全国2003年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题历年试卷

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全国2003年10月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共40小题，每小题1分，共40分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列集合中为空集的是（ ） A.{x|ex=1} B.{0} C.{(x, y)|x2+y2=0} D.{x| x2+1=0,x∈R} 2.函数f(x)=x2与g(x)=x表示同一函数，则它们的定义域是（ ） A.???,0?

B.?0,??? D.?0,???

C.???,??? 3.函数f(x)=?A.0 C.

?|sinx|,|x|?1?,则f(?)?（ ）

0,|x|?14?

B.1 D.-

2 22 24.设函数f(x)在[-a, a](a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.可能是奇函数，也可能是偶函数 5.limA.1 C.∞

sin2x?（ ）

x?0x(x?2)

1x B.0 D.2

6.设lim(1?mx)x?0?e2，则m=（ ）

B.2 D.?A.

1 2

C.-2

1 2?x2,x?27.设f(x)=?,则limf(x)?（ ）

x?21,x?2?

1

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A.2 B.∞ C.1

D.4

8.设y?e?1x是无穷大量，则x的变化过程是（ ）

A. x→0+

B. x→0- C. x→+∞ D. x→-∞

9.函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件

10.定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（ ） A.存在 B.不存在 C.存在但不唯一 D.在一定条件下存在 11.下列函数中在x=0处不连续的是（ ）

?sinx?A. f(x)=??|x|,x?0

B. f(x)=???xsin1

,?1,x?0?xx?0 ?0,x?0?1C. f(x)=??ex,x?0?1,x?0

D. f(x)=??xcos,x?0?x?0,x?012.设f(x)=e2+x,则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→（ ）

A.△x B.e2+△x

C.e2

D.0

13.设函数f(x)=???ex,x?0f(x)?f(0)??（ ） ?x2?1,x?0，则xlim?0?x?0A.-1 B.-∞

C.+∞ D.1

14.设总收益函数R(Q)=40Q-Q2，则当Q=15时的边际收益是（ A.0 B.10 C.25 D.375 15.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f＇(0)=（ ） A.0 B.1 C.3 3

x D.3！

16.设y=sin3，则y＇=（ ）

A.3sin2x3 B.sin2x3 C.3sin2x3cosx3

D.sin2xx3cos3 17.设y=lnx,则y(n)=（ ）

2

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A.(-1)nn!x-n

B.(-1)n(n-1)!x-2n C.(-1)n-1(n-1)!x-n

D.(-1)n-1n!x-n+1

18.

d(sinx)d(x2)?（ ） A.cosx B.-sinx C.

cosx

D.

cosx22x 19.f＇(x)<0,x∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件 20.函数y=|x-1|+2的极小值点是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 21.函数y=2ln

x?3x?3的水平渐近线方程为（ ） A. y=2 B. y=1 C. y=-3 D. y=0

22.设f(x)在[a, b](a

D.f(b?3) 23.

?dy(2y?3)2?（ ） A.?16(2y?3)3?C

B.

16(2y?3)3?C

C.

1

12y?3?C

D.?2(2y?3)?C

24.设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（ A.?xf?(x2)dx?f(x2)?C

B.?xf?(x2)dx?12f(x2)?C C.(?xf(x2)dx)??12f(x2)

D.?xf(x2)dx?f(x2)

25.?lnsinxd(tgx)?（ ）

3

）

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A. tgxlnsinx-x+C C. tgxlnsinx-26.

B. tgxlnsinx+x+C D. tgxlnsinx+

dx?cosx dx?cosx

??2?1xdx?（ ） x?3

B.-1+3ln2 D.1+3ln2

A.-1-3ln2 C.1-3ln2 127.

?2tg(?02x)dx?（ ） A.?12ln2 C.

1?ln2

28.经过变换t?x，

?9x4x?1dx?(A. ?9t4t?1dt C. ?3t2t?1dt

29.

???1?x1xedx? ( )

A.

2e C.2e

30.

?2dx1x?1?( )

A.2 C.∞

?31.级数?(?1)n52n的和等于 ( n?1A.53 C.5 32.下列级数中，条件收敛的是( ?A.

?(?1)n?1(2)nn?13

B.

12ln2 D.?1?ln2

)

B. ?92t24t?1dt D.

?32t22t?1dt B.-

2e D.-2e

B.1 D.

23 )

B.－53

D.－5 ) ?B.

?(?1)n?1nn?1n2

?24

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?C.

?n?1(?1)n?131n D.

?n?1?(?1)n?115n3

33.幂级数 A.?0,2? C.??2,0?

?(?1)n?1?n?1(x?1)n 的收敛区间是（ ） n

B.??1,1? D.???,???

34.点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 ( ) A.x2?y2?z C.x2?y2?1

xy

B.x2?y2?z D.xy?z

35.设 f(u,v)=(u+v)2，则 f(xy,)=( ) 1A.y2(x?)2

x

B.x2(y?)2 1D.y(x?)2

x1yC.x(y?)2

1y36.设 f(x,y)?ln(x?A.1 2y)，则fy?(1,0)?( ) 2x

2

2

B.1 D.0

C.2

?2z?( ) 37.设z?2x?3xy?y，则

?x?yA.6 B.3 C.－2 D.2

38.下列函数中为微分方程y??y?0的解的是( ) A.ex B.-ex C.e?x D.ex+e?x 39.下列微分方程中可分离变量的是( ) A.B.C.D.

dyy??x2 dxxdyy??y dxxdy?k(x?a)(y?b)?1，(k?0) dxdy?siny?x dx 5

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40.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则

??Dydxdy=( ) 1?xA.ln2 B.2+ln2 C.2 D.2ln2

二、计算题（一）（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 41.求极限limx?0ex?e?x?2sin2x?u1?u42.设u?2cos2(x?y)，求，.

?y2?x.

43.求微分方程y??ytgx?x的通解.

三、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分） 44.设y?ln(cscx?ctgx)，求y?. 45.求定积分

??20cosx?cos3xdx.

120x46.将函数（1+x）ln(1+x)展开成x的幂级数，并指出其收敛域. 47.设f(x,y)是连续函数.改变

?dx?x2f(x,y)dy的积分次序.

四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

48.求由圆面 x2?(y?b)2≤a2(0?a?b) 绕x轴旋转一周所形成的物体的体积.

49.设某商品每周生产x单位时，总成本为C（x）=100+2x，该产品的需求函数为x=800-100p (p为该商品单价)，求能使利润最大的p值.

五、证明题（本题共4分）

50.证明方程x3?3x?1?0在区间（0，1）内有唯一实根.

6

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