(微观计量经济学教案)受限数据模型

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§10.1 受限被解释变量数据模型 ——选择性样本 选择性样本Model with Limited Dependent Variable ——Selective Samples Model 一、经济生活中的受限被解释变量问题 截断” 二、“截断”问题的计量经济学模型 归并” 三、“归并”问题的计量经济学模型

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一、经济生活中的受限被解释变量问题

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截断” truncation) 1、“截断”(truncation)问题 由于条件限制，样本不能随机抽取，即不能从全 由于条件限制，样本不能随机抽取， 部个体， 部个体，而只能从一部分个体中随机抽取被解释 变量的样本观测值， 变量的样本观测值，而这部分个体的观测值都大 于或者小于某个确定值。 掐头”或者“去尾” 于或者小于某个确定值。 “掐头”或者“去尾”。 消费函数例题：被解释变量最底200元、最高 消费函数例题：被解释变量最底 元 10000元。原因：抽样。 元 原因：抽样。 离散选择模型的例题：银行贷款，实际上是选择 离散选择模型的例题：银行贷款， 性样本，通常表现为“截断样本” 原因： 性样本，通常表现为“截断样本”。原因：问题 的局限。 的局限。类似的实际 问题很多

能够获得贷款的企业是全部有贷款需 求的企业中表现良好的一部分

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归并” (censoring)问题 2、“归并” (censoring)问题 将被解释变量的处于某一范围的样本观测值都用 一个相同的值代替。 一个相同的值代替。 经常出现在“检查”、“调查”活动中，因此也 经常出现在“检查” 调查”活动中， 问题。 称为“检查” 称为“检查”(censoring) 问题。 需求函数模型中用实际消费量作为需求量的观测 如果存在供给限制，就出现“归并”问题。 值，如果存在供给限制，就出现“归并”问题。 被解释变量观测值存在最高和最低的限制。例如 被解释变量观测值存在最高和最低的限制。 考试成绩，最高100,最低0,出现“归并”问题。 考试成绩，最高 ，最低 ，出现“归并”问题。

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二、“截断”问题的计量经济学模型 截断”

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1、思路 如果一个单方程计量经济学模型，只能从“掐头” 如果一个单方程计量经济学模型，只能从“掐头” 或者“去尾” 或者“去尾”的连续区间随机抽取被解释变量的 样本观测值，那么很显然， 样本观测值，那么很显然，抽取每一个样本观测 值的概率以及抽取一组样本观测值的联合概率， 值的概率以及抽取一组样本观测值的联合概率， 与被解释变量的样本观测值不受限制的情况是不 同的。 同的。 如果能够知道在这种情况下抽取一组样本观测值 的联合概率函数， 的联合概率函数，那么就可以通过该函数极大化 求得模型的参数

估计量。 求得模型的参数估计量。

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2、截断分布f (ξ ) f (ξ ξ > a ) = P (ξ > a )α为随机变量ξ分布范围内的 一个常数

1 (b a ) f (ξ ) 1 f (ξ ξ > c ) = = b = P (ξ > c ) b c 1 dξ b a

∫c

如果ξ服从均匀分布U(a, b),但是它只能在(c, b)内取得样本观测值，那么取得每一个样本 观测值的概率

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f (ξ ) f (ξ ξ > a ) = P (ξ > a ) = ( 2π σ )2

e 1 Φ (α )

1 2

(ξ µ ) 2 / ( 2σ 2 )

ξ服从正态 分布

ξ µ φ( ) σ = σ 1 Φ (α )1

P (ξ > a ) = 1 Φ (

a µ

σ

) = 1 Φ ( )

Φ是标准 正态分 布条件 概率函 数

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3、截断被解释变量数据模型的最大似然估计

yi = Β ′ X i + ε i

εi ~ N (0, σ 2 )2

yi X i ~ N (Β ′ X i , σ )1 f ( yi ) =

1 Φ (( a Β ′ X i ) / σ )

σ

φ (( y i Β ′ X i ) / σ )

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n 1 2 ln L = (ln(2π ) + ln σ ) 2 2 2σ

∑(yi =1

n

i

Β′ X i )

2

a Β′ X i ln 1 Φ σ i =1

∑

n

yi Β′X i λ i Xi n 2 ln L σ σ = = ( yi Β′X i ) 2 αi λ i Β i =1 1 2 + 2 4 2 2σ σ 2σ 2σ

∑

∑gi =1

n

i

=0

αi = (a Β ′ X i ) σ

λ i = φ (α i ) (1 Φ (α i ))

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求解该 阶极值条件，即可以得到模型的参数估计 求解该1阶极值条件， 阶极值条件 量。 由于这是一个复杂的非线性问题，需要采用迭代 由于这是一个复杂的非线性问题， 方法求解，例如牛顿法。 方法求解，例如牛顿法。

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例题—城镇居民消费模型 4、例题 城镇居民消费模型 --截断样本数据 --截断样本数据cons11123.84 7867.530 5439.770 5105.380 5419.140 6077.920 5492.100 5015.190 11040.34 6708.580 9712.890

incom13882.62 10312.91 7239.06 7005.03 7012.9 7240.58 7005.17 6678.9 14867.49 9262.46 13179.53

cons5064.340 7356.260 4914.550 6069.350 4941.600 5963.250 6082.620 9636.270 5763.500 5502.430 7118.060

incom6778.03 9999.54 6901.42 8399.91 6926.12 7321.98 7674.2 12380.43 7785.04 7259.25 8093.67

cons5759.210 4948.980 6023.560 8045.340 5666.540 5298.910 5400.240 5330.340 5540.610

incom7041.87 6569.23 7643.57 8765.45 6806.35 6657.24 6745.32 6530.48 7173.54

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将这组样本看成是在≥4500的条件下随机抽取得到 的条件下随机抽取得到 将这组样本看成是在

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将这组样本看成是在≥4000的条件下随机抽取得到 的条件下随机抽取得到 将这组样本看成是在

参数由 0. 750072变 化为

似然函数值为 什么变小？

似然函数值由- 228.6718减小为

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将这组样本看成是在≤11500、≥4500条件下随机抽取得到 、 将这组样本看成是在 条件下随机抽取得到

参数由 0. 750072变化为

似然函数值为 什么增大？

似然函数值由- 228.6718增大为

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将这组样本看成是在≥

0条件下随机抽取得到 将这组样本看成是在 条件下随机抽取得到似然函数值 最小 结果与OLS相同 相同 结果与 似然函数值减小

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5、为什么截断被解释变量数据模型不能采用 普通最小二乘估计 对于截断被解释变量数据计量经济学模型，如果 对于截断被解释变量数据计量经济学模型， 仍然把它看作为经典的线性模型，采用OLS估计， 估计， 仍然把它看作为经典的线性模型，采用 估计 会产生什么样的结果？ 会产生什么样的结果？ 因为yi只能在大于 的范围内取得观测值，那么 i 的范围内取得观测值， 因为 只能在大于a的范围内取得观测值 那么y 的条件均值为： 的条件均值为：E ( yi yi > a ) =

∫ y φ( yi a

∞

i

y i > a )dy i

φ ((a Β ′ X i ) / σ ) = Β′X i + σ 1 Φ((a Β ′ X i ) / σ )

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E ( y i y i > a ) = Β ′ X i + σλ (α i )

α Β ′X i αi = σ

E ( yi yi > a) dλ i α i = Β+σ Xi dα i X i= Β + σ (λ = Β (1 λ2 i 2 i

Β α i λ i ) σ

+ αiλ i)

= Β (1 δ (α i ))

yi yi > a =E( yi yi > a) + ui = Β′X i + σλ (αi ) + uiVar (ui ) = σ 2 (1 λ i2 + λ i αi ) = σ 2 (1 δi )

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