高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用
更新时间:2023-06-08 16:59:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)
高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用
班级________ 姓名________ 时间:45分钟 分值:75分 总得分________
一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上.
1.(2011·全国)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
1
A. 32C. 3解析:
1B.2D.1
y′=-2e-2x,y′|x=0=-2,在点(0,2)处的切线为:y-2=-2x,即2x+y-2=0
y=x由 2x+y-2=0
2 x=3得
2 y= 3
22
,A 3,3,
高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)
121
S△ABO=233答案:A
2.(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) C.(-∞,-1)
B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:f(x)>2x+4,即f(x)-2x-4>0.
构造F(x)=f(x)-2x-4,F′(x)=f′(x)-2>0.
F(x)在R上为增函数,而F(-1)=f(-1)-2x(-1)-4=0.x∈(-1,+∞),F(x)>F(-1),∴x>-1.
答案:B
3.(2011·烟台市高三年级诊断性检测)设a= π(sinx+cosx)dx,则(ax-
0
16
的二项展开式中含x2的系数是( ) x
A.192 C.96
0
B.-192 D.-96
解析:因为a= π(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)| π0= 16(-cosπ+sinπ)-(-cos0+sin0)=2,所以(ax-)=
x
1 rrr6-r6-r6-r3 2x- 6,则可知其通项Tr+1=(-1)C62x=(-1)rCr2x6
22x
-r
r6-r
,令3-r=2 r=1,所以展开式中含x2项的系数是(-1)rC62=(-1)1C16
26-1=-192,故答案选B.
答案:B
高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)
1327
4.(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)=-x,则f(-a2)与
22f(4)的大小关系为( )
A.f(-a2)≤f(4) B.f(-a2)<f(4) C.f(-a2)≥f(4)
D.f(-a2)与f(4)的大小关系不确定
17
解析:∵f(x)=3-x2-x,
22327
∴f′(x)=-2x22
17
由f′(x)=(3x-7)(x+1)=0得x=-1或x=23当x<-1时,f(x)为增函数; 7
当-1<x<时,f(x)为减函数;
37
当x>f(x)为增函数,
3
计算可得f(-1)=f(4)=2,又-a2≤0,由图象可知 f(-a2)≤f(4). 答案:A
5.(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)=x3+bx2-3x+1(b∈R)在x=x1和x=x2(x1>x2)处都取得极值,且x1-x2=2,则下列说法正确的是( )
高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)
A.f(x)在x=x1处取极小值,在x=x2处取极小值 B.f(x)在x=x1处取极小值,在x=x2处取极大值 C.f(x)在x=x1处取极大值,在x=x2处取极小值 D.f(x)在x=x1处取极大值,在x=x2处取极大值
解析:因为f(x)=x3+bx2-3x+1,所以f′(x)=3x2+2bx-3,由题意可知f′(x1)=0,f′(x2)=0,即x1,x2为方程3x2+2bx-3=0的两根,所
4b+36
以x1-x2= x1+x2 -4x1x2,由x1-x2=2,得b=0.从而f(x)
3
=x3-3x+1,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),由于x1>x2,所以x1=1,x2=-1,当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,所以f(x)在x1=1处取极小值,极小值为f(1)=-1,在x2=-1处取极大值,极大值为f(-1)=3.
答案:B
π
6.(2011·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x1,x2∈(0,x2>x1,
21+sinx11+sinx2y1=,y2=( )
x1x2
A.y1=y2 B.y1>y2 C.y1<y2
D.y1,y2的大小关系不能确定
1+sinxxcosx-sinx-1解析:设f(x)=xf′(x)=xcosx x-tanx -1π=当x∈(0)时,x-tanx<0,故f′(x)<0,所以f(x)
x2π
在(0,)上是减函数,故由x2>x1得y2<y1.
2
答案:B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答
高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)
题卡上.
7.(2011·广东)函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值. 解析:由f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2 当x<0时,f′(x)>0,当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0. ∴当x=2时,f(x)有极小值是f(2)=23-3×22+1=-3. 答案:2
28.(2011·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{an}的首项为,
3且a4= 4(1+2x)dx,则公比等于________.
1
23
解析: 4(1+2x)dx=(x+x2)|4=(4+16)-(1+1)=18,即a=18=·q14
3
1
q=3.
答案:3
9.(2009·山东省高考调研卷)已知函数f(x)=3x2+2x+1,若 1f(x)dx
-1
=2f(a)成立,则a=________.
解析:因为 1f(x)dx= 1 (3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|1-1=4,所以
-1
-1
1
2(3a+2a+1)=4 a=-1或a=3
2
1
答案:-1或
3
1
10.(2009·山东省高考调研卷)曲线y=2x+2e2x,直线x=1,x=e
x和x轴所围成的区域的面积是________.
高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)
12x2e2xee1解析: (+2x+2e)dx= dx+ e2xdx+ e2e2xdx=lnx|e1+x|1+e|1 x x
e1
1
1
1
=e2e.
答案:e2e
三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x11.(12分)(2011·北京)已知函数f(x)=(x-k)2e k (1)求f(x)的单调区间;
1
(2)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤ek的取值范围. x
1
解:(1)f′(x)=(x2-k2) e k
k令f′(x)=0,得x=±k
当k>0时,f(x)与f′(x)的情况如下:
是(-k,k).
当k<0时,f(x)与f′(x)的情况如下:
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是(k,-k).
k+1
1k(2)当k>0时,因为f(k+1)=e >e x∈(0,+∞),1
f(x)≤e
4k2
当k<0时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上的最大值是f(-k)=e 14k211
所以 x∈(0,+∞),f(x)≤e等价于f(-k)=ee.解得-≤k<0.
2
1 1
故当 x∈(0,+∞),f(x)≤e时,k的取值范围是 -20 .
12.(13分)(2011·课标)已知函数f(x)=f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
alnxb
,曲线y=f(x)在点(1,x+1x
lnxk
(2)如果当x>0,且x≠1时,+,求k的取值范围.
x-1x
1+x a -lnx
x
解:(1)f′(x)=
x+1 b
-x
1
由于直线x+2y-3=0的斜率为-(1,1),
2
f 1 =1,故 1
f′ 1 =- 2
b=1,
,即 a1
-b=- 22
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解得a=1,b=1.
lnx1
(2)由(1)知f(x)=,所以
x+1x
lnxk k-1 x2-1 1
. f(x)-x-1x=2lnxx1-x
k-1 x2-1
考虑函数h(x)=2lnx+(x>0),
x k-1 x2+1 +2x
则h′(x)=xk x2+1 - x-1 2
(ⅰ)设k≤0,则h′(x)=知,当x≠1时,h′(x)<0,
x1
而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得;
1-x当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得
1
1-x lnxk lnxk
从而当x>0,且x≠1时,f(x)-x-1x>0,即f(x)>x-1x 1 2
1, 时,(k-1)·(ⅱ)设0<k<1,由于当x∈(x+1)+2x>0,故1-k 1 11, h′(x)>0.而h(1)=0,故当x∈1-k 时,h(x)>0,可得1-xh(x)<0,与
题设矛盾.
(ⅲ)设k≥1,此时h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,1
可得h(x)<0,与题设矛盾.
1-x综合得,k的取值范围为(-∞,0].
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