在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= 2 ． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题． 分析： 根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可． axax解答： 解：∵y=e∴y′=ae ∴曲线y=e在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=a（x﹣0），即ax﹣y+1=0 ∵直线ax﹣y+1=0与直线x+2y+1=0垂直 ∴﹣a=﹣1，即a=2． 故答案为：2 点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题． 12．（5分）（2013?东莞二模）

= 2 ．

axax

考点： 定积分． 专题： 计算题． 分析： 直接根据定积分的定义求解即可． π解答： 解：∵∫0（sinx+cosx）dx π=（﹣cosx+sinx）|0=（﹣cosπ+sinπ）﹣（﹣cos0+sin0） =2． 故答案为：2． 点评： 本题主要考查定积分的简单应用，属于基础题． 13．（5分）（2013?东莞二模）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是 （，） ．

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 压轴题． 分析： 本题采用画图的形式解题比较直观． 解答： 解：如图所示： ∵f（2x﹣1）＜f（） ∴﹣＜2x﹣1＜， 即＜x＜． 故答案为：（，） 点评： 本题考查函数的奇偶性的应用．关键是利用了偶函数关于y轴对称的性质． 14．（5分）（2013?东莞二模）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1：

，则C1上到C2的距离等于

的点的个数为 3 ．

和曲线C2：

考点： 直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 直线与圆． 分析： 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离等于半径的一半，可得圆上到直线的距离等于的点的个数． 解答： 解：将方程2=0， 可知C1为圆心在坐标原点，半径为r=故满足条件的点的个数n=3， 故答案为 3． 的圆，C2为直线，因圆心到直线x﹣y﹣2=0的距离为=， 与化为直角坐标方程得与x﹣y﹣ 点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题． 15．（2013?东莞二模）（几何证明选讲选做题） 如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．若CB=2，CE=4，则AD的长为 ．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题． 分析： 设出圆的半径直接利用切割线定理求出圆的半径，通过三角形相似列出比例关系求出AD即可． 2解答： 解：设r是⊙O的半径．由切割线定理可知：CE=CA?CB， 即4=（2r+2）×2，解得r=3． 因为EC是圆的切线，所以OE⊥EC，AD⊥DC， 所以△ADC∽△OEC，所以 解得AD=故答案为：． ． =，=， 2点评： 本题考查圆的切割线定理的应用，三角形相似的证明以及应用，考查计算能力． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013?东莞二模）已知函数（1）求f（x）的最小正周期； （2）求（3）设

的值；

，求

的值．

考点： 三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用；诱导公式的作用． 专题： 三角函数的求值． 分析： （1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期； （2）将x=3α+代入函数解析式，根据已知等式利用诱导公式化简求出tanα的值，所求式子利用诱导公式变形后，分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切变形后，将tanα的值代入计算即可求出值． 解答： 解：（1）f（x）的最小正周期为T==3π； （2）将x=代入得：f（）=tan（﹣）=tan）﹣=； （3）由f（3α+∴tanα=﹣， ）=﹣，得tan[（3α+]=﹣，即tan（π+α）=﹣， ∵cosα≠0， 则原式====﹣3． 点评： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，同角三角函数间的基本关系的运用，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 17．（12分）（2013?东莞二模）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： 1 2 3 4 5 月份x 4 4 5 6 6 y（万盒） （1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=

+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的

值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；

（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 考点： 离散型随机变量及其分布列；线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 综合题；概率与统计． 分析： （1）由线性回归方程过点（，），得=﹣，而，易求，且=0.6，从而可得的值，把x=6代入回归方程可得6月份生产的甲胶囊产量数； （2）ξ=0，1，2，3，利用古典概型的概率计算公式可得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=2）、P（ξ=3），从而可得ξ的分布列，由期望公式可求ξ的期望； 解答： 解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5， 因线性回归方程=x+过点（，）， ∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2， ∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.8． （2）ξ=0，1，2，3， P（ξ=0）==，P（ξ=1）==， P（ξ=2）=其分布列为 ξ 0 1 2 3 =，P（ξ=3）==， P =． 所以Eξ=点评： 本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力． 18．（14分）（2013?肇庆一模）如图，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB，BF=C是弧AB的中点． （1）证明：BC⊥平面PAC； （2）证明：CF⊥BP；

（3）求二面角F﹣OC﹣B的平面角的正弦值．

，

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）利用线面垂直的性质及已知PA⊥平面ABC，可得BC⊥PA．再利用∠ACB是直径所对的圆周角，可得BC⊥AC．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）由于PA⊥平面ABC，利用线面垂直的性质即可得到OC⊥PA．再利用等腰三角形的性质可得OC⊥AB，得到OC⊥平面PAB，取BP的中点为E，连接AE，可得OF∥AE，AE⊥BP，进而得到BP⊥平面CFO即可． （3）利用（2）知OC⊥平面PAB，可得OF⊥OC，OC⊥OB，于是∠BOF是二面角F﹣OC﹣B的平面角．由已知可得∠FOB=45°即可得出． 解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA． ∵∠ACB是直径所对的圆周角， ∴∠ACB=90°，即BC⊥AC． 又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC． （2）∵PA⊥平面ABC，OC?平面ABC， ∴OC⊥PA． ∵C是弧AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC， 又O是AB的中点，∴OC⊥AB． 又∵PA∩AB=A，∴OC⊥平面PAB，又PB?平面PAB， ∴BP⊥OC． 设BP的中点为E，连接AE，则OF∥AE，AE⊥BP， ∴BP⊥OF． ∵OC∩OF=O，∴BP⊥平面CFO．又CF?平面CFO，∴CF⊥BP． （3）解：由（2）知OC⊥平面PAB，∴OF⊥OC，OC⊥OB， ∴∠BOF是二面角F﹣OC﹣B的平面角．

又∵BP⊥OF，∠FBO=45°，∴∠FOB=45°， ∴，即二面角FOOC﹣B的平面角的正弦值为． 点评： 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、圆的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、二面角等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 19．（14分）（2013?韶关一模）设等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为等比数列，若a1=b1=a，a3=b3，a7=b5 （1）求数列{bn}的公比q；

（2）将数列{an}，{bn}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn}，是否存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）使得λ，μ，ω和cλ+λ，cμ+μ，cω+ω均成等差数列？若存在，求出λ，μ，ω的值，若不存在，请说明理由． 考点： 等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式． 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： （1）设{bn}的公比为q，依题意，由可求得q=±； （2）若{an}与{bn}有公共项，不妨设an=bm，由于m为奇数，且n=可求得bm=a?2q=μ，r=ω则k﹣1，令m=2k﹣1（k∈N），*，于是有cn=2n﹣1a，假设存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）满足题意，设p=λ，，利用基本不等式可求得q＞，与题设q=矛盾，从而可得结论． 解答： 解：（1）设{bn}的公比为q，由题意，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） q=1不合题意，故=，解得q=2， 2∴q=±﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （2）若{an}与{bn}有公共项，不妨设an=bm， 由（2）知：m为奇数，且n=令m=2k﹣1（k∈N），则bm=a?n﹣1*， =a?2k﹣1， ∴cn=2a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 若存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）满足题意， 设p=λ，q=μ，r=ω则， ∴2=2qp﹣1+2r﹣1，又2p﹣1+2r﹣1≥2=（当且仅当p=r时取“=”） 又p≠r， ∴又2p﹣1x+2r﹣1＞﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分） 又y=2在R上增， ∴q＞．与题设q=矛盾， ∴不存在λ，μ，ω满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分） 点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查方程思想与运算求解的能力和推理论证的能力，属于难题． 20．（14分）（2013?梅州二模）已知椭圆

的离心率为

，直线l：y=x+2与

以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足

，求

的取值范围．

考点： 圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算；轨迹方程；椭圆的标准方程． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C1的方程； （2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，F2为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C2的方程； （3）先设出点R，S的坐标，利用表示出解答： 解：（1）由，利用函数求最值的方法即可求22求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S的坐标的取值范围． 222得2a=3b，又由直线l：y=x+2与圆x+y=b相切， 得，，∴椭圆C1的方程为：．（4分） （2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线， 2F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y=4x．（8分） （3）Q（0，0），设， ∴， 由，得，∵y1≠y2 ∴化简得，（10分） ∴（当且仅当y1=±4时等号成立）， ∵又∵y2≥64，∴当y2=64，即y2=±8时∴的取值范围是．（13分） 22， ， 点评： 本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解． 21．（14分）（2013?东莞二模）已知函数（1）若a=1，求g（x）的单调减区间； （2）若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有

，求实数a的取值范围；

，函数f（x）是函数g（x）的导函数．

（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值． 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间． （2）先2用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得﹣（x1﹣x2）＜0，由此式即可求得实数a的取值范围； （3）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解． 解答： 322解：（1）当a=1时，g（x）=x+2x﹣2x，g′（x）=x+4x﹣2 …（1分） 由g′（x）＜0解得﹣2﹣＜x＜﹣2+ …（2分） ∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （﹣2﹣，2+）；…（3分） 2（2）易知f（x）=g′（x）=x+4x﹣2 依题意知 =a（）+4×2﹣2﹣ =﹣（x1﹣x2）＜0 …（5分） 2因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分） （3）易知f（x）=ax+4x﹣2=a（x+）﹣2﹣，a＞0． 显然f（0）=﹣2，由（2）知抛物线的对称轴x=﹣＜0 …（7分） ①当﹣2﹣＜﹣4即0＜a＜2时，M∈（﹣，0）且f（M）=﹣4 令ax+4x﹣2=﹣4解得 x=此时M取较大的根，即M=222 …（8分） =…（9分） ∵0＜a＜2，∴M==＞﹣1 …（10分） ②当﹣2﹣≥﹣4即a≥2时，M＜﹣且f（M）=4 令ax+4x﹣2=4解得 x=2 …（11分） 此时M取较小的根，即 M==…（12分） ∵a≥2，∴M==≥﹣3当且仅当a=2时取等号 …（13分） 由于﹣3＜﹣1，所以当a=2时，M取得最小值﹣3 …（14分） 点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

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