2017-2018学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷

2017-2018学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，共40分）

1．（5分）设全集U=R，M={0，1，2，3}，N={﹣1，0，1}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{1} B．{﹣1} C．{0} D．{0，1}

2．（5分）与函数 y=x有相同的图象的函数是（ ） A．

B．

C．

D．

3．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x，则f（x）在[﹣3，﹣1]上是（ ）

A．增函数，最小值为﹣1 B．增函数，最大值为﹣1 C．减函数，最小值为﹣1 D．减函数，最大值为﹣1 4．（5分）已知函数f（x）=A．4

B．2

C．1

D．0

，则f（3）的值等于（ ）

5．（5分）若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，则函数g（x）=bx2﹣ax的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

6．（5分）已知函数，则其单调增区间是（ ）

C．[﹣1，+∞）

D．[﹣2，+∞）

A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1]

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7．（5分）已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1的零点

个数为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，f（）=f（x）且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（A． B．

二、填空题（共6小题，共30分） 9．（5分）计算：

= ．

C．

D．

）等于（ ）

10．（5分）已知集合A={x|2x+1＞0}，B={x|3x+2≤0}，则A∩B= ． 11．（5分）已知函数y=f（x）的定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是 ．

12．（5分）函数f（x）=围是 ．

13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x，则f（919）= ．

14．（5分）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系

且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．

的值域为[0，+∞），则实数a的取值范

已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论： ①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；

②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．

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其中，所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共5小题，共50分）

15．（7分）已知集合A={x|x2﹣px+15=0}，B={x|x2﹣ax﹣b=0}，且A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，求实数p，a，b的值及集合A，B． 16．（10分）已知数．

（1）若f（2）=3，求a，b的值；

（2）若﹣1是函数f（x）的一个零点，求函数f（x）在区间[2，4]的值域． 17．（10分）已知二次函数f（x）满足f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），其图象过点（0，1），且与x轴有唯一交点． （1）求f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=f（x）﹣（2+a）x，求g（x）在[1，2]上的最小值h（a）． 18．（12分）函数f（x）=

是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且

．

是定义在（﹣∞，b﹣3]∪[b﹣1，+∞）上的奇函

（1）确定函数f（x）的解析式；

（2）判断并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性；

（3）若f（1﹣3m）+f（1+m）≥0，求实数m的所有可能的取值．

19．（11分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记f（x）=g（|x|）． （1）求实数a，b的值；

（2）若不等式f（2k）＞1成立，求实数k的取值范围；

（3）定义在[p，q]上的函数φ（x），设p=x0＜x1＜…＜xi﹣1＜xi＜…＜xn=q，x1，x2，…xn﹣1将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得

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和式≤M恒成立，则称函数φ（x）为在[p，q]上的有界

变差函数，试判断函数f（x）是否为[0，4]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．

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2017-2018学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，共40分）

1．（5分）设全集U=R，M={0，1，2，3}，N={﹣1，0，1}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{1} B．{﹣1} C．{0} D．{0，1}

【分析】根据图中阴影部分写出所表示的集合，集合N与集合M的补集的交集，即在集合N中找出集合M中没有的元素．

【解答】解：由图可知，阴影部分表示的是N∩CUM， ∵U=R，M={0，1，2，3}，N={﹣1，0，1}， ∴N∩CUM={﹣1}， 故选：B．

【点评】本题考查集合的表示方法，以及集合的交并补混合运算，属于基础题．

2．（5分）与函数 y=x有相同的图象的函数是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】要使得所求函数与y=x的图象相同，则应与y=x是相同的函数，即函数的定义域、值域、对应法则完全相同，即可 【解答】解：A：y=误 B：C：

与y=x的对应法则不一样，故B错误 =x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误

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的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错

D：故选：D．

，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确

【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题

3．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x，则f（x）在[﹣3，﹣1]上是（ ）

A．增函数，最小值为﹣1 B．增函数，最大值为﹣1 C．减函数，最小值为﹣1 D．减函数，最大值为﹣1

【分析】当x＜0时，f（x）=x2+2x，从而在[﹣3，﹣1]上f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，由此能求出结果．

【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x， ∴当x＜0时，f（x）=x2+2x，

∴在[﹣3，﹣1]上f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，

∴f（x）在[﹣3，﹣1]上是减函数，最大值为f（﹣3）=（﹣3+1）2﹣1=3， 最小值为f（﹣1）=（﹣1+1）2﹣1=﹣1． 故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性、单调性、二次函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

4．（5分）已知函数f（x）=A．4

B．2

C．1

D．0

，则f（3）的值等于（ ）

【分析】利用分段函数，转化求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=﹣2）=f（﹣1）=﹣1+1=0． 故选：D．

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，则f（3）=f（3﹣2）=f（1）=f（1

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

5．（5分）若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，则函数g（x）=bx2﹣ax的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

【分析】由函数f（x）=ax+b有一个零点2，可得：2a+b=0，（a≠0），代入方程bx2﹣ax=0，可得答案．

【解答】解：∵函数f（x）=ax+b有一个零点2， ∴2a+b=0，即b=﹣2a，（a≠0），

则方程bx2﹣ax=0可化为：﹣2ax2﹣ax=0， 解得：x=﹣，或x=0，

故函数g（x）=bx2﹣ax的零点bx2﹣ax=0的根是0，﹣， 则函数g（x）=bx2﹣ax的图象可能是：C． 故选：C．

【点评】本题考查的知识点是函数的零点，难度不大，函数的图象的判断．

6．（5分）已知函数

，则其单调增区间是（ ）

C．[﹣1，+∞）

D．[﹣2，+∞）

A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1]

【分析】法一：求y′，解不等式y′＞0，即得函数y的单调增区间． 法二：利用指数函数以及二次函数的单调性求解即可． 【解答】解：法一：y′=（2x+2）

∴函数y的单调增区间为（﹣∞，﹣1]． 故选：B．

法二：令t=x2+2x，x∈（﹣∞，﹣1]函数是减函数，而y=所以由复合函数的单调性可知：函数

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ln ，解y′≥0得：x≤﹣1；

是减函数，

，则其单调增区间是（﹣∞，

﹣1]． 故选：B．

【点评】考查复合函数导数的求法，导数符号和函数单调性的关系，以及解不等式．

7．（5分）已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1的零点

个数为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

【分析】利用分段函数，列出方程，分别求解即可．

【解答】解：函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1的零点，

即f（x）=1的解，

可得x＜2时：|2x﹣1|=1，j解得x=1， 当x≥2时，

，解得x=4，

则函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数为：2． 故选：A．

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．

8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，f（）=f（x）且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（A． B．

C．

D．

）等于（ ）

【分析】可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，求得f（1）=1，又f（）=f（x），f（x）?f（）=；反复利用f（）=f（x）?f（=

）=f（

）

①；再令x=，由f（x）+f（1﹣x）=1，可求得f（）=，同理反复利用f

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（ ）=f（x）?f（

＜

＜

）=f（）=

②；又0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f

）的值．

（x2），而

从而可求得f（

【解答】解：∵f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，令x=1得：f（1）=1， 又f（）=f（x），

∴当x=1时，f（）=f（1）=； 令x=，由f（）=f（x）得： f（

）=f（）=；

）=f（

）=）=

）=； ； ①

同理可求：f（f（f（

）=）=f（）=f（

再令x=，由f（x）+f（1﹣x）=1，可求得f（）=， ∴f（）+f（1﹣）=1，解得f（）=， 令x=，同理反复利用f（）=f（x）， 可得f（f（… f（

）=f（

）=

② ）=f（

）=

，

＜

＜

＜1

）=）=f（）=；

）=；

）=f（

由①②可得：，有f（

∵0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而0＜所以有f（ f（故f（故选：C．

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）≥f（）≤f（）=

．

）=）=

， ；

【点评】本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，两次赋值后都反复应用f（

）=f（x），分别得到关系式①②，从而使问

题解决，实际上是两边夹定理的应用，属于难题．

二、填空题（共6小题，共30分） 9．（5分）计算：

【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：原式==﹣1+8+0.1 =9.6．

故答案为：9.6．

【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10．（5分）已知集合A={x|2x+1＞0}，B={x|3x+2≤0}，则A∩B= ? ． 【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}， B={x|3x+2≤0}={x|x≤﹣}， ∴A∩B=?． 故答案为：?．

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

11．（5分）已知函数y=f（x）的定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是 [﹣，2] ．

【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．

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= 9.6 ．

﹣1+24×0.75+0.1

【解答】解：∵函数y=f（x）定义域是[﹣2，3]， ∴由﹣2≤2x﹣1≤3， 解得﹣≤x≤2．

即函数的定义域为[﹣，2]． 故答案为：[﹣，2]．

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系解不等式是解决本题的关键，是基础题．

12．（5分）函数f（x）=围是 a≥1或a≤0 ．

【分析】根据根式成立的条件，转化为二次函数对应判别式△≥0进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）=

的值域为[0，+∞），

的值域为[0，+∞），则实数a的取值范

∴y=x2+（2a﹣1）x+对应的判别式△=（2a﹣1）2﹣4×≥0， 即（2a﹣1）2≥1，即2a﹣1≥1或2a﹣1≤﹣1， 得a≥1或a≤0，

即实数a的取值范围是a≥1或a≤0， 故答案为：a≥1或a≤0．

【点评】本题主要考查函数值域的求解，根据条件转化二次函数的性质是解决本题的关键．

13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6x，则f（919）= 6 ．

﹣

【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．

【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x）， ∴f（x）为周期为6的周期函数，

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【解答】解：∵函数y=f（x）定义域是[﹣2，3]， ∴由﹣2≤2x﹣1≤3， 解得﹣≤x≤2．

即函数的定义域为[﹣，2]． 故答案为：[﹣，2]．

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系解不等式是解决本题的关键，是基础题．

12．（5分）函数f（x）=围是 a≥1或a≤0 ．

【分析】根据根式成立的条件，转化为二次函数对应判别式△≥0进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）=

的值域为[0，+∞），

的值域为[0，+∞），则实数a的取值范

∴y=x2+（2a﹣1）x+对应的判别式△=（2a﹣1）2﹣4×≥0， 即（2a﹣1）2≥1，即2a﹣1≥1或2a﹣1≤﹣1， 得a≥1或a≤0，

即实数a的取值范围是a≥1或a≤0， 故答案为：a≥1或a≤0．

【点评】本题主要考查函数值域的求解，根据条件转化二次函数的性质是解决本题的关键．

13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6x，则f（919）= 6 ．

﹣

【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．

【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x）， ∴f（x）为周期为6的周期函数，

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