高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性. 3、集合的表示：(1){ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (2). 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 4．集合的表示方法：列举法与描述法。常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。6、集合的分类：(1)．有限集含有有限个元素的集合(2)．无限集含有无限个元素的集合(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝=Φ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B ①任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集与并集的性质：A∩A= A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作：CSA 即CSA ={x ? x?S且x?A} （2）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) 3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b 叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集

合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5.常用的函数表示法:解析法：图象法：列表法：6.分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．7．函数单调性（1）．设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x10时，（）的两个根为( )，则，，，4、△=0时，（）的两个等根为，则，无解，5、△<0时，（）无解，则，无解6．根与系数的关系若（）的两个根为则

高中数学必修1 知识点第章集与数念一合函概一集有概、合关念1、合含：些定对集一就为个合其每个象元。集的义某指的象在起成一集，中一对叫素2、合中素三特：集的元的个性 1.元的定；素确性 2.元的异；素互性 3.元的序素无性说：于个定集，合的素确的任一对或是者是个定集的素明(1)对一给的合集中元是定，何个象者或不这给的合元。(2)任一给的合，何个素是同对，同对归一集时仅一元。何个定集中任两元都不的象相的象入个合，算个素(3)集中元是等，有后序因判两集是一，需较们元是一，需查合的素平的没先顺，此定个合否样仅比它的素否样不考排列序否样顺是一。(4)集元的个性集本具了定和体。合素三特使合身有确性整性3、合表：… } 如校篮队}，平,大洋度,北洋集的示{ {我的球员{太洋西,印洋冰} 1．拉字表集：用丁母示合A={我的球员校篮队},B={1,2,3,4,5} 2．合表方：举与述。集的示法列法描法注：用集其法意常数及记：非整集即然集N 正数负数（自数）整集N*或N+ 整集Z 有数数理集Q 实集R 数关“属”的念集的素常小的丁母示：集于于概：合元通用写拉字表,如a是合A的素就元，说a属集于合A 记a∈A ，反作相，a不于合A 记aA 属集作列法把合的素一举来然用个括括。举：集中元一列出，后一大号上描法将合的素公属描出，在括内示合方。确的件示些象否于个述：集中元的共性述来写大号表集的法用定条表某对是属这集的法①言述：：是角角的角} ②学子述：：等合方：语描法例{不直三形三形数式描法例不式x-3>2的集{xR| 解是x-3>2}或x-3>2} {x| 4、合分：集的类1．限含有个素集有集有限元的合2．限含无个素集无集有限元的合3．集空不任元的合含何素集例{x|x2=－：5｝二集间基关、合的本系 1.“包”关—集含系子注：A B 有种能1）意两可（A 是B的部，2）一分；A与B是一合（同集。B或B A 反：集之合A不含集包于合B,或合B不含合A,记集包集作A 2．等系“相”关(5≥5，且5≤5，则5=5) 实：A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元相” 例设素同结：于个合A与B，果合A的何个素是合B的素同,集论对两集如集任一元都集元，时合B 的何个素是合A的任一元都集元素我就集，们说合A等集于合B，：即A=B ①任一集是本的集AA 何个合它身子。②子:如真集果AB,且A B那说合A是合B的子，作A 就集集真集记③果AB, BC ,那AC 如么Page 1 of 8 B(或B A)

④如果AB 同BA 那时么A=B 3. 不任元的合做集记Φ 含何素集叫空，

为规: 空是何合子，空是何空合真集定集任集的集集任非集的子。三集的算、合运1、集定：般，所属交的义一地由有于A 且于B 的素组的合做A,B 的集记属元所成集,叫交．作A∩B(读＂交B＂即A∩ 作 A )，B= {x|x∈A，且x∈B}．2、集定：般，所属集并的义一地由有于合A或于合B的素组的合叫属集元所成集，做A,B的集记：并。作A∪B(读＂作A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、集并的质A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，交与集性：A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、集补全与集（补：1）集设S是个合A是S的个集即A S ）由S中有属一集，一子（，所不于A的素成元组的集，做S中集A的集或集记：CSA 合叫子补（余）作通用U来示常表。（性：CU(CUA)=A ⑵UA)∩A=Φ

⑶UA)∪A=U 3）质⑴(C (C 四函的关念、数有概1．数概：函的念设

A、非的集如按某确的应系f，对集B是空数，果照个定对关使于合A中任一数x，集的意个在合B中有都唯一定数f(x)和对，么称f：确的它应那就A→B 为集从合A到合B 的个数记：y=f(x)，集一函．作x∈A．中x 其，叫自量x的值围A叫函的义；做变，取范做数定域与x的相应值对的y值做数，数的合x∈A } 叫函值函值集{f(x)| 叫函的域做数值．注：果给解式y=f(x)，没指它定域则数定域是能这式有义实的合函意如只出析而有明的义，函的义即指使个子意的数集；数的义、域写集或间形．定域值要成合区的式定域充使数有义实义补:能函式意的数x的合为数定域求数定域列等组主依是集称函的义，函的义时不式的要据：(1)分的母等零式分不于；(2)偶方的开数小零次根被方不于；(3)对式真必大零数的数须于；(4)指、数的必大零不于1. 数对式底须于且等(5)如函是一基函通四运结而的么它定域使部都意的x的组的合果数由些本数过则算合成 .那，的义是各分有义值成集 . (6)指为底可等零数零不以于(7)实问中函的义还保实问有义注：出等组解即函的义。际题的数定域要证际题意 .(又意求不式的集为数定域) 构函的要：义、应系值成数三素定域对关和域再意注：（构函三要是义、应系值．于域由义和应系定，以如两函的义1）成数个素定域对关和域由值是定域对关决的所，果个数定域和应系全致即这个数等或同函）对关完一，称两函相（为一数（两函相当仅它的义和应系全致而表自量函值字无。同数判方：2）个数等且当们定域对关完一，与示变和数的母关相函的断法①达相；定域致(两必同具) 表式同②义一点须时备Page 2 of 8 即CSA ={x xS且xA} （全：果合S含我所研的个合全元，个合可看一全。2）集如集有们要究各集的部素这集就以作个集

S CsA A

值补:（、数值取于义和应则不采什方求数值都先虑定域域充1）函的域决定域对法，论取么法函的域应考其义 . （应悉握次数二函、数对函及三函的域它求复函值的础2）熟掌一函、次数指、数数各角数值，是解杂数域基。2. 函图知归数象识纳(1)定：平直坐系，函y=f(x) , (x∈A)中义在面角标中以数的x为坐，数横标函值y为坐的纵标点P(x，集y)的合C，做数y=f(x),(x 叫函∈A)的象C上一的标y)均足数系y=f(x)，过，满图．每点坐(x，满函关反来以足y=f(x)

的一有实对x、坐每组序数y为标的(x，均点y)，在C上 . 即为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。象C一的一光的续线直),也能由记图般是条滑连曲(或线可是与意行任平与Y轴直最只一交的干曲或散组。的线多有个点若条线离点成(2)画法A、点：据数析和义，出x,y的些应并表以描法根函解式定域求一对值列，(x,y)为标坐系描相的坐在标内出应点P(x, y)，最后平的线这点接来用滑曲将些连起 . B、象换（参必图变法请考修4三函）用换法三，平变、缩换对变角数常变方有种即移换伸变和称换(3)作：用1、观看函的质直的出数性；2、用形合方分解的路提解的度发解中错。利数结的法析题思。高题速。现题的误 3. 了区的念解间概（区的类开间闭间半半区；2）穷间（区的轴示1）间分：区、区、开闭间（无区；3）间数表．4．么做射什叫映一地设A、两非的合如按一确的应则f，对集般，B是个空集，果某个定对法使于合A中任一元的意个素x，集在合B中有都唯确的素y与对，么称应f：B为集一定元之应那就对 A 从合A到合B的个射记“f：B” 集一映。作 A 给一集定个合A到B的射如映，果a∈A,b∈B.且素a和素b对，么我把素b叫元元元应那，们元做素a的，素a叫元的象元做素b 原象说：数一特的射映是种殊对，集明函是种殊映，射一特的应①合A、对法B及应则f是定；对法有向” 即调确的②应则“方性强，从合A到合B的应它从B到A的应系般不的③于射f：集集对，与对关一是同；对映A→B来，应足（集说则满：Ⅰ）合A中每个素在合B中有，且是一；Ⅱ）合A中同元，集的一元，集都象并象唯的（集不的素在合B 中应象以同对的可是一；Ⅲ）要集个（不求合B中每个素集的一元在合A中有象都原。常的数示及自优：用函表法各的点 1 数象可是续曲，可是线折、散点等注判一图是是数象依；○ 函图既以连的线也以直、线离的等，意断个形否函图的据 2 析：须明数定域○解法必注函的义；3 象：点作要意确函的义；简数解式观函的征○图法描法图注：定数定域化函的析；察数特；4 表：取自量有表，能映义的征○列法选的变要代性应反定域特．注：析：于出数。表：于出数。象：于出数意解法便算函值列法便查函值图法便量函值补一分函：定域不部上不的析达的数在同范里函值必把变代相充：段数在义的同分有同解表式函。不的围求数时须自量入应的达。段数解式能成个同方，就函值种同表式用个大表式分函的析不写几不的程而写数几不的达并一左括括来并别明部的变的值况（分函是个数不把误为号起，分注各分自量取情．1）段数一函，要它认是几函；2）段数定域各定域并，域各值的集个数（分函的义是段义的集值是段域并．补二复函：果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，充：合数如(x ∈A) 称g的合数例: y=2sinX y=2cos(X2+1) 为f、复函。如5．数调函单性（增数1）函Page 3 of 8

设数y=f(x)的义为I，果于义函定域如对定域I内某区的个间D内任两自量x1，2，1

个变的x 当x ，有f(x1)＞f(x2)，么说f(x)在个间是函 .区那就这区上减数间D称为y=f(x)的调区 . 单减间 1 注：函的调是定域的个间的质是数局性；意○ 数单性在义内某区上性，函的部质 2 须对区○ 必是于间D内任两自量x1，2；1

作f(x 3 形通是式解配）○变（常因分和方；4 号即断○ 定（判差f(x1)－2)的负；f(x 正） 5 结（出数f(x)在定区○下论指函给的间D上单性．的调）(B)图法图上升)_ 象(从象看降(C)复函的调合数单性复函合数f[g(x)]的调与成的数u=g(x)，单性构它函y=f(u)的调密相，规如：单性切关其律下函数u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 增增增增减减单性调减增减减减增

注：函的调间能其义的区,不把调相的间在起成并 . 意1、数单区只是定域子间能单性同区和一写其集2、记我在修学简易的数判单性？还得们选里习单行导法定调吗6．数奇性函的偶（偶数1）函一地对函般，于数f(x)的义内任一定域的意个x，有f(－都x)=f(x)，么f(x)就做函．那叫偶数（奇数2）函一地对函般，于数f(x)的义内任一定域的意个x，有f(－都x)=— f(x)，么f(x)就做函．那叫奇数1 注：函是函或偶数为数奇性函的偶是数整性；数能有偶,也能意○ 数奇数是函称函的偶，数奇性函的体质函可没奇性可既是函又偶数奇数是函。 2 函的偶定可，数有偶的个要件，于义内任一○ 由数奇性义知函具奇性一必条是对定域的意个x，－一是则x也定定义内一自量即义关原对）域的个变（定域于点称．（具奇性函的象特3）有偶的数图的征偶数图关函的象于y 轴称奇数图关原对．对；函的象于点称总：用义断数偶的式骤结利定判函奇性格步： 1 先定数定域并断定域否于点称○首确函的义，判其义是关原对；Page 4 of 8

2 定f(－○确x)与f(x)的系关；

3 出应论若f(－=f(x) 或f(－f(x)=0，○作相结：x) x)－则f(x)是函；偶数若f(－=－或f(－f(x)=0，x) f(x) x)＋则f(x)是函．奇数注：数义关原对是数有偶的要件首看数定域否于点称若对则意函定域于点称函具奇性必条．先函的义是关原对，不称函数非非函 .若称(1)再据义定(2)有判f(-x)=±f(x)比困，考根是有f(-x)±f(x)=0 是奇偶数对，根定判; 时定较难可虑据否或f(x)/f(-x)=±1来定(3)利定，借函的象定 . 判; 用理或助数图判7、数解表式函的析达（ .函的析是数一表方，求个量间函关时一要出们间对法，是求1）数解式函的种示法要两变之的数系，是求它之的应则二要出函的义 . 数定域（ .求数解式主方有待系法换法消法，果知数析的造，用定数；2）函的析的要法：定数、元、参等如已函解式构时可待系法已知合数f[g(x)]的达时可换法这要意的值围当知达较单，可凑法若知复函表式，用元，时注元取范；已表式简时也用配；已抽函表式则用方组参方求象数达，常解程消的法出

f(x) 8．数大小值函最（）1 用次数性（方）函的大小值○利二函的质配法求数最（）2 用象函的大小值○利图求数最（）3 用数调的断数最（）：果数y=f(x)在间b]上调增在间c]上调减函○利函单性判函的大小值如函区[a，单递，区[b，单递则数y=f(x) 在x=b处最值f(b)；果数y=f(x)在间b]上调减在间c]上调增函有大如函区[a，单递，区[b，单递则数y=f(x)在x=b处最值有小f(b) 第章基初函二本等数一指函、数数一指与数的算）数指幂运1．式概：般，果x n a ，么x 叫a 的n 次根n th root）其n >1，n ∈N *．根的念一地如那做方（，中且当n 是数，数n 次根一正，数n 次根一负．时 a 的n 次根符n a 奇时正的方是个数负的方是个数此，方用号表．子n a 叫根（示式做式radical）这n 叫根数radical exponent）a 叫被方（，里做指（，做开数radicand）．当n 是数，数n 次根两，两数为反．时正a 的的n 次根符n a 偶时正的方有个这个互相数此，数正方用号n 次方根用符号－n a 表示．的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）由此表，的示负正．可：数有次根0的何方都得负没偶方；任次根是0，作n 0 0 。记注：n 是数，n a n a ，n 是数，意当奇时当偶时2．数数分指幂m

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性；

2.元素的互异性；

3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a ∈A，相反，a不属于集合A记作aA

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类：

1．有限集含有有限个元素的集合

2．无限集含有无限个元素的集合

3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或

B A)

③如果AB, BC ,那么AC

④如果AB 同时BA那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：A∪B(读作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作：CSA即CSA ={x  xS且xA}

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（3）性质：⑴CU(C UA)=A⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

4．快去了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b 叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2 解析法：必须注明函数的定义域；○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本P24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性

u=g(x) 增增减减

y=f(u) 增减增减

y=f[g(x)] 增减减增

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域

是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=眆(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)眆(x)=0或f(x)/f(-x)=?来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中 >1，且∈ *．当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）．

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成?（ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

注意：当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

（1） • ；

（2）；

（3）．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 0

图象特征函数性质

向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

函数图象都在x轴上方函数的值域为R+

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，

图象逐渐上升自左向右看，

图象逐渐下降增函数减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

（4）当时，若，则；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）

说明：○1 注意底数的限制，且；

○2 ；

○3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1 常用对数：以10为底的对数；

○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数．

对数式与指数式的互化

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

○1 • ＋；

○2 －；

○3 ．

注意：换底公式

（，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质：

a>1 0

图象特征函数性质

函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R

函数图象都过定点（1，0）

自左向右看，

图象逐渐上升自左向右看，

图象逐渐下降增函数减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

求函数的零点：

○1 （代数法）求方程的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

u 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4） V enn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集含有有限个元素的集合

(2) 无限集含有无限个元素的集合

(3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果AíB, BíC ,那么AíC

④如果AíB 同时BíA那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型

交集

并集

补集

定义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作…A交B?），即A B=｛x|x A，且x B｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B （读作…A并B?），即A B ={x|x A，或x B})．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

S

A

记作，即

CSA=

韦

恩

图

示

S

A

性

质

A A=A

A Φ=Φ

A B=

B A

A B A

A B B

A A=A

A Φ=A

A B=

B A

A B Ａ

A B B

(CuA) (CuB)

= Cu (A B)

(CuA) (CuB)

= Cu(A B)

A (CuA)=U

A(CuA)= Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家C一切很大的书D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c }的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.

4.设集合A= ，B= ，若A B，则的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

u 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域: 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

(2) 画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B 为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严

格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1

2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

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