【解析版】江苏省南京市玄武区2013年中考数学一模试卷

2013年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

4．（2分）（2013 玄武区一模）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）

2

6．（2分）（2013 玄武区一模）某优质袋装大米有A

、B、C三种包装，分别装有5千克、10千克、15千克大米，每袋售价分别为35元、65元、90元，每袋包装费用（含包装袋成本）分别为4元、5元、6元．超

二、填空题（本大题共10小题，每小题2

分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．（2分）（2005 三明）计算：+=

8．（2分）（2013 玄武区一模）如图a∥b，若∠1=120°，则∠2的度数是°．

9．（2分）（2013 玄武区一模）据新浪报道，新浪微博在2012年末约拥有503000000个注册用户，将503000000

8用科学记数法表示为 5.03×10 ．

10．（2分）（2013 玄武区一模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：那么这个三角形是直角三角形 ．

11．（2分）（2013 玄武区一模）一个周长20cm

的菱形，有一个内角为60°，其较短的对角线长为．

12．（2分）（2013 玄武区一模）根据图中所给两个三角形的角度和边长，可得x=

13．（2分）（2013 玄武区一模）将下列函数图象沿y轴向上平移a（a＞0）个单位长度后，不经过原点的有 ①③ （填写正确的序号）．

①y=；②y=3x﹣3；③y=x+3x+3；④y=﹣（x﹣3）+3．

14．（2分）（2013 玄武区一模）若有一列数依次为：，，，， …，则第n个数可以表示为22

．

15．（2分）（2013 玄武区一模）如图所示为一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），根据图中数据，可知该无盖长方体的容积为 6 ．

16．（2分）（2013 松北区二模）如图，在半径为R的⊙O中，

弦AB长度的差为 R （用含有R的代数式表示）． 和度数分别为36°和108°，弦CD与

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（2013 玄武区一模）解不等式组

18．（8分）（2013 玄武区一模）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是方程x﹣2x=02．

的根．

19．（8分）（2013 玄武区一模）3月的南京，“春如四季”．如图所示为3月22日至27日间，我市每日最高气温与最低气温的变化情况．

（1）最低气温的中位数是 6.5 ℃；3月24日的温差是 14 ℃；

（2）分别求出3月22日至27日间的最高气温与最低气温的平均数；

（3）数据更稳定的是最高气温还是最低气温？说说你的理由．

20．（7分）（2013 玄武区一模）河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．

21．（8分）（2013 高港区二模）如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．

22．（8分）（2013 玄武区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，BC平行于x轴，AB=6，点A的横坐标为2，反比例函数y=的图象经过点A、C．

（1）求点A的坐标；

（2）求经过点A、C所在直线的函数关系式；

（3）请直接写出AD长 4 ．

23．（8分）（2013 玄武区一模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC绕着格点O顺时针旋转90°．

（1）画出△ABC旋转后的△A′B′C′；

（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；

（3）点B′到线段A′C′的距离为

．

24．（7分）（2013 玄武区一模）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来速度的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的平均行驶速度．

25．（10分）（2013 玄武区一模）小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°

，CA=30cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3…P8，使得∠P1CA=10°，∠P2CA=20°，∠P3CA=30°，…∠P8CA=80°． （1）求P3A的长（结果保留根号）；

（2）求P5A的长（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，≈1.7）；

（3）小明发现P1，P2，P3…P8这些点中，相邻两点距离都不相同，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．

∴P3A=P3B= AB. 在 Rt△ ABC 中，cos∠A= ∴AB= =20 cm. cm. (2)连接 P5C,作 P5D⊥CA,垂足为 D. ,

∴P3A= AB=10

由题意得，∠P5CA=50°,设 CD=xcm. 在 Rt△ P5DC 中，tan∠P5CD= ∴P5D=CD tan∠P5CD=1.2x. 在 Rt△ P5DA 中，tan∠A= ∴DA= =1.2 x. , ,

∵CA=30cm, ∴CD+DA=30cm. ∴x+1.2 x=30. ∴x= .

在 Rt△ P5DA 中，sin∠A=

∴P5A= ∴P5A=2.4×

=2.4x. ≈24cm. (3)如图 2,在△ ABC 中，∠C=90°,∠A=45°.

当 P1,P2,P3…P8 在斜边上时. ∵∠B=90°﹣∠A=45°, ∴∠B=∠A,∴AC=BC. 在△ P1CA 和△ P8CB 中， ∵∠P1CA=∠P8CB,AC=BC,∠A=∠B, ∴△P1CA≌△P8CB.∴P1A=P8B. 同理可得 P2A=P7B,P3A=P6B,P4A=P5B. 则 P1P2=P8P7,P2P3=P7P6,P3P4=P6P5. 在 P1,P2,P3…P8 这些点中，有三对相邻点距离相等.

26．（9分）（2013 玄武区一模）在函数中，我们规定：当自变量增加一个单位时，因变量的增加量称为函数的平均变化率．例如，对于函数y=3x+1，当自变量x增加1时，因变量y=3（x+1）+1=3x+4，较之前增加3，故函数y=3x+1的平均变化率为3． （1）①列车已行驶的路程s（km）与行驶的时间t（h）的函数关系式是s=300t，该函数的平均变化率是 ；其蕴含的实际意义是；

2②飞机着陆后滑行的距离y（m）与滑行的时间x（s）的函数关系式是y=﹣1.5x+60x，求该函数的平均变

化率；

（2）通过比较（1）中不同函数的平均变化率，你有什么发现；

2（3）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象经过第一象限内的三点A、B、C，过点A、B、C作x轴的垂线，

垂足分别为D、E、F，

AM⊥BE，垂足为M，BN⊥CF，垂足为N，DE=EF，试探究△AMB与△BNC面积的大小关系，并说明理由．

27．（9分）（2013 玄武区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．现有一点D，使得∠CDB=∠CAB，DB=CB．

（1）请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，可简要说明作法）；

（2）连接CD，与AB交于点E，求∠BEC的度数；

（3）以A为圆心AB长为半径作⊙A，点O在直线BC上运动，且以O为圆心r为半径的⊙O与⊙A相切2次以上，请直接写出r应满足的条件．

(3)当 0<r<2 时，⊙O 与⊙A 相切 4 次； 当 r=2 时，⊙O 与⊙A 相切 3 次； 当 r=8 时，⊙O 与⊙A 相切 3 次； 当 r>8 时，⊙O 与⊙A 相切 4 次.

点评： 本题考查了圆的综合题：垂径定理和圆周角定理是解决有关圆的问题常用的定理；记住两圆的位置 关系的判断方法.

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