《数值分析》习题4(1)

数值分析

习题四 (第1、2、4、5、6、7、11、13、14、16、17题)

1 21 23 2

1. 解：f(x) x f (x) x ，f (x) x ,f (x) x,

428

1

3

5

f(4)(x)

15

x16

72

，f(115) 10.72380529

x0 100， x1 121， x2 144， x3 169 y0 10， y1 11， y2 12 ， y3 13

L2(x) y0

(x x0)(x x2)(x x0)(x x1)(x x1)(x x2)

y1 y2

(x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1)

(115 121)(115 144)(115 100)(115 144)

11

(100 121)(100 144)(121 100)(121 144)

(115 100)(115 121) 12

(144 100)(144 121)

L2(115) 10 =10

( 6)( 29)15 ( 29)15 ( 6)

11 12

( 21)( 44)21 ( 23)44 23 1.88312 9.90683 1.06719 10.72276 f(x) L2(x)

f ( )

(x x0)(x x1)(x x2) ，100 144 3!

1

f(115) L2(115) maxf (x) (115 100) (115 121) (115 44)

6100 x 13

10 5 15 6 29

68

0.1631 10 2 0.001631 实际误差 f(115) L2(115) 0.1045 10 2

L3(x) y0

(x x1)(x x2)(x x3)(x x0)(x x2)(x x3)

y1

(x0 x1)(x0 x2)(x0 x3)(x1 x0)(x1 x2)(x1 x3)(x x0)(x x1)(x x3)(x x0)(x x1)(x x2)

y3

(x2 x0)(x2 x1)(x2 x3)(x3 x0)(x3 x1)(x3 x2)

y2

数值分析

(115 121) (115 144) (115 169)

L3(115) 10

(100 121) (100 144) (100 169) 11

(115 100) (115 144) (115 169)

(121 100) (121 144) (121 169)

(115 100) (115 121) (115 169)

12

(144 100) (144 121) (144 169) 13

(115 100) (115 121) (115 144)

(169 100) (169 121) (169 144)

( 6) ( 29) ( 54)15 ( 29) ( 54)

10 11

( 21) ( 44) ( 69)21 ( 23) ( 48)15 ( 6) ( 54)15 ( 6) ( 29)

13

44 23 ( 25)69 48 25

1.473744 11.145186 2.305138 0.409783 10.723571 12

f(4)( )

f(x) L3(x) (x x0)(x x1)(x x2)(x x3)，100 169

4!

115

f(115) L3(115) 10 7 (115 10)(115 121)(115 144)(115 169)

2416

115

10 7 ( 6) ( 29) ( 54) 2416

0.5505 10 3 0.0005505

实际误差 f(115) L2(115) 0.23429 10 3

2.解：(1) 考虑函数 gh(x) xk,(0 k n)以x0,x1, ,xn为插值节点的n次插值多项式，由插值余项公式有 x

k

xkjlj(x) j 0

n

n

(xk)(n 1)

x

(n 1)!

i 0

(x xi) 0

~

j 0

xkjlj(x) xk, 0 k n

(2) 法1 当1 k n时

数值分析

j 0

(xj x)

n

k

lj(x)

j 0l 0

l

(xj)l( x)k llj(x) Ckk

nk

nlk l

Ck( x)(xlj)lj(x) l 0j 0

k

l

( x)k l xl (x ( x))k 0k 0 Ck

l 0

法2 设 g(x) (x t)k，1 k n考虑它的n次插值多项式 有

j 0

(xj t)klj(x) (x t)k，1 k n

n

令 t x得

j 0

(xj x)klj(x) 0，1 k n

n

4.解：考虑f(x)以x a,x b为节点的一次插值多项式L1(x)，则有

L1(x) f(a)

x bx a

f(b) 0 a bb a

f ( )

f(x) f(x) L1(x) (x a)(x b)，

2当x [a,b]时 (a,b) 于是

11

f(x) maxf(x) max(x a)(x b) (b a)2maf (x)

a x ba x b2a x b8 x [a,b]

(b a)2

maxf(x) maxf (x) a x ba x b8

数值分析

法2 设f(x)在c [a,b]处达到最大值，如果c a或c b 则结论显然成立，现设c (a,b) 则有f (c) 0

1

f(a) f(c) (a c)2f ( 1) 0 1 (a,c)

21

f(b) f(c) (b c)2f ( 2) 0 1 (c,b)

2当c (a,

a b

)时， 2

2

1(b a)

f(c) (a c)2f ( 1) maxf (x)

a x b28

a b

当c (,b)时，

2

1

f(c) (b a)2f ( 2)

2

5.解：由于x1,x2, ,xn是f(x)的n个不同的实根，所以f(x)可为 f(x) a0 (x xi) a0(x xj) (x xi)

i 1

i 1i j

n

n

n n

f (x) a0 (x xi) (x xj) (x xi)

1 i 1 i i ji j

f (xj) a0 (xj xi)

i 1

i j

n

n

因而

j i

1 f (xj)a0

xkj

n

xkj

i 1

i j

j 1

(xj xi)

n

(*)

法 1

数值分析

记 gk(x) xk，则

n

xkj

i 1i j

j 1

(xj xi)

n

n

gk(kj)

i 1i j

j 1

(xj xi)

n

(n 1)gk( )

gk[x1,x2, ,xn]

(n 1)!

00 k n 2

1k n 1将上式代入(*)得

0,

0 k n 2

1

,k n 1j 1f (xj)a0

n

xkj

法2 考虑gk(x)以x1,x2, ,xn为插值节点的n 1次插值多项式，则有

n

k

xj(xj 1i 1

i jn

xi)

i 1i j

(xj xi) xk，0 k n 1

n

比较两边xn 1的系数，得

n

xkj

i 1i j

j 1

(xj xi)

n

k n 1

00 k n 2

1

6. 解：

1

307

10

4006

1 0 0 6040

10

730

1

91

19

N5(x) 9 ( 1)(x 1)

数值分析

f(7)( )f(8)( )0178

1，f[2,2, 2,2] 0 7.解：f[2,2, 2]

7!8!

1

7

11. 解：由条件 i(xj) 0, i (xj) 0 0 j n,j i

可设 i(x) [Ai Bi(x xi)]li2(x) 再由 i(xi) 1 得 Aili2(xi) Ai 1

对 i(x)求导得 i (x) Bili2(x) [Ai Bi(x xi)] li(x)li (x) 由 i (xi) Bi 2Aili (xi) Bi 2li (xi) 0 得 Bi 2li (xi) 于是

i(x) [1 2li (xi)]li2(x) 2) 由 i(xj) 0，0 j n i (xj) 0，0 j n，j i 可设 i(x) Ci(x xi)li2(x)

求导得 i (x) Ci[li2(x) (x xi) 2li(x)li (x)] 求 i (xi) 1 得 Ci 1 于是

i(x) (x xi)li2(x)

13.解：f(0) 1，f (1) 1，f (1) 1，f (1) 1，f(1) e

00

1

0 1

1

01

e 2

1e

1

1

1

1

12

81

6 e

523e

e 22

数值分析

118

H4(x) 1 x x2 x3 (e )x4

263

f(5)( )e 44

(x 0)(x 1) x(x 1) R(x)

5!5!

R(x)

e4

x(x 1) 5!

e4412.718() 0.0819 20.0018 65!55120

maR(x)

0 x 1

14.解： 作H2(x)满足

(a) f (a)，H2 (a) f (a)， H2(a) f(a) H2

则 H2(x) f(a) f (a)(x a)

1

f (a)(x a)2 2

令 g(x) H3(x) H2(x)， (*) 则 g(a) 0，g (a) 0，g (a) 0 又 g(x)为3次多项式，故 g(x) A(x a)3 代入(*)得

H3(x) H2(x) g(x)

f(a) f (a)(x a)

1

f (a)(x a)2 A(x a)3 (**) 2

求2阶导数得

(x) f (a) bA(x a) H3

(b) f (b)得 由 H3

f (a) bA(b a) f (b)

1f (b) f (a)

解得 A

6b a

数值分析

因而 H3(x) f(a) f (a)(x a)

1

f (a)(x a)2 2

1f (b) f (a)

(x a)3

6b a

16．解：h

x

2

0.1，xi 1 ih 1 0.1i,0 i 20 20

i

12

1

(xi xi 1)，0 i 19 2

f(xi 1) f(xi)

(x xi)，xi x xi 1，i 0,1,2, ,19

xi 1 xi

Ih(x) f(xi)

Ih(x

1) [f(xi) f(xi 1)]，0 i 19 1i 22

各相邻节点间中点处的In(x)的值f(x)的值及误差列于下表

i x

1 i 2

Ih(x

1) i 2

f(x

1) i 2

f(x

1) In(x1)i i 22

0 0.95 0.0427602 0.0424403 0.0003199 1 0.85 0.0529412 0.0524590 0.0004822 2 0.75 0.0671476 0.0663900 0.0007576 3 0.65 0.0877358 0.0864865 0.0012493 4 0.55 0.1189655 0.1167883 0.0021772 5 0.45 0.1689655 0.1649485 0.0040170 6 0.35 0.2538162 0.2461538 0.0076924 7 0.25 0.4038462 0.3902439 0.0136023 8 0.15 0.65 0.64 0.01 9 0.05 0.9

0.9411765

0.0411765

0.9411765

数值分析

10 0.05 0.9

0.64

0.0411765

11

0.15 0.65 0.01 12 0.25 0.4038462 0.0136023 13 0.35 0.2538462 0.0076924 14 0.45 0.1689655 0.004017 15 0.55 0.1189655 0.0021772 16 0.65 0.0877358 0.0012493 17 0.75 0.0671476 0.0524590 0.0007576 18 0.85 0.0529412 0.0004822 19 0.95 0.0427602 0.0003199

17. 欲使线性插值具有4位有效数字。在区间[0,2]上列出函数esinx的具有五位有效数字的等距节点的函数值表，问步长最多可取多大？ 解： xi ih ，0 i n h

2。 n

n

f(x) esix，f (x) esinx cosx，

f (x) esinxcos2x esinxsinx

esinx[1 sinx sin2x] eu[1 u u2]， u sinx

g(u) 当x [0,2]时，u [0,1]

x xi 1x xi

L1(x) f(xi) f(xi 1)

xi xi 1xi 1 xi

L1(x) f(xi)

~~

xi 1 xx xi

f(xi 1)

hh

数值分析

f(x) L1(x) f(x) L1(x) L1(x) L1(x)

~x x1

f ( i)(x xi)(x xi 1) [f(xi) f(xi)]i 12h

~x xi

[f(xi 1) f(xi 1)]

h

~~

max

x xx x121 4

f(x) L(x) hmaxf(x) 10 [ ]

~

x1i x xi 1

8xi x xi 1

2hh g (u) eu(1 u u2) eu( 1 2u) eu( 3u u2) u(3 u)eu 0 g(0) 1, g(1) e, 0max x 2

f (x) 0max u 1

g(u) e

max

f(x) L~

x1(x) 1h2e 1

10 4i x xi 1

82

1h2e 112 10 4 1

2

10 3 h2e 10 3 10 4 9 10 484

6 10 2

he

6 10 2

即 只要h e

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