5、复合函数微分法与隐函数微分法

复合函数微分法与隐函数微分法

一、复合函数微分法复习： 一元复合函数 y f (u), u ( x)

dy dy du 求导法则 dx du dx微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx要求：熟练掌握多元复合函数求导的链式法则

1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理：若函数u=u(t),v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导，且有链式法则： z

dz z du z dv dt u dt v dt(1)z只有一个自变量 (2)z有两个中间变量 (3)两个中间变量u,v都只一个自变量

u t

v t

证明略

推广： 设z=f(u,v,w) ,u=u(t),v=v(t),w=w(t) ,

则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为

z u t v t w t

全 导 数 公 式

dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt

dz z du z dv dt u dt v dt

2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理：若函数u=u(x,y),v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x 及y的偏导数，函数z=f(u,v)在点(u,v)处偏导数连 续，则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在点(x,y)处对x 及y的偏导数都存在，且有： z z z u z v f1 u1 f 2 v1 x u x v x u v

z z u z v f1 u2 f 2 v2 y u y v y x (1)因变量z有两个自变量x,y(2)在对应法则f下z有两个中间变量u,v

y

x

y

(3)两个中间变量u,v都分别有两个自变量x,y

公式记忆法： 总原则 “联线相乘，分线相加” z z u t v t u v

x

y

x

y

(1)几条路线，就是几项的和 (2)对于每一项，路线上有几步，就是几步的乘积 (3)对于每一步，从前向后有分支，说明是多元函数， 前面变量就对后面变量求偏导；没分支，说明是 一元函数，前面变量就对后面变量求导数。

3、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元 函数的情形 z=f 函数 z f ( x, v), v ( x, y) 都具有可微条件时，由公式记忆法有： x v z f v f f v z y v y x v x x x y f1 f 2 1 f 2 2 z f 注意：区别 和 x x

z (1)因变量z有两个自变量x,y,求 时y为常数 x f (2)函数z在对应法则f下有两个变量x,v,求 时v为常数 x

例1:设z=eusinv,而u=xy,v=x+y,求

z z 和 x yz u x y x v y

z z u z v x u x v x

eu sin v y eu cos v

y sin v e cos v e xy y sin( x y ) e cos( x y ) eu

z z u z v y u y v y eu sin v x eu cos v

eu x sin v cos v exy x sin( x y) cos( x y)

例2

:设z=uv+sint,u=et,v=cost,求全导数

dz dtz

dz z du z dv z dt u du v du t

vet u ( sin t ) cos t cos tet et ( sin t ) cos t et cos t sin t cos t

u t

v t

t

小结：使用复合函数求导的链式法则，要 “弄清结构，选对公式”

z z 例3:设z=f(x2y,y2),求 , x y令u=x2y,v=y2

z u v

z f u 2 xyfu 2 xyf1 x u x z f u f v 2 x fu 2 yf v y u y v y x 2 f1 2 yf 2

x

y

y

y 例4:设 z f , f (u ) 为可微函数，证明： x z z z x y 0 x y u z df u z df u , x du x y du y x y z z df u df u x y x y x y du x du y

df y df 1 x 2 y 0 du x du x练习:P220 1,2,3,4,5,6

二、隐函数的微分法 目的：掌握由方程所确定的隐函数的导数的求法 研究内容： (1)方程在一定条件下能确定什么样的函数 (2)在方程能确定隐函数时，研究求导方法

1、定理1:设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内满足 (1)具有连续的偏导数； (2) F(x0,y0)=0 (3) Fy(x0,y0)

0

(Fx(x0,y0)

0)

则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值 连续函数y=f(x),满足条件y0=f(x0),并有连续导数 (x=f(y))

Fx dy dx Fy

(隐函数求导公式)

dy ----一元函数的求导 Fx , Fy ----二元函数的偏导数 dx 故使用公式时要注意确定一元函数的自变量和因变量， 并构造二元函数。

推导：设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 z

F ( x, f ( x)) F ( x, y) 0两边对x求导

F F dy 0 x y dx在(x0,y0)的某邻域内 Fy 0

x

yx

Fx dy dx Fy

例1:验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0,0)的某邻域可 确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求

dy dx

d2y , 2 x 0 dx

x 0

F(x,y)=siny+ex-xy-1 构造以x,y为变量的二元函数 (1) Fx ex y, Fy cos y x 连续 (2) F (0,0) 0 (3) Fy (0,0) 1 0 所以，在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数 y=f(x),且

dy dx

x 0

Fx Fy

x 0

ex y cos y x

1x 0

d y dx 2

2

符号已说明y是x的函数 d ex y 运用复合函数求数 dx cos y x x 0, y 0, y 1 x 0

e x y cos y x e x y sin y y 1

cos y x

2

x 0 y 0 y 1

3法2:利用隐函数求导

cos y y e x y xy 0 y x 0 ex y 1 cos y x (0,0)

2、定理2:若函数F(x,y,z)满足： (1)在点P0(x0,y0,z0)的某邻域内有连续偏导数

(2) F(x0,y0,z0)=0(3) Fz(x0,y0,

z0)

0

则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0)的某邻域内可唯一确定一 个单值连续函数z=f(x,y),满足条件z0=f(x0,y0), 并有连续导数

Fy Fx z z , x Fz y Fz

2 z 例1:设x2+y2+z2-4z=0,求 2 x 法1:运用定理构造三元函数F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z

z 先求出 x

z Fx 2x x x Fz 2z 4 2 z

两边对x求偏导

z 2 z x 2 z 2 x 2 z x x 2 3 x x x 2 z 2 z 2 z

2 z 例1:设x2+y2+z2-4z=0,求 2 x分析：函数z的两个自变量为x,y 法2:利用隐函数求导

z z 2x 2z 4 0 x x再对x求导

z x x 2 z

z z z z 2 2 4 0 x x x x x x z 1 2 2 2 z x 2 z x 3 2 x 2 z 2 z 2

小结：隐函数求导方法Fy Fx dy Fx z z 或 , (1)运用公式 dx Fy x Fz y Fz

(2)利用复合函数求导法则直接计算

z 例2:设z=f(x+y+z , xyz),求 x分析式子构成，z是x,y的函数，x+y+z , xyz为中间变量 利用复合函数求导法则直接计算

z z z f1 1 f 2 yz xy x x x f1 yzf 2 z x 1 f1 xyf 2 练习:P212 6,7,8,9,10,11

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