2006年考研数学三真题与答案

2006年考研数学三真题

一、填空题(1~6小题，每小题4分，共24分。)

(1) ___ 。

【答案】

【解析】

【方法一】记因为且故。

【方法二】而为有界变量，则原式。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学一函数、极限、连续一极限的四则运算

(2) _______________________________ 设函数在的某领域内可导，且则。

【答案】。

【解析】本题主要考查复合函数求导。

由知

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学一一元函数微分学一复合函数的导数

(3) _________________________________ 设函数可微，且则在点处的全微分______________________________________________ 。

【答案】

【解析】因为

所以

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综上所述，本题正确答案是

【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分

(4) 设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则________________ 。___

【答案】2。

【解析】

因为，所以。综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质

线性代数—矩阵—矩阵的线性运算

(5) 设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则________________ 。___

【答案】。

【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。

事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出

综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布

(6) 设总体的概率密度为

为总体的随机简单样本，其样本方差为则_____________ 。__

【答案】

【解析】

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综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质

二、选择题(7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四

个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)

(1)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在

点处对应的增量与微分，若，则

(A) (B)

(C) (C)

【答案】A。

【解析】

【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图

由图可得

【方法二】

由凹曲线的性质，得，于是，即

综上所述，本题正确答案是A。

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【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义

(8) 设函数在处连续，且则

(A) 且存在(B)且存在

(C)且存在(D)且存在

【答案】C。

【解析】由且则由于在处连续，且从而

由于上式中

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念高等数学—一元函数微分学—导数的概念

(9) 若级数收敛，则级数

(A) 收敛(B) 收敛

(A) 收敛(A) 收敛

【答案】D。

【解析】由收敛知收敛，所以级数收敛。综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念

(10) 非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通

解是

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(A) (B)

(C) (D)

【答案】B。

【解析】由于是对应其次线性微分方程的非零解，所以它的通解是故原方程的通解为

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—常微分方程与差分方程—非齐次线性微分方程性质及解的结构

(11) 设与均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若，则

(B) 若，贝S

(C) 若，则

(D) 若，贝

【答案】D。

【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。

作拉格朗日函数并记对应的参数的值为贝即

消去得

整理得：

若则

综上所述，本题正确答案是D

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限

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(12) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是

(A) 若线性相关，则线性相关

(B) 若线性相关，则线性无关

(C) 若线性无关，则线性相关

(D) 若线性无关，则线性无关

【答案】A。

【解析】

【方法一】因为线性相关，故存在不全为零的数使得

从而有

即由于不全为0 而是上式成立，说明线性相关。

【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有

那么

因为线性相关，有

从而故线性相关。

综上所述，本题正确答案是A

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量

组的秩

(13) 设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行的，再将的第1列的倍加到第2 列得，

记，则

(A) (B)

(C) (D)

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【答案】B。【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有

所以。

综上所述，本题正确答案是B 【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算

(14) 设随机变量服从正态分布服从正态分布且则必有

(A) (A)

(C) (D)

【答案】A。【解析】由于与的分布不同，不能直接判断和的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。随机变量且其概率密度函数为偶函数，故

同理, 因为是单调增函数，当时，即所以即。

综上所述，本题正确答案是A

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应用

三、解答题( 15~23 小题，共94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

(15) (本题满分7 分)

设求

(I)

(II)

【解析】本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。

(I) 在求时为固定的正数，则

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