行列式的计算

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行列式的计算方法

摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径．关键词：行列式计算方法

行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则

对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法

根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．

例1 计算行列式

0001002003004000

这是一个四级行列式，在展开式中应该有4!?24项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是

a1j1a2j2a3j3a4j4．

显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的那些项；同理，只需考虑j2?3，j3?2，j4?1这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有a14a23a32a41)?6，这一项前面的符号应该是正的．这一项，而?(4321所以

0001原式=

0020?1?2?3?4?24

03004000 3.化为三角形计算法

例2 计算行列式

1?9?253?12 解：

13?1573?58?9?7?10 1371?91371?232?9135?18?157130?1325170?132517 ???5026?34?2600168026?39?24001710?7?101?91371?9130?1325170?1325??00?1?200?1

717??312?2?24

001710000 这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．

3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数

适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形例3 计算行列式

1?x1y11?x1y2?1?x1yn1?x2y11?x2y2?1?x2yn d????1?xny11?xny2?1?xnyn解：当n?3时，各列减去第一列得：

1?x1y11?x2y1 d??1?xny1之所以等于零，是因为有两列成比例．另外，当n?2时，

x1(y2?y1)?x1(yn?y1)x2(y2?y1)?x2(yn?y1)?0

??xn(y2?y1)?xn(yn?y1)1?x1y11?x1y21?x2y11?x2y2?(x2?x1)(y2?y1)

这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．

3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.

例4 计算行列式

abb?bab? ?????bbb?bb ?a解：把所有各列都加到第一列上去，得：

a?(n?1)bbb?b1bb?b??a?(n?1)bab?b?????[a?(n?1)b]1ab?b????a?(n?1)bbb?a1bb?a1bb?b

?[a?(n?1)b]0a?b0?0?????[a?(n?1)b](a?b)n?1000?a?b3.3 逐行(或列)相加减

有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多. 例5 计算行列式

1?3200?000001?320?0000?????????Dn?2?00000?1?320 00000?01?3210000?011001000?0011解：从第一列开始，每列乘以2加到后一列，

得：

1?100?000001?10?0000001?1?0000D?????????n?20000?1?100

0000?01?10122223?2n?22n?1?12n?32n?1?601222?2n?32n?22n?1?12n?3再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得：

1?1001?10??0010按最后一列展开，得

00??000?100000??1112n?2000?0?11000?000Dn?20?00011?0002?1??0?00??

22?2n?32n?1?12n?31000?00000100?00000010?0000 Dn?2?(2?3)?n?000011?001???0?010?001?11?012??3(2n?3) 003 3.4 行(列)归一法

先把某一行(列)全部化为1，再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式，从而求出行列式的值．例6 计算n阶行列式

xa?aax?a D????aa?x 解：它的特点是各列元素之和为(n?1)a?x，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出

(n?1)a?x，得

11?1aD?[(n?1)a?x]?x?a

??aa?x将第一行乘?a分别加到其余各行，化为三角形行列式，则

1D?[(n?1)a?x]1?10??[(n?1)a?x](x?a)n?1

0x?a???00?x?a 4.特殊行列式形如：

4.1 爪型行列式

a0c1c2?cnb1a1b2?bna2?an,bn?b2a2?anb1a1a0c1cn?a2a1b1an?,an?a2a1cn?c2c1bn?b2b1a0c2,c2?c1cna0b2?bn的行列式，称为爪型行列式．这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”或“竖线”，化为三角形行列式再计算．例7 计算行列式

a0c1D?c2?cnb1a1b2?bna2?an(ai?0(i?1,2,?n))

解当ai?0(i?1,2,?,n)时，将第i+1列乘以?(列式：

ibia0??caici)(i?1,2,?n)后都加到第1列，得三角型行ainb1?bn0?0a2?0??0?anibi??aj(a0??ca) iD?00?0i?1nnj?1i?1 例8 计算行列式

2?xD?2226结论计算其值．解

222222?y

2?x222?y22 分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例

2?x?x?x?xD ci?(?1)c1222?x000y000?y

?{(2?x)?[2? 4.2 三对角线型行列式

(?x)(?x)(?x)?2??2?]}?(?x)?y?(?y)?x2y2(?x)y(?y) 5

b1a1c1b2?形如：

a2?cn?2?b3cn?1an?1bn的n阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一

条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式，称为三对角线型行列式．这类行列式的计算可以直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推，或利用第二数学归纳法证明．例9 计算n阶行列式

a?b1Dn?aba?b1aba?b???ab1a?b(a?b)

解按第一行展开得

1Dn?(a?b)Dn?1?ab(?1)1?2aba?b1aba?b???1aba?b?(a?b)Dn?1?abDn?2

变形Dn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2),由于

D1?a?b,D2?(a?b)2?ab?a2?ab?b2，

从而利用上述递推公式得

nDn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2)?b2(Dn?2?aDn?3)???bn?2(D2?aD1)?b

故有

Dn?aDn?1?bn?a(aDn?2?bn?1)?bn?a2Dn?2?abn?1?bn???a 例10 证明

n?1D1?an?22b???abn?1?b?a?ab??abnnn?1n?1?bn

cosa1Dn?12cosa112cosa?1??12cosa112cosa?cosna

解按第n行展开得

cosa1Dn?2cosaDn?1?(?1)n?(n?1)12cosa???112cosa011?2cosaDn?1?Dn?2

采用第二数学归纳法证明

n?1时，D1?cosa，结论成立．设n?k时，结论成立．则当n?k?1时，有

Dk?1?2cosaDk?Dk?1?2cosacoska?cos(k?1)a?cos(k?1)a,

故有归纳假设知Dn?cosna 4.3 Hessenberg型行列式形如：

a0b1c1a1b2c2?cna2??bnan,anbn??a2b2a1c1,b1a0cn?c2c1a1a0b1,b1a0b2a1c1bnan??a2c2?cna2b2??anbncn?c2的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外, 其余元素全为零的三线型行列式，称为Hessenberg型行列式．这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶．例11 计算n阶行列式

xDn?an 解按第一列展开得

?1x?1??x

?1x?a1an?1?a2?1Dn?xDn?1?an(?1)n?1x?1??x于是

?xDn?1?an(?1)n?1(?1)n?1?xDn?1?an ?1Dn?xDn?1?an?(xDn?2?an?1)?an?x2Dn?2?an?1x?an???xD1?a2xn?1n?2??an?1x?an?xn?a1xn?1???an?1x?an

例12 计算n阶行列式

123?n?1nDn?1?12?2??n?2?(n?2)n?1?(n?1)

解将第1,2,?,n?1列加到第n列，得

1223?2??n?1n(n?1)21?1?n?2?(n?2)n?10?n(n?1)(?1)1?n21?12???(n?2)n?1

4.4 两线形行列式

?(?1)1?n(n?1)!2

例13 计算行列式

a10Dn??0bn 解：按第1列展开得

b1a2?000?b2??0000?

?bn?1?ana2?Dn?a100b2?0???bn(?1)n?10?bn?10?ana10?0bna10?0b2b1a2?000?00?b1a2?00?0b2?0?a1a2?an?(?1)n?1b1b2?bn

??0?bn?100?anb10?,0ana1b1,?0000?an0?00?00??an?1?bn?100?0??b1?a2?00bn0?,0ana10?0bn

结论对于形如：

0?b2??0??00??an?10a2?0?bn?1a2?bn?1an?1?8

等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶． 4.5 利用范德蒙行列式计算

范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再利用公式计算出结果．

例14 设f(x)?c0?c1x???cnxn.用线性方程组的理论证明，若是f(x)有n?1个不同的根，那么f(x)为零多项式.

证明：设a1,a2,?an?1为f(x)的根，且ai?aj(i?j). 则将根代入多项式得到如下线性方程组：

?c0?c1a1?c2a12???cna1n?0?2n?c0?c1a2?c2a2???cna2?0 ???c?ca?ca2???can?0nn?1?01n?12n?1以c0,c1,c2,?,cn为未知量，则线性方程组的系数矩阵为：

1a1a12?a1n2n1a2a2?a2??(ai?aj)?0

????1?j?i?n?12n1an?1an?a?1n?1因为齐次线性方程组的系数矩阵不为0，故系数矩阵只有零解，即：

c0?c1???cn?0

所以f(x)为零多项式. 5.降阶法

5.1 一般降阶法

根据行列式理论中的拉普拉斯定理, 行列式的计算可转化为k 阶子式及其相应的代数余子式的乘积之和.但此方法计算量偏大, 仅适用于行列式中元素为0 较多的情形. 同时, 涉及一些比较复杂的、元素含文字或未知量的行列式, 仅用此方法是不够的. 例15 计算四阶行列式

301?4零，即

2?2?7?1?30516032

解：观察行列式，可以选择第二行展开，但是第二行有两个非零元素，先用性质将?3也化为

301?42?2?7?1?30?563102301?42?8?7?100?(?1)?(?1)2?25?931?323?8?732

1?9?4?3019?1619?16 ?1?93??(?1)2?1??358

?39140?3914 5.2 利用公式降阶

公式1设A，B都是n阶方阵，则有

证明：由于

AB?A?B?A?B

BA?En??E?n两边去行列式，得

0??AB??En?????EEn?BA??n??0EnAB??EnBAEn0??A?B??En???00A?B?En0B? ?A?B?En?EnB

A?BAB?A?B?A?B

BA 例16 计算行列式

0abaa0abba0aaba0 解利用公式1

0abaa0abb2a?b0???(b2?4a2)b2

ba0a2ab0?baba0公式2设A，B，C均为n阶方阵，则

AB2?(?1)n?C?BC0

证明：把拉普拉斯定理用于上式的后r行，在它的所有n阶子式中，除C外，其余至少包含一列零向量，从而值为零．而C的余子式为B，且C位于整个矩阵的第n?1,n?2,?,n?n行，

第1,2,?,n列，因此

AB?C?(?1)s?B

C0其中

s?(n?1)?(n?2)??(n?n)?(1?2???n)?n2?2(1?2???n)?n2?偶数

即有

AB2?(?1)n?C?B

C0例17 计算行列式

a11a21a31b00a12a22a32ab0a13a23a330aba0b0a000a000000000

解直接利用行列式的性质或行列式展开进行计算是相当繁杂的，而由公式2

ba0原式=(?1)3?02a0bba?0a0??b3?a3 00b00a 5.3 利用拉普拉斯定理

定理1：设在行列式D中任意取定了k(1?k?n?1)个行．由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D．

证明：设D中取定k行后得到的子式为M1,M2,?,Mt,它们的代数余子式分别为A1,A2,?,At,定理要求证明

D?M1A1?M2A2???MtAt

根据行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中每一项都是行列式D展开式中的一项，而且符号也一致，所以MiAi中每一项都是D中一项而且符号相同，而且MiAi和MjAj(i?j)无公共项．因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就可以了．显然等式左边共有n!项，为了计算右边的项数，首先来求出t．根据子式的取法知道

t?Ckn?n!．

k!(n?k)!因为Mi中共有k!项，Ai中共有(n?k)!项．所以右边共有

t?k!?(n?k)!?n!

项．定理得证．

例18求行列式

D?12140?12110011331

解：在行列式D中取定第一、二行．得到六个子式：

M1?1201

14M4?,M5?,M6?.?12?1121它们对应的代数余子式为

0?121,M2?110224,M3?14,??M1?,A1?(?1)(1?2)?(1?2)M1??M3?,A3?(?1)(1?2)?(1?4)M3???M5?,A5?(?1)(1?2)?(2?4)M5根据拉普拉斯定理

???M2?,A2?(?1)(1?2)?(1?3)M2??M4?, A4?(?1)(1?2)?(2?3)M4??M6?.A6?(?1)(1?2)?(3?4)M6D?M1A1?M2A2???M6A6?120211011324111410?????? ?1201?11032101?(?1)?(?8)?2?(?3)?1?(?1)?5?1?6?3?(?7)?1?8?6?1?5?18?7??7. 从例子来看，用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的．这个定理主要是理论方面的应用． 6.析因子法

如果行列式有一些元素是变量x的多项式，那么可以将此行列式看作一个多项式f(x)，然后利用多项式理论，求出f(x)的互素的一次因式，进而求出行列式值的方法，称为“析因子法”．例19 计算行列式：

0?121?133113?11?03?14?011112?x2223322331519?x2

解：可以把原式看成关于变量x的4次多项式f(x)．由

1123f(?1)?112311231?223?0 及f(?2)??0

231523152318231512

知，f(x)有因式x?1、x?2，且f(x)关于x的最高次数为4，故

f(x)?k(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)

又由原式知，f(x)中含x 的项为(2?x2)?(9?x2)及?4(2?x2)?(9?x2)，故x 的系数为?3．因此，k??3，从而原式??3(x2?1)?(x2?4)．例20 计算行列式：

44111?12x?a2?233?3???nnn?

x?a??x?a 解：可以把原式看成关于变量x 的n?1 次多项式f(x)，由于

f(2?a)?f(3?a)???f(n?a)?0

故f(x)有因式x?(2?a)、x?(3?a)、?、x?(n?a)，且f(x)关于x的最高次数为n?1，从而，

f(x)?k(x?a?2)(x?a?3)?(x?a?n)，由原式知，原行列式关于x的最高次项的系数为1，故k?1．因此，原式?(x?a?2)(x?a?3)?(x?a?n)．

7.加边法

加边法是把原行列式添加一行一列, 且其值不变, 所得的新行列式反而容易求出其值．该方法主适用于除主对角线上元素外, 各行(列)对应的元素分别相同的题型．添加行与列的方式一般有五种: (1)首行首列(2)首行末列(3)末行首列(4)末行末列以及(5)一般行列的位置． (1) 添加在末行末列例21 计算行列式

1?a11?11?a2?Dn??11 解:

1111?11?an000011

?11???1?an?1?a1010?a2?1?a11?11?a2?Dn??110?110111111????????????1?an?11100?an?101?11?an100?0an1?001?1?1??1?11

10?01??00?10?1an?1001110?00?10?1an?100?01?1an00?001?

?aii?1n???00?0?1a1???011?1an?ai?1n01????i0?1a2??1100?1a100?1a2????i?1n1ai13

??a(1??a)

ii?1i?1inn1（2）添加在一般位置例 22计算行列式

1x1Dn?x12?x1n?2x1n 解：通过添加行列得：

1x22x2????1xn2xn?n?2n?2x2?xnnx2?nxn

1x1x12Dn?1??x1n?2x1n?1x1n易见Dn?1是范德蒙行列式，则

1x22x2?n?2x2?1?xn2?xn??n?2?xn1yy2

yn?2yn?1ynn?1n?1x2?xnnnx2?xnDn?1??(y?xi)i?1n1?j?k?n?(xk?xj)

2n?1而行列式Dn的值为Dn?1按最后一列展开式y 8.拆分法

n?1项的系数乘以(?1).

本法主要依行列式的性质, 将给定的行列式表为几个行列式的和, 使新得的行列式便于计算．如果一个行列式的每一列的所有元素都可以写成这样的两项之和，使得其中某列的每个元素的第1项（或第2项）与另一列对应元素的某一项相同或成比例，则一般可考虑用“拆分法”．例23 计算当n?3时

a1?b1c1a2?b1c2?an?b1cna?bca2?b2c2?an?b2cn D?121???a1?bnc1a2?bnc1?an?bncn解按第一列之和分解为

1a2?b1c2D?a11a2?b2c2??1a2?bnc2?an?b1cn?an?b2cn?c1??an?bncnb1b2?bna2?b1c2?an?b1cna2?b2c2?an?b2cn??a2?bnc2?an?bncn

1b1c2?b1cnb1a2?ana2?an

?0??a2?an1b2c2?b2cnb2?a1?c1????1bnc2?bncn的和, 使问题简化以利于计算. 例24 计算行列式

bn把某1行( 或列) 的元素写成两数和的形式, 再利用行列式性质将原行列式写成2个行列式

0aa?ab0a?aDn?bb0?a????bbb?0 解：

n?n

0aa?a?0b0a?a?0Dn?bb0?a?0?

0aa?ab0a?a?bb0?a?n?n0aa?0b0a?0?bb0?0?n?n?????????n?nbbb?a?a0aa?1b0a?1?a?bb0?1????bbb?abbb?a0aa?0b0a?0?bb0?0????

bbb?1n?nbbb?an?n对上面的第一个行列，将第n列乘(?b)加到其余各列上，对第二个行列式按第n列展开，最后可得

?ba?ba?b0?ba?bDn?a00?b???000?1?1?1??10b?0?bn?nn?1a0b?baa0?b?a?a?a??0?a(?b)n?1?aDn?1

(n?1)?(n?1)这样，我们获得一个递推公式：Dn?a(?b)如果将Dn按下面方式拆项，又可得到

?aDn?1

baa?a00a?a?0b0?a????0bb?0

b?baa?aDn?bb?b0a?ab0?a???bb?0baa?ab0a?a?bb0?a????bbb?0n?nn?nn?n 15

类似于前面的方法可得另一个递推公式：Dn?b(?a)n?1?bDn?1

n?1??Dn?a(?b)?aDn?1联立上述两个递推关系式? n?1??Dn?b(?a)?bDn?1当a?b时，解得

Dn?(?1)当a?b时，解得

n?1ab(an?2?an?3b???abn?3?bn?2)?(?1)n?1an?1?bn?1 aba?bDn?(?1)n?1a2(an?2?an?2??an?2?an?2)?(?1)n?1an

9.递推与归纳

这种方法是根据行列式性质, 把一个n阶行列式表示为一个或若干个具有相同形状但阶数较低的行列式的关系式, 再利用关系式推出这个n阶行列式的值. 一般情况下, 主要方法有:

递推法1) 递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式, 再用递推关系及某些低阶( 2阶, 1阶)行列式的值求出D的值.该方法适用于行(列)中0较多的或主对角线上、下方元素相同的题型．

归纳法2) 当行列式已告诉其值, 且值与自然数有关时, 一般用数学归纳法证明结果的正确性. 如果未告诉结果, 也可由递推关系式和前面几个低阶行列式的值, 通过观察猜想原行列式的值. 然后用数学归纳法证明猜想的正确性.

1）利用已给的行列式的特点，建立起n 阶行列式与n?1阶行列式（或更低阶）行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值．降阶递推法，常见的有两类：（1）Dn?lDn?1型，此时根据递推关系有：Dn?ln?1D1

（2） Dn?pDn?1?qDn?2(n?2,q?0)型，此时我们不妨设?，?是方程x?px?q?0的根，则由根与系数的关系，得????p,????q，将其带入Dn?pDn?1?qDn?2中，有：

2Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2)??2(Dn?2??Dn?3)????n?2(D2??D1)Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2)??(Dn?2??Dn?3)????下面分两种情况进行讨论：

2n?2(1)(2)(D2??D1)

?n?1(D2??D1)??n?1(D2??D1)Case1:???,由（1）和（2）得:Dn????

Case2:???,由（1）和（2）得:Dn??Dn?1??n?2(D2??D1)??2Dn?2?2?n?2(D2??D1)????n?1D1?(n?1)?n?2(D2??D1)

（1）利用Dn,Dn?1进行递推例25计算行列式

xa1Dn?1??a1a1a1x?a2a2a2?ana2?an?? a3?ana3?x 解:

xa1a2?an?0xa1a2?anxa1a2?0a1xa2?an?0a1xa2?ana1xa2?0Dn?1???????????????a1a2a3?an?0a1a2a3?ana1a2a3?0a1a2a3?an?(x?an)a1a2a3?ana1a2a3?x?anxa1a2?1x?a1a1?a2a2?a3?1a1xa2?10x?a2a2?a3?1?an?????(x?an)Dn?an?????(x?an)Dna1a2a3?1000?1a1a2a3?1000?1n?an?(x?ai)?(x?an)Dni?1

而 D1?x

D2?a1(x?a1)?(x?a1)x?(x?a1)(x?a1)

D3?a2(x?a1)(x?a2)?(x?a2)D2?a2(x?a1)(x?a2)?(x?a2)(x?a1)(x?a1)?(x?a1?a2)(x?a

1)(x?a2)根据递推关系式可得

Dn?(x?a1?a2???an)(x?a1)(x?a2)?(x?an)

（2）利用 Dn,Dn?1,Dn?2进行递推例26求行列式

210?00121?00D12?00n?0?????

000?21000?12

解：由于Dn?2Dn?1?Dn?2；则不妨设?，?是方程x?2x?1?0的根，则：

2????1

于是：

Dn?1n?1D1?(n?1)1n?2(D2?1D1)?(2?n)D1?(n?1)D2