2014期末复习（一元二次方程及其应用）

2014期末复习(一元二次方程及其应用)

☆中考考点1．一元二次方程的定义

只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的_____方程叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式是 ( ).其中 叫做二次项， ______叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数,_____ 叫做常数项.

注意a≠0这个重要条件,它也是判断方程是否是一元二次方程的重要依据. 1. 下列方程中是一元二次方程的有（ ） 2y ①9 x2=7 x ② =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)

3 ④ x-2y+6=0 ⑤ 2( x2+1)=10 ⑥ -x-1=0

A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤ 2.把方程x(x-1)=2写成一般形式________________.

3.（2014江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________ 4.下列方程中，关于x的一元二次方程是( ) (A)

(B)

(C)

(D)

2

5.方程?x?1??x?3??12化为ax2?bx?c?0形式后，a、b、c的值为（ ） （A）1，–2，–15 （B）1，–2，–15（C）1，2，–15 （D）–1，2，–15

☆中考考点2．一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：形如

?mx?n??p(p?0)2或(x?b)2?a(a?0)的方程的根为______

（2）配方法：（前三步：1.移项，2.系数化为1,3.配方）

（3）公式法: 方程ax2?bx?c?0(a?0)，当b2?4ac_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 1.方程x2-x=0的解是_______________;方程2x2?6?0的解是_______________; 方程x2-2x-3=0的解是_______________.

2.（2014年云南省）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ） A． x1=1，x2=2 B． x1=1，x2=﹣2 C． x1=﹣1，x2=﹣2

D． x1=﹣1，x2=2

3.（2014?舟山，第11题4分）方程x2﹣3x=0的根为 ．

4.（2014四川内江）用配方法解方程x2?4x?2?0，下列配方正确的是（ ） A．(x?2)2?2

B．(x?2)2?2

C．(x?2)2??2

D．(x?2)2?6

5.（2014湖北武汉）如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（ ）。

A、2 B、－2 C、4 D、－4

1

6.（2014重庆）方程?x?1??4的解为 。

27.（2014浙江温州）方程x2?2x?0的解是 ． 8.（2014浙江宁波）方程x2+2x=0的解为

9.已知x??1是关于x的方程2x2?ax?a2?0的一个根，则a?_______．

10.（2013?白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是

11..若关于x的一元二次方程(m?1)x2?5x?m2?3m?2?0的常数项为0，则m的值等于 （ ） A．1 B．2 C．1或2 D．0

12.(2012临沂）用配方法解一元二次方程x2-4x?5时，此方程可变形为（ ）

2222（x?2）?1 B. （x-2）?1 C. （x?2）?9 D. （x-2）?9 A.

22??x?p?q的形式为（ ） 13.（2012宜宾）将代数式x+6x+2化成

A．?x?3??11 B．?x?3??7 C．?x?3??11 D．?x?2??4

14.解方程：(1) x2?2x?5. (2)x2－4x+2=0

2222

(3)x2?4x?1?0． (4) x2＋3＝3(x＋1)

(5) x2?2x?2x?1 (6) x2=4x

2

☆中考考点3。一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式

关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的根的判别式为 . （1）b2?4ac>0?一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?有两个 实数根, （2）b2?4ac=0?一元二次方程有 相等的实数根，即x1?x2? , （3）b2?4ac<0?一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0? 实数根.反之也成立。 1. 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围（ ） A．

B．

C．

D．

2．（2014?四川自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ） 有两个不相等的实数根 A． C．只有一个实数根 Ａ．有两个相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根

B． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｄ．没有实数根

3.（2014巴中市）一元二次方程x2?2x?1?0的根的情况为（ ） 4.若关于z的一元二次方程x2.?2x?m?0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m-1 C．m>l D．m<-1

5. （2014?益阳）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ） A．m＞1 m=1 B． C． m＜1 m≤1 D． =0有两个不相等的实数根，

6.. （ 2014?广西贺州）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+

则m的最大整数值是 ．

7.（2014广州）关于x的方程x2?px?q?0的两根同为负数，则（ ） A．p>0且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0

8.（2014湖南怀化）已知方程x2?3x?k?0有两个相等的实数根，则k? 9.若关于x的一元二次方程x2?2x?k?0没有实数根，则k的取值范围是 ． 10.已知关于x的方程2x2?kx?1?0。

（1） 求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k

的值。

3

11.(2014年广东汕尾）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0 （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

12. （2014?扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．

*13. （2014年江苏南京，第24题）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

2.韦达定理：

如果一元二次方程 的两根分别为x1、x2，则有 。 注意：应用一元二次方程两根和或两根积的前提是一元二次方程有根。 1.（2014·云南）已知x1、x2是一元二次方程x2?4x?1?0的两个根，则x1?x2等于（ ） A. ?4 B. ?1 C. 1 D. 4

4

2.（2014重庆）已知一元二次方程2x2?3x?1?0的两根为x1、x2，则x1?x2? 3.（2014四川眉山）关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝______；c＝______．

24.已知一元二次方程：x2?3x?1?0的两个根分别是x1、的值为（ ） x2则x12x2?x1x2 A. ?3 B. 3 C. ?6 D. 6 *5．（3分）（2014?广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 _________

26.(2012南充) 关于x的一元二次方程x?3x?m?1?0的两个实数根分别为x1,x2.

（1）求m的取值范围；（2）若2(x1?x2)?x1x2?10?0，求m的值.

☆中考考点4。一元二次方程的应用 传染和握手问题

1．(2014年天津市，第10题3分)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ） A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C． x（x+1）=28

D． x（x﹣1）=28

2.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了

几个人?

增长率问题

1.（2012四川成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元， 如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）

22A．100(1?x)?121 B． 100(1?x)?121C． 100(1?x)?121 D． 100(1?x)?121

5

2.（2014湖南岳阳）某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）B

A：200(1+a%)2=148 B：200(1－a%)2=148 C：200(1－2a%)=148 D：200(1－a2%)=148

3.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ___________．

4.（2014·云南昆明，第6题3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）

A. 144(1?x)2?100 B. 100(1?x)2?144 C. 144(1?x)2?100 D. 100(1?x)2?144

5.（2014年江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元．

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x

6.(2012汕头)据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

6

面积问题

1.（2012兰州）兰州某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为

2.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？

2．（2014?新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

3. （2010湖北襄樊）如图3，是上海世博园内的一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图内阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么花园各角处的正方形观光休息亭的周长为多少米？

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*利润问题

1．（2014年山东泰安，第13题3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）

A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15

B．（x+3）（4+0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

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