2011年高考全国卷2理科数学试题及答案（已排版）

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3

至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

（1）复数z?1?i，z为z的共轭复数，则zz?z?1? （A）?2i （B）?i （C）i （D）2i （2）函数y?2x(x≥0)的反函数为

x2）y?4(x?R) （B）y?x2（A4(x≥0)

（C）y?4x2(x?R) （D）y?4x2(x≥0) （3）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 （A）a＞b?1 （B）a＞b?1 （C）a2＞b2 （D）a3＞b3

（4）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，SA?2?Sn?24，则k? （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 （5）设函数f(x)?cos?x(?＞0)，将y?f(x)的图像向右平移?3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则?的最小值等于

（A）13 （B）3 （C）6 （D）9

(6)已知直二面角α? ι?β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂[足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63 (D) 1 (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种[来源:学科网]

(8)曲线y=e?2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

(A)1123 (B)2 (C)3 (D)1

(9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1?x)，则f(?52)=

(A) -11112 (B)? 4 (C)4 (D)2

(10)已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，直线y?2x?4与C交于A，B两点．则cos?AFB= (A)

45 (B)35 (C)?345 (D)?5

(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4?，则圆N的面积为

(A)7? (B)9? (C)11? (D)13? (12)设向量a，b，c满足a=b =1，a?b=?12，a?c,b?c=600，则c的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1 第Ⅱ卷（第Ⅱ卷共l0小题，共90分。）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．

) (13)(1-x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: 。

1

(14)已知a∈(?2，?)，sinα=55，则tan2α=

x2y2(15)已知F1、F2分别为双曲线C: 9- 27=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，

0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .

(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=2b，求C.

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

（19）如图，四棱锥S?ABCD中，p?(910)19?1e2AB?CD,BC?CD，侧面SAB为等

边三角形，AB?BC?2,CD?SD?1.

（Ⅰ）证明：SD?SAB;[来源:学_科_网Z_X_X_K] （Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.

（20）设数列?a1n?满足a1?0且1?a?1a?1.

n?11?n（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设b1?an?1nn?n,记Sn??bk,证明：Sn?1.

k?1

2

y22?1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率（21）已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?2（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．（Ⅰ）设函数f(x)?ln(1?x)?2x，证明：当x＞0时，f(x)＞0； x?2????????????为-2的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0. (Ⅰ)证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

[来源:学科网]

3

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续

91抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p?()19?2

10e

(18)【解析】记A表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种； D表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)P(A)?0.5, P(B)?0.3, C?A?B ……………………………3分

P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.8 ……………………………6分

(Ⅱ)D?C,P(D)?1?P(C)?1?0.8?0.2

X:B(100,0.2),即X服从二项分布, ……………………………10分

所以期望 EX?100?0.2?20. ……………………………12分

(19)【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合. 解法一：(Ⅰ)取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE?CB?2，连结SE，则

SE?AB，SE?3. 又SD?1,故ED2?SE2?SD2,所以?DSE为直

角. ………………3分

由AB?DE,AB?SE,DEISE?E,得AB?平面

SDE,所以AB?SD.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直.

所以SD?平面SAB. ………………6分

另解:由已知易求得SD?1,AD?5,SA?2,于是SA2?SD2?AD2.可知SD?SA,同理可得

SD?SB,又SAISB?S.所以SD?平面SAB. ………………6分 (Ⅱ)由AB?平面SDE知，平面ABCD?平面SDE.

作SF?DE,垂足为F,则SF?平面ABCD,SF?SD?SEDE?32. 作FG?BC,垂足为G,则FG?DC?1.连结SG.则SG?BC.

又BC?FG,SGIFG?G,故BC?平面SFG,平面SBC?平面SFG.……9分 作FH?SG,H为垂足,则FH?平面SBC.

FH?SF?FG321SG?7,即F到平面SBC的距离为7. 4

由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距离d也为217. 设AB与平面SBC所成的角为?,则sin??d21EB?7,??arcsin217.……12分 解法二：以C为原点,射线CD为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz. 设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0). 又设S(x,y,z),则x?0,y?0,z?0.

(Ⅰ)uASur?(x?2,y?2,z),uBSur?(x,y?2,z),uDSuur?(x?1,y,z), 由|uASur|?|uBSur|得

(x?2)2?(y?2)2?z2?x2?(y?2)2?z2, 故x?1.

由|uDSuur|?1得y2?z2?1,

又由|uBSur|?2得x2?(y?2)2?z2?4,

即y2?z2?4y?1?0,故y?12,z?32. ………………3分 于是S(1,132,2),uuASr?(?1,?33uur33uuur132,2),BS?(1,?2,2),DS?(0,2,2), uDSuur?uASur?0,uDSuur?uBSur?0.

故DS?AS,DS?BS,又ASIBS?S,

所以SD?平面SAB. ………………6分

(Ⅱ)设平面SBC的法向量ra?(m,n,p),

则ra?uBSur,ra?CBuur,ra?uBSur?0,ra?CBuur?0.

又uuBSr?(1,?33uur2,2),CB?(0,2,0),

?故??m?3n?3p?0, ………………9分 ?22?2n?0取p?2得ra?(?3,0,2),又uABuur?(?2,0,0),

cos?uuABuruuurr,ra??|uuABABur?a|?|ra|?217.

故AB与平面SBC所成的角为arcsin217. ………………12分 (20)【解析】(Ⅰ)由题设

11?a?1?1,

n?11?an即｛11?a｝是公差为1的等差数列. n又

11?a=1,故1=n.11?a

n所以a?1?1nn ……………………………5分# (Ⅱ) 由(Ⅰ)得b1?an?1n?n

?n?1?nn?1gn ?1n?1n?1, nnSn??bk??(11k?1k?1k?k?1)?1?1n?1?1…………………………12分 5

(21)【解析】(I)F(0,1),l的方程为y??2x?1,代入x2?y22?1并化简得 4x2?22x?1?0. …………………………2分

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),则x61?2?4,x2?62?4, x21?x2?2,y1?y2??2(x1?x2)?2?1, 由题意得x??(x2231?x2)??2,y3??(y1?y2)??1,所以点P的坐标为(?2,?1).

经验证点P的坐标(?2y222,?1)满足方程x?2?1,故点P在椭圆C上 …6分 (II)由P(?22,?1)和题设知，Q(22,1)，PQ的垂直平分线l1的方程为

y??22x. ①

设AB的中点为M,则M(24,12),AB的垂直平分线l2的方程为 y?212x?4. ②

由①、②得l1、l2的交点为N(?28,18). …………………………9分 |NP|?(?22212?8)?(?1?3118)2?8, |AB|?1?(?2)2g|x322?x1|?2,

|AM|?324, |MN|?(2221124?8)?(2?8)?338, |NA|?|AM|2?|MN|2?3118, 故 |NP|?|NA|,

又 |NP|?|NQ|, |NA|?|NB|, 所以 |NA|?|NP|?|NB|?|NQ|,

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上. ……………12分

(22)【解析】(I) f'(x)?x2(x?1)(x?2)2 …………………………2分 当x?0时, f'(x)?0,所以f(x)为增函数,又f(0)?0,因此当x?0时,

f(x)?0. …………………………5分

(II) p?100?99?98?L?8110020. 又99?81?902,98?82?902,L91?89?902, 所以p?(91910). 由(I)知: 当x?0时,ln(1?x)?2x x?2 因此 (1?2x)ln(1?x)?2.

在上式中,令x?1109,则 19ln9?2,即(109)19?e2. 所以p?(919110)?e2 …………………………12分

6

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